Случай Пуанкаре

При ж = О из (2.10) получается гироскопическая функция случая Кирхгофа, при X = 1 — случая Пуанкаре. Для классического случая Лагранжа, соответствующего ж = О, = 0,11 = —г<Т2 уравнение для <Т2 имеет вид [c.234]

Рассмотрим второй случай Пуанкаре. Мы уже отметили выше, что если не существует изолированное периодическое решение с периодом со, то может существовать подобное решение с периодом, кратным со. Это будет случай, когда определитель A(0]0) равен нулю, но аналогичный определитель А(0 0), составленный из функций ifs, отличен от нуля. Тогда система [c.168]

Сопряжение, построенное в (2.1.1), применимо к отображению /, продолженному на комплексную окрестность нуля, так как и /, и сопряжение определяются степенным рядом (см упражнение 2.1.7). Кроме того, нет необходимости предполагать, что отображение / сохраняет действительную прямую, т. е. что коэффициенты ряда Тейлора, включая первый член Л, вещественны. Единственное предположение, которое мы должны сделать относительно Л, состоит в том, что числа 1 — Л" равномерно отделены от нуля для всех п. Это эквивалентно тому, что Л 1, и такая ситуация называется случаем Пуанкаре. [c.106]

Отображение окружности в окружность. Отображение окружности на окружность может рассматриваться как частный случай отображения прямой в прямую. Поэтому все сказанное ранее об отображении прямой в прямую применимо и к отображению окружности в окружность. Однако этот частный случай обладает особенностями, заслуживающими дополнительного изучения. Впервые отображение окружности на себя изучал А. Пуанкаре [471 в связи с качественным исследованием фазовых траекторий на двумерном торе. Это исследование было продол- [c.294]

Если все у. положительны, то решения уравнений в вариациях дают устойчивость, если среди характеристичных чисел существует по меньшей мере одно отрицательное, то — неустойчивость. Из последнего неравенства следует, что для устойчивости ведущего движения по уравнениям в вариациях Пуанкаре необходимо, чтобы все характеристичные числа х были нулями. Для случая приводимых уравнений в вариациях Пуанкаре предложение это говорит, что вблизи устойчивого ведущего движения возмущенные движения имеют колебательный характер. Вопрос о частоте нормальных колебаний еще не разрешен. [c.242]

Следует заметить, что уравнения Пуанкаре выведены без использования соотношений, вытекающих из предположения о перестановочности с и б. (У Пуанкаре в его работе вкралась описка в индексах Сащ.) Уравнения Лагранжа 2-го рода являются частным случаем уравнений Пуанкаре. [c.298]

Интеграл живых сил. Умножим уравнения Пуанкаре (случай = 0, = — j [c.311]

Исследование задачи Неймана опирается на так называемое неравенство Пуанкаре. Докажем его лишь для случая прямоугольника, стороны которого, как и выше, обозначим а и Ь, а оси координат выберем таким образом, чтобы координаты менялись в пределах Если Х, у и хг, у2 — две про- [c.133]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Выше мы видели, что положительное предельное множество траектории С может состоять из одной-единственной особой точки I и при г оо траектория стремится к I или, возможно, входит в нее. Этот результат можно трактовать как частный случай теоремы Пуанкаре — Бендиксона, если особую точку I рассматривать как вырожденную форму предельного цикла. [c.392]

Критический случай. Теорема Пуанкаре — Ляпунова ничего не говорит нам о критическом случае, когда некоторые из имеют чисто мнимые значения. [c.428]

Начнем с простого случая, когда изображающая точка Р движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора Р, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если х ( ) есть доля интервала времени от О до г, в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение % (Ь)/Ь, очевидно, стремится к пределу р/2я, и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени г = О, т, 2т,. .. ( 22.7) и обозначим через V (п) число точек А, Ах, А2%, . , лежащих в области а, то отношение v (п)/п прп ->-00 будет стремиться к тому же пределу (3/2л прп условии, что отношение т/2л есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки Л, Ах, А2х, , отстоящие на угловых расстояниях О, т, 2т,. . . от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А па окружности, ни от величины основного интервала т, если только X не является соизмеримым с 2п. [c.443]

