Пуанкаре единственности

Эту задачу в простейшем (планетном) случае можно решить классическим методом, предложенным Пуанкаре. Единственно,что нужно сюда добавить—это соответствующее условие периодичности вместо классического условия возвращения точки в начальное состояние через интервал времени 7 > 0. Такая замена необходима, потому что классическое условие, будучи примененным к семейству периодических решений уравнения (1), полученных на основании X (/), приводит к вырожденному случаю даже после применения интеграла Якоби. Эту трудность можно обойти, использовав следующие условия для решения [c.95]

Теорема Пуанкаре. Единственно возможным движением жидкости, при котором она находится в состоянии относительного равновесия, является перманентное вращение ее вокруг одной из главных центральных осей инерции. [c.773]

Выше мы видели, что положительное предельное множество траектории С может состоять из одной-единственной особой точки I и при г оо траектория стремится к I или, возможно, входит в нее. Этот результат можно трактовать как частный случай теоремы Пуанкаре — Бендиксона, если особую точку I рассматривать как вырожденную форму предельного цикла. [c.392]

Существование предельного цикла будет доказано, если будет найдена замкнутая кривая, охватывающая точку О, которая обладает тем свойством, что вектор F в каждой ее точке направлен внутрь области, ограничиваемой этой кривой. При этом, как и в 20.6, существование предельного цикла будет следовать из теоремы Пуанкаре — Бендиксона. Однако, мы приведем здесь другое доказательство, которое одновременно будет гарантировать и единственность решения. [c.396]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

По отношению к проблеме в целом представляется по-прежнему справедливым высказывание Пуанкаре, сделанное им в 1892 году Конечная цель небесной механики состоит в том, чтобы решить вопрос, насколько один закон Ньютона объясняет вре астрономические явления единственная возможность достичь этой цели состоит в том, чтобы делать как можно более точные наблюдения и затем сравнивать их с результатами расчетов [35 [c.121]

Пусть 7—замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве М X Ш = z,t гамильтоновой системы i = JH z,t). Каждая точка (zo,to) Е 7 определяет единственную регулярную кривую (z(t), t) в М xR, где z(-) — решение уравнений Гамильтона с начальным условием z(to) = zq. Совокупность этих кривых заметает цилиндрическую поверхность П в М х R, которая называется трубкой траекторий. Согласно теореме Пуанкаре — Картана [69], интеграл ydx— Hdt имеет одно и то же значение для всех гомологичных замкнутых кривых 7 на П (одинаково охватывающих трубку траекторий П). [c.21]

В заключение рассмотрим важную теорему об единственности интегрального инварианта Пуанкаре, согласно которой любой универсальный интегральный инвариант вида [c.425]

Однако, как отметил Ляпунов, законность такого упрощения априори ничем не оправдывается, ибо дело приводится к замене рассматриваемой задачи другой, с которой она может не находиться ни в какой связи. Учет членов второго и более высоких порядков малости в уравнениях возмущенного движения, что пытались делать некоторые исследователи (например, Раус), не давал новых оснований для строгих заключений об устойчивости. Единственная попытка строгого решения принадлежала Пуанкаре, который рассматривал устойчивость для случая систем дифференциальных уравнений второго и отчасти третьего порядков. [c.8]

Таким образом,, в случае отличного от нудя определителя (2.7), который в дальнейшем будем называть определителем Пуанкаре, существует одно-единственное периодическое решение системы (2.1), обращающееся лри [А = О в решение порождающей системы. Иначе говоря, вопрос о соответствии периодических решений систем (2.1) и (2.2) в этом случае решается положительно ). Последнее утверждение и представляет собой известную теорему А. Пуанкаре. [c.159]

Важность этих решений для теории была отмечена еш,е в начале теку-ш,его столетия Пуанкаре, который говорил, что периодические решения представляют собой единственную брешь, через которую можно надеяться проникнуть в неизведанную и загадочную область множества решений задачи трех тел, составляющих ее общий интеграл. С другой стороны, решения этого рода издавна использовались в небесной механике или для приближенного представления движений небесных тел или в качестве промежуточных их движений, рассматриваемых как первое приближение, уточняемое затем при помощи метода вариации произвольных постоянных или при помощи какого-либо другого процесса последовательных приближений. [c.356]

