Идея метода Пуанкаре

Идея метода Пуанкаре. Прежде чем перейти к систематическому изложению теории Пуанкаре, мы приведем вкратце основную идею и одновременно точно сформулируем математическую задачу. Такое введение поможет легче разобраться в дальнейшем изложении. Пусть нам известно решение уравнений (9.52) при л = 0, т. е., другими словами, решение уравнений (9.53). Пусть это решение будет x = x t,K), К). При i = 0 имеем x = x Q,K), [c.691]

Необходимо подчеркнуть также (это не всегда делается при изложении метода) особую роль, которую играет в методе Пуанкаре теорема о существовании неявных функцией. По существу, основная идея метода и состоит в сведении вопроса о существовании периодических решений системы дифференциальных уравнений к вопросу о существовании неявных функций. Специфика состоит лишь в том, что особый интерес представляют особые случаи, как правило, не рассматриваемые в общих курсах и руководствах. [c.159]

Для отыскания периодических решений, на наш взгляд, более естественно использовать уравнения движения в гамильтоновой форме. Для канонических систем дифференциальных уравнений метод малого параметра Пуанкаре хорошо разработан и дает более сильные результаты. Эта идея впервые реализована в работе [34] для случая вращения динамически симметричного тела в ньютоновском поле сил и независимо автором [38] в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела. [c.106]

Замечание. Полезно сравнить эту теорему с предложением 2.4.9, которое дает аналогичное описание отображений степени к, f >2. Однако оба доказательства предложения 2.4.9 (использующее кодирование из п. 2.4 б и основанное на методе неподвижной точки из п. 2.4 в) существенно отличаются от доказательства теоремы Пуанкаре о классификации. Эти два доказательства опираются на гиперболичность модельного отображения Е,,, тогда как ключевая идея настоящего доказательства — сохранение порядка точек на окружности. [c.401]

Данная книга в основном представляет собой перевод с немецкого книги К. Л. Зигеля Лекции по небесной механике . Потребность в новом издании и переводе на английский язык привели к появлению этого труда, который, однако, представляет собой нечто большее, чем просто перевод. Для того чтобы учесть последние работы в этой области науки в книгу были добавлены несколько параграфов, особенно в третью главу, посвягценную теории устойчивости. Тем не менее, мы не пытались представить полный обзор этой области, и, в основном, следовали структуре оригинальной книги Зигеля. В книге особо выделены результаты и аналитические методы, основанные на идеях А. Пуанкаре, Дж. Д. Биркгофа, А. Ляпунова, и, что касается первой главы, на работе К. Ф. Зундмана и К. Л. Зигеля. В последние годы вновь возник интерес к разделам механики, связанным с теорией меры, что привело к ряду новых результатов, которые не будут здесь обсуждаются. В связи с этой тематикой мы особо рекомендуем интереснейшую книгу В. И. Арнольда и А.Авеца Эргодические проблемы классической механики , которая посвягцена взаимосвязи механики и эргодической теории. [c.11]

Воспользуемся методом стационарной фазы, предложенным Кель-виным и примененным в задачах оптики Пуанкаре и Дебаем (см. [45]). Идея метода состоит в том, чтобы искать решение (7.13) в виде [c.82]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Сама идея продолжения решения известна и эксплуатируется в математике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу, лежит в осюве из естюго метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам. У. Леверье (1856 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). [c.13]

Приведенное выше замечание Вейерштрасса интересно тем, что знаменитая работа С. В. Ковалевской и решает частный случай задачи о движении твердого тела именно в том виде, как намечал Вейерштрасс. Та же идея с большим успехом была использована Пуанкаре и позднее Зундманом в их исследованиях по задаче трех тел ту же идею параметрического решения задачи с успехом применял С. А. Чаплыгин в работе по движению тел с неголономными связями и Н.Е.Жуковс-ким в его видоизменении метода Кирхгофа. [c.19]

Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь перевести эти математические идеи н методы на язык, который инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор, отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился ряд прекрасных математических исследований хаотической динамики. Я попытался прочитать эти труды и вьщелить с помощью моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем, кто намерен изучать колебания в эксперименте. Я полагаю, что но- [c.6]

Среди работ, затерянных в безбрежном океане статей и монографий, посвященных задаче трех тел, многие результаты и поныне не утратили своего значения. XVIII в. оставил нам частные решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, теорию возмущений и метод вариации постоянных . XIX столетию принадлежит великое открытие па копчике пера , сделанное У. Леверрье и Дж. Адамсом. Идея представления решений в виде степеииых и тригонометрических рядов также в духе того столетия для вычисления орбит небесных тел астрономы до сих пор нередко используют методы, восходящие к исследованиям того времени. Итог исследованиям XIX в. подвели Новые методы небесной механики Л. Пуанкаре и знаменитая теорема К. Зундмана об аналитической регуляризации любого решения задачи трех тел с ненулевым значением момента количества движения. [c.133]

Общая теория интегральных инвариантов создана Пуанкаре и изложена им в III томе Новых методов небесной механики . Ряд важных дополнений сделал Эли Картан. Они подытожены в его Интегральных инвариантах [28]. Основная идея книги Картана — авто-номизация дифференциальных уравнений, т. е. переход от пространства положений к пространству-времени, в котором координаты х и [c.108]

Эргодическая теория геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны может быть достаточ-то глубоко исследована с помощью методов теории унитарных лредставлений групп Ли. Впервые идея об алгебраической конструкции таких геодезических потоков появилась в работе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина (см. [20]), где было получено много важных результатов. Динамические системы, к которым. применим подход Гельфанда—Фомина, иногда называют динамическими системами алгебраического происхождения. Многие относящиеся к ним результаты описаны в обзоре [22]. Здесь мы остановимся только на геодезических потоках на многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Мы будем пользоваться моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на верхней комплексной полуплоскости Я= z= (x+iy) г/>0 . Линия г/=0 называется абсолютом (и обозначается Я(оо)), а ее точ-зси — бесконечно удаленными. Прямыми в Я служат полуокружности с центрами на aб oJIIЮтe или лучи, ортогональные J абсолюту. Риманова метрика кривизны — К задается в виде скалярного произведения <, >л в точке z= x+iy)6H равенст-k [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...