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51]

Нерезонансный случай теперь соответствует колебательным системам с немалыми характерными значениями сил трения —kx и нелинейно-упругих сил —f(x) по сравнению с характерными значениями сил инерции и линейно-упругих сил. Стационарные колебания в, нерезонансном случае обычно изучаются с помощью метода Пуанкаре в сочетании с методом гармонического баланса или гармонической линеаризации, которые применяются для определения порол<дающих решений. Получающиеся решения дают ту л<е картину развития колебании, что и в резонансном случае. Поэтому для изучения нелинейных эффектов практически достаточно проводить анализ резонансного случая. [c.200]

Канонические системы (1) являются частным случаем систем с медленными и быстрыми переменными, поэтому изложенные в гл. I результаты, естественно, применимы и к ним. Если при этом мы хотим, чтобы преобразование х, у) (х, у ) было каноническим, необходимо строить замену переменных таким образом, чтобы выполнялось условие Якоби—Пуанкаре (соотношения (6), (8), (9)). [c.204]

Эту задачу в простейшем (планетном) случае можно решить классическим методом, предложенным Пуанкаре. Единственно,что нужно сюда добавить—это соответствующее условие периодичности вместо классического условия возвращения точки в начальное состояние через интервал времени 7 > 0. Такая замена необходима, потому что классическое условие, будучи примененным к семейству периодических решений уравнения (1), полученных на основании X (/), приводит к вырожденному случаю даже после применения интеграла Якоби. Эту трудность можно обойти, использовав следующие условия для решения [c.95]

Метод однородных решений. Здесь на примере смешанной осесимметричной задачи Су теории упругости о кручении штампом кругового цилиндра конечных размеров, поставленной в этом параграфе, излагается метод однородных решений для исследования контактных задач для тел конечных размеров, границы которых совпадают с координатными поверхностями ортогональных систем координат [317]. Этот метод позволяет получить решения подобных задач практически для любых значений параметров. Такая эффективность метода определяется тем, что решение задачи сводится к решению бесконечной алгебраической системы второго рода высокого качества типа нормальных систем Пуанкаре-Коха. Решение рассматриваемой здесь задачи для случая большого значения отношения R — a)/h и малых значениях отношения X = h/а получено в этом пункте выше. [c.58]

Величина вихря, следовательно, очень велика, вихрь параллелен плоскости 8 (о -1-р7 -)- у = 0) и перпендикулярен скорости щ, v ,w ), так как 1 - - 1 4" = О- Вихревой слой представляет, следовательно, поверхность вихрей (поверхностный вихрь). От этого частного случая можно перейти к общему случаю какого угодно сосуда посредством классического рассуждения Пуанкаре заменяют сосуд большим количеством малых элементов поверхностей, достаточно малых, чтобы можно было связать с ними маленькие кусочки плоскости, на которых скорость у стенки оставалась бы постоянной. Выбирают толщину е достаточно малой, чтобы можно было ею пренебречь сравнительно с самими элементами. Переходный слой будет тогда заменен вихревым слоем, заданным во всякой точке 6 равенствами [c.24]

Таким образом в случае вращающихся или циклических систем мы пришли к необходимости делать различие между устойчивостью в смысле, указанном классическим лагранжевым методом малых колебаний, когда трением пренебрегают, и устойчивостью определяемой критерием Дирихле-Кельвина. Это различие было указано впервые Кельвином, и затем его подтвердил Пуанкаре в своих исследованиях о возможных формах равновесия вращающейся жидкости, частицы которой подвержены действию взаимного притяжения. Различают соответственно два случая обыкновенной" или временной" и практической", постоянной" или вековой" устойчивости, причем последнее наименование связано с приложениями в астрономии. [c.254]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы F требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения при р = а, = О, t = а, для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая = 0. Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений. [c.616]

Таким образод , условия теоремы Пуанкаре (для случая, когда внутренний радиус кольца стремится к нулю) оказываются выполненными. Поэтому, если теорема верна и если существует одна устойчивая периодическая орбита Gq, то существует бесконечно много таких периодических орбит. [c.625]