При ц<0 на экваторе сферы Пуанкаре возможна единственная особая точка — простой узел, и, как было отмечено, сепаратриса седла имеет петлю. Качественная картина изображена на рис. 80. [c.123]

Теорема Пуанкаре. Если функциональный определитель Д(Ра1,и)> соответствующий рассматриваемому порождающему решению, не равен нулю при 8 = 1-1 = О, то, по крайней мере при достаточно малых значениях д , система (3.52) имеет единственное периодическое решение, голоморфное относительно 1 и обращающееся в порождающее решение при г = 0. [c.163]

Таким образом, вся задача сводится к интегрированию одного-единственного линейного уравнения, определяющего зная которое мы найдем и простыми квадратурами. Решение линейного уравнения второго порядка с неизвестной рИ может быть написано сразу, в явном виде, опять-таки при помощи использования теоремы Пуанкаре. [c.639]

Теорема Пуанкаре. Если Л(ц, Р) 13=11=0=5 0, то по крайней мере при достаточно малых ц уравнение (10.1.01) имеет единственное Т-периодическое решение, аналитическое относительно [X и обращающееся в порождающее решение = ф( ) при ц = 0. [c.789]

Сопряжение, построенное в (2.1.1), применимо к отображению /, продолженному на комплексную окрестность нуля, так как и /, и сопряжение определяются степенным рядом (см упражнение 2.1.7). Кроме того, нет необходимости предполагать, что отображение / сохраняет действительную прямую, т. е. что коэффициенты ряда Тейлора, включая первый член Л, вещественны. Единственное предположение, которое мы должны сделать относительно Л, состоит в том, что числа 1 — Л" равномерно отделены от нуля для всех п. Это эквивалентно тому, что Л 1, и такая ситуация называется случаем Пуанкаре. [c.106]

Чтобы доказать достаточность, предположим, что (М, 9) — подмногообразие контактного типа. По лемме Пуанкаре форма 9 может быть продолжена до формы 9 на окрестности и многообразия М таким способом, что 6,9 = ш на и. Тогда соотношение — в единственным образом определяет и мы имеем /, = 9(Х )фО, так что поле трансверсально к М. Наконец, цш) = (1в = ш. [c.239]

Замечание. Единственная причина, вынуждающая нас работать в Е ", заключается в том, что в конце доказательства применяется лемма Пуанкаре. [c.239]

Теорема 14.1.1 (теорема Пуанкаре — Бендиксона). Пусть М— поверхность, являющаяся открытым подмножеством сферы 5 либо проективной плоскости, и пусть X —векторное поле на М класса СЧ Тогда все положительно или отрицательно рекуррентные орбиты являются периодическими. Кроме того, если множество ш-предельных точек некоторой точки не содержит неподвижных точек, то оно состоит из единственной периодической орбиты. [c.455]

Покажите, что теорема Пуанкаре — Бендиксона 14.1.1 выполнена для любого потока, порожденного векторным полем класса С , для которого выполняется теорема единственности рещений дифференциальных уравнений. [c.460]

Простейший класс движений биллиардных систем составляют периодические движения их траектории, очевидно, замкнуты. На первый взгляд может показаться, что периодические траектории не могут представлять реального интереса, поскольку лишь с нулевой вероятностью начальные условия движения будут в точности отвечать начальным условиям периодического решения. Однако может случиться, что эти данные мало отличаются друг от друга. Тогда можно взять траекторию периодического решения за начальное приближение и изучить поведение возмуш,енных траекторий в ее окрестности. Такой путь оказывается весьма плодотворным. С другой стороны, согласно гипотезе Пуанкаре (пока не доказанной в полном объеме), в типичной ситуации периодические траектории консервативных систем всюду плотно заполняют компактные поверхности уровня интеграла энергии. По мнению Пуанкаре, особая ценность периодических решений заключается в том, что они являются единственной брешью, через которую мы можем проникнуть на территорию динамических систем, не поддающихся точному интегрированию ([66, п. 36]). [c.57]

Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний генератора, время движения изображающей точки по циклу — их период, а форма предельного цикла — форму колебаний. Таким образом, задача об исследовании периодических автоколебаний в системе сводится к задаче нахождения предельных циклов в фазовом пространстве и определения их параметров. Общий метод для нахождения предельных циклов (как, например, для определения координат и типов состояний равновесия) не известен даже для систем второго порядка. Правда, на основании теории индексов Пуанкаре (см. гл. 15) мы можем сформулировать некоторые критерии отсутствия предельных циклов на фазовой плоскости например, если в системе нет состояний равновесия, то в ней не может быть и предельных циклов, или если единственное состояние равновесия является седлом, то предельных циклов тоже нет и т. д. [c.299]

Для доказательства существоваиня и единственности предельного цикла на плоскости ху, а также для установления границ его расположения воспользуемся методом кривой контактов и теоремой Пуанкаре—Дюлака. [c.143]

Так, Планк предполагал, что излучение только испускается порциями. Он связывал это с особенностями механизма испускания излучения атомами и молекулами вещества. Само же излучение существовало, как полагал Планк, не в виде квантов, а в виде непрерывной сущности , в виде непрерывных электромагнитных волн в пространстве. Однако такие представления казались не вполне состоятельными, так как в этом случае непрерывная световая энергия должна была бы где-то ждать возможности порциоиного поглощения атомами вещества иначе говоря, непрерывная энергия должна была бы каким-то образом разбиваться на кванты перед поглощением (такое возражение выдвигал Пуанкаре). Под влиянием подобной критики Планк выдвинул так называемую гибридную гипотезу, согласно которой излучение испускается квантами, а поглощается непрерывно. Однако допущение столь разных физических механизмов испускания и поглощения излучения не могло не казаться довольно странным. Напрашивался единственный выход признать, что само излучение не непрерывно, а состоит из отдельных порций (квантов), Сделать такой вывод Планк все же не решился. Это сделал Эйнштейн. [c.46]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того можно ли найти единственные Т-периодические решения х1 (О уравнений (43), (44), а также будут ли ряды (42) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений (46) которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях для порождаюш,ей системы, составленными для порождающего решения. [c.53]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Чтобы доказать теорему Пуанкаре, рассмотрим такое подмножество А поверхности 5, что все точки А никогда не возвращаются назад к А. Выберем А достаточно малым, а т достаточно большим, так что Дт и А не перекрываются (если это невозможно, то теорема тривиально верна) тогда никакие из множеств Д2т, Дзт, не перекрываются, потому что если и Л(п4- г)т имели бы общис точки, то, прослеживая движение назад и пользуясь единственностью движения через любую дан- [c.162]

Укажем основные моменты доказательства теоремы 1. Покажем сначала, что функции Г у,х) не зависят от х. Пусть у,х) > X Т и fo = Ф + гФо- Тогда и - пе1)вые интегралы невырожденной невозмущеиной системы. Согласно лемме Пуанкаре (см. 1, гл. IV), они не зависят от х Тд. При х постоянство функций Го вытекает из связности области и единственности аналитического продолжения. [c.332]

Составление уравнений движения. Уравнения (2), (4) описывают основные два типа движений рассматриваемой механической системы со связями (1) безударные перелеты и соударения. Недостаток такого описания состоит в разнотипности уравнений одно из них дифференциальное, другое — разностное. Априори, сугцествуют два способа унификации переход к дифференциальной либо к разностной форме. Традиционным является второй из этих способов, ас-социируюгцийся с построением точечных отображений типа отображений Пуанкаре ([9, 29, 37, 44, 67, 81] и др.) При этом, как правило, в качестве сечения выбирают поверхность удара (предполагается, что система подчинена единственной односторонней связи) [c.242]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

С точки зрения топологии трансляционную теорему Браувера о преобразованиях плоскости можно рассматривать как трактующую вопрос о топологических отображениях сферы с одной единственной инвариантной точкой. Аналогичным образом надлежащее обобщение теоремы Пуанкаре бросает свет на морфологию любого такого преобразования с двумя инвариантными точками. Важный новый метод исследования, изобретенный Керекьярто(" ), как кажется, дает возможность рассматривать эти и другие подобные вопросы на общей основе. [c.310]