Основополагающими работами в области аналитической механики являются исследования советских ученых по уравнениям динамики в групповых переменных. В 1927— 1928 гг. Четаев вывел уравнения Пуанкаре в новой, канонической форме и обобщил их на случай нестащюнар-лых связей. Эти результаты были им развиты в 1941 г. Было показано, писал Четаев, что весьма интересная мысль Пуанкаре о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна . [c.289]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Обобщение метода на случай разрывных периодических решений дано М. 3, Ко-ловским [26], а также Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, результаты которых, а также контакты и сочетания метода Пуанкаре с методом точечных отображений (см. п. 5 настоящей главы) рассмотрены в монографии [45]. В цигсле работ Ю. А. Рябова систематически научены вопросы оценок областей сходимости рядов по малому параметру, полученных при использовании метода Пуанкаре [60. [c.64]

Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании. Задача о захватывании вращения неуравновешенного ротора, приводимого от двигателя асинхронного типа, с помощью методов Пуанкаре — Ляпунова была рассмотрена для частного случая в п. 3 гл. И, а для более общего — в п. 5 гл. VHI краткие библиографические сведения приведены в п. 8 гл. VHI. Схема системы и уравнение движения даны в п. 2 таблицы. При решении задачи методом прямого разделения движений к медленным следует отнести движущий момент L (ф). момент сил сопротивления R (ф) и момент силы тяжести mg е os ф, а к быстрым момент сил инерции отесо [Я sin Ш sin ф + + G os b)t+ 0) os ф . Выражение для вибрационного момента, совпадающее с полученным в п. 5 гл. VIII методом Пуанкаре, может быть найдено с помощью вычислений, подобных проведенным выше для маятника в данном случае эти вычисления даже проще вследствие того, что в исходном приближении можно принять ijj (со/) = 0. Соответствующее выражение для W и уравнение медленного движения приведены в п. 2 таблицы. Все результаты анализа, подробно изложенные в п. 5 гл. VHI, получаются из приведенного уравнения, однако оно позволяет изучать также и медленные процессы установления режимов захватывания и вибрационного поддержания вращения неуравновешенного ротора, [c.250]

В технических устройствах отношение гП /т-1 - малая величина малы также перемещения X по сравнению с эксцентриситетом е. Это позволяет применить метод Пуанкаре или другие асимптотические методы теории нелинейных колебаний [2, 15, 17]. Наиболее прост так называемый нерезонансный случай, когда члены ТП2Х и Ьх одного порядка. Практически часто оказывается, что члены (ф), /Г(ф), sin. ф тоже одного порядка. При этом для стационарных движений метод Пуанкаре в первом приближении дает [c.390]

Теория бифуркаций допускает обобщение на произвольные размерности лил На рис.7.3.8 показаны типичные диаграммы для случая л=2, Р=1. Теория бифуркаций берет начало от ктас-сических работ Пуанкаре и А. А. Андронова по теории нелинейных колебаний. В последние годы она получила развитие как чисто математическая теория ( ростков функций, катастроф и Т.Д.). Ипожение математической теории бифуркаций можно найти в [24]. Там же содержится критическое обсуждение теории катастроф . [c.476]

Основы исследования этого случая заложил А. Пуанкаре [403]. Оно было продолжено работами Н.Г. Четаева [346], Литтлетона [453] и др. Для упругих систем анализ поведения решения вблизи точек бифуркации методом возмущений дал Койтер. Полученные им результаты суммкфованы в работе [441]. Подход Койтера использовался и развивался в большом количестве исследований, обзор которых дан самим Койтером [442]. [c.181]

Суммируя сказанное, можно сделать вывод о том, что обобш,ение метода малого параметра Пуанкаре на непараметрический случай, когда малая возмуш,ающая функция рассматривается как обобщенный малый параметр, принадлежащий нормированному пространству функций, позволяет опять применить классические методы и при [c.99]

Смотреть страницы где упоминается термин Случай Пуанкаре : [c.352] [c.419] [c.176] [c.177] [c.284] [c.291] [c.573] [c.493] [c.700] [c.218] [c.332] [c.105] [c.133] [c.149] [c.97] [c.123] [c.117] [c.120] [c.152] [c.169] [c.422]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...