Осгуда 146 Пуанкаре 157,182 единственности 17, 22, 23 непрерывности 18, 23 [c.407]

Мы уже встречались с гомеоморфизмами окружности в предыдущих главах. Повороты (см. 1.3) представляют собой достаточно простой пример, который можно систематически исследовать. Пуанкаре поставил вопрос о том, при каких условиях данный гомеоморфизм или диффеоморфизм сопряжен повороту. Оказывается, что по крайней мере для достаточно гладких отображений единственный модуль — число вращения — полностью описывает топологический класс, если он является иррациональным, и трудности, возникающие для рациональных значений, легко могут быть описаны. Даже в топологическом случае иррациональность числа вращения гарантирует полусопряженность с соответствующим поворотом. [c.391]

Рассмотрите параметризованную замкнутую кривую, касательные векторы к которой близки к образующей потока. Зафиксируйте последовательность поперечных сечений в равноудаленных друг от друга точках кривои и рассмотрите произведение соответствующих отображений Пуанкаре. Введите подходящие координаты на каждой трансверсали н продолжите отображения Пуанкаре на все евклидово пространство с сохранением гипюболичностн. Затем повторите доказательство леммы Аносова о замыкании (теорема 6,4.15). Единственная неподвижная точка произведения отображений Пуанкаре соответствует периодической орбите потока, которая остается близкой к исходной орбите потока после небольшой репараметризации. [c.750]

Интенсивные исследования нелинейных диссипативных систем с трехмерным фазовым пространством позволили в последние годы обнаружить совершенно новый класс автоколебательных систем. Это автогенераторы шума — диссипативные системы, совершающие незатухающие хаотические колебания, колебания со сплошным спектром за счет энергии нешумовых источников. Замечательно, что даже столь привычный нам осциллятор (14.10) в широкой области параметров является автогенератором шума. Открытие стохастических автоколебаний — это, пожалуй, наиболее яркое достижение современной теории. Почему же оно появилось только сейчас Дело в том, что со времен Пуанкаре до недавнего времени предельный цикл был единственным примером нетривиального притягивающего множества в фазовом пространстве нелинейных диссипативных систем. Правда, уже довольно давно были обнаружены сложные многопетлевые предельные циклы. Устойчивые многопериодические движения были обнаружены при исследовании синхронизации автогенераторов. [c.305]

ТОЧНО большой оказывается уже область Оо, но это пока не доказано. Поэтому, чтобы сделать определение понятия поля достаточно гибким и пригодным в разных ситуапдях, мы не будем фиксировать область О более, чем это требуется предположениями, перечисленными в I. В утешение заметим, что состояния рассеяния и матрица рассеяния в теории определяются однозначно полями, заданными в области Оо (см. [5] и [15]). Кроме того, можно доказать, что инфмитезимальные операторы группы Пуанкаре п имеют единственные самосопряженные расширения, когда они определены только на Оо. В начале раздела 3-2 будет показано, что существует область О1 большая, чедт [c.138]

В данной статье мы рассмотрим несколько задач о движении точечных вихрей внутри и вне кругового цилиндра в наиболее общей постановке, когда циркуляция вокруг цилиндра не равна нулю. В первой части статьи выводятся гамильтоновы уравнения движения вихрей внутри и вне круговой области с циркуляцией. Здесь же приводится единственный дополнительный (наряду с гамильтонианом) интеграл движения полученных уравнений, позволяющий полностью проинтегрировать задачу двух вихрей. Во второй части статьи для полученных уравнений движения рассматриваются аналоги томсоновских конфигураций вихрей, представляющие собой полигональные конфигураций вихрей равных интенсивностей. Для них получены аналитические условия устойчивости в зависимости от числа вихрей и отношения радиусов конфигурации и цилиндра. В третьей части статьи рассматривается движение точечных вихрей вблизи кругового цилиндра в набегающем потоке. С помощью численного исследования отображения Пуанкаре показана неинтегрируемость уравнений движения двух вихрей в потоке. Описано также решение Фёппля и условия его устойчивости. [c.416]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...