Решения периодические Пуанкаре 2-го вида

Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как п для периодических решений второго рода, характерным является то, что они при д, = О (когда массы двух планет гП] — а]Ц, гпч — гМ- обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических решениях в проблеме трех тел им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида. [c.794]

Периодические колебания в подобных случаях могут быть найдены методом Пуанкаре ( 7.3). Решение ищем в виде [c.250]

При практическом использовании метода Пуанкаре периодическое решение системы (40) разыскивают в виде рядов [c.52]

По упоминавшейся теореме А. Пуанкаре система уравнений (46) имеет в рассматриваемом случае k периодических решений с периодом Т вида [c.55]

Постановка задачи. Систематическое исследование задачи о построении периодических решений дифференциальных уравпепий началось с классических работ Пуанкаре и Ляпунова и было продолжено многими авторами (см. работы [1-8] и имеющуюся там библиографию). В наиболее обш,ей форме уравнение с малым параметром 1 R имеет вид [c.406]

Сформулируем сначала одну теорему А. Пуанкаре о существовании периодических решений системы канонических уравнений следующего вида (см. гл. I, I) [c.86]

Мы будем рассматривать случай, когда параметр мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням . Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых Новых методов небесной механики [9]. [c.235]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Доказательство существования периодических решений второго и третьего сорта в задаче трех тел сведено Пуанкаре [2] К исследованию на экстремум некоторой функции Ри смысл которой следующий пусть уравнения движения в задаче трех тел записаны в гамильтоновой форме (см. ч. IV, 1.13) с аналитической по ц при цо функцией Гамильтона Р вида [c.793]

Это уравнение как раз такого типа, для которого нами был развит метод Пуанкаре. Поэтому мы дальше можем действовать по шаблону. В нулевом приближении периодические решения уравнения (9.80) имеют вид [c.703]

При соответствующих предположениях о малости коэффициентов это уравнение легко может быть приведено к виду х- -х= -/ х, дг) (х — безразмерная переменная и i. — малый параметр), для которого нами были развиты теории Ван-дер-Поля и Пуанкаре и получены общие формулы для амплитуд периодических решений, для поправки к частоте в первом приближении и т. д. [c.716]

Основной факт, устанавливаемый теоремой Пуанкаре, заключается в том, что возможные в квазилинейных системах при достаточно малом ц периодические движения располагаются вблизи периодических движений соответствующих линейных систем, в которые они обращаются при ц = 0. В связи с этим линейная система, получаемая из квазилинейной при ц = О, и ее периодические решения, вблизи которых возникают периодические решения квазилинейной, называются по отношению к последней порождающими. В применениях теоремы Пуанкаре приходится иметь дело с двумя видами порождающих систем и решений и соответственно с двумя методами построения периодических решений квазилинейных систем. Первый относится к случаю, когда порождающие уравнения являются уравнениями вынужденных колебаний с периодической правой частью, явно зависящей от времени, периодическое решение которых не содержит никаких произвольных параметров. Большей частью это порождающее решение будет единственным периодическим решением порождающей системы, вблизи которого расположится единственное периодическое решение квазилинейной системы, непрерывно переходящее в порождающее, когда ц 0. Так будет, например, в квазилинейной системе с уравнением [c.525]

Следуя Пуанкаре [14], попытаемся искать периодическое решение у( уравнения (11.12) в виде ряда по степеням параметра х [c.226]

Заключение. Методом Пуанкаре получен асимптотический вид периодического решения уравнений Навье - Стокса и уравнения теплопроводности в приближении Буссинеска для ламинарной конвекции в бесконечном плоском горизонтальном слое жидкости с неоднородным радиальным градиентом температуры специального вида на границах слоя. [c.51]

Для исследования неизолированных периодических решений методом Пуанкаре следует знать 2 я/со — периодические решениялинейной системы уравнений вида [c.208]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной Теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. 11, п. 3). [c.91]

Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении конкрет71ых задач методом сшивания (припаговыванип). В своем первоначальном виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по исследованию устойчивости вошли в первое издание монографин [2], где рассмотрены автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с 2-образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке. В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения прямой в прямую. [c.93]

Эти выводы полезно сравнить с результатами работы [14], в которой при выполнении неравенств (2.9) или (2.10) доказано существование одного периодического решения с частотой (2.8). Метод Пуанкаре позволяет удвоить количество периодических решений и, что даже более важно, сделать заключение об их устойчивости. Любопытно отметить, что в книге Лефшеца [3] (в которой изложена работа [14] в несколько более общем виде) имеется ссылка па классическое сочинение Пуанкаре [9]. Специалистам по теории колебаний следовало бы более внимательно изучать работы Пуанкаре. Это замечание относится и к работам по синхронизации динамических систем (см., например, [15]) сформулированные в этой теории экстремальные свойства синхронных (резонансных) движений часто оказываются следствием результатов Пуанкаре [c.241]

В качестве иллюстрации гомоклинических структур рассмотрим пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий периодической траектории в трехмерном фазовом пространстве. При этом удобно использовать так называемое отображение последования Пуанкаре, которое в общем виде, в Л -мерном фазовом пространстве, заключается в регистрации последовательных точек Уо, VI, Уг,. .. пересечения траектории (в одном и том же направлении) с некоторой секущей (М—1)-мерной поверхностью 2 в фазовом пространстве, чем определяется отображение = П(Ул, Ке) поверхности в себя. Поскольку решение и(ыо, О уравнения (2.79) существует при всех /, это отображение обратимо. [c.126]

Желание многих астрономов построить теории движения небесных тел в тригонометрической форме , подразумевая под этим представление позиционных переменных (большие полуоси, эксцентриситеты, наклоны и их аналоги) в виде сумм периодических функций времени, а угловых переменных (долготы, аномалии и их аналоги) —в виде сумм линейных функций времени и сумм периодических функций, привело к разработке общего метода построения решений канонических систем с периодическим по угловым переменным и аналитическим по ц гамильтонианом, названного Пуанкаре методом Линдщтедта [2]. Начало этого направления было положено Лапласом, а завер-щенное развитие его мы получили благодаря Пуанкаре. [c.824]

Гомоклинические пфаектории. Подробное обсуждение гомоклинических траекторий можно найти в книгах Лихтенберга и Либермана [ПО] и Гукенхеймера и Холмса [37]. Мы уже знаем, что, хотя решения многих динамических задач представимы в виде непрерывной кривой в фазовом пространстве (с координатами дг и < = х) или в пространстве решений (с координатами х и /), загадки нелинейной динамики и хаоса часто удается разгадать, глядя на дискретную численную выборку из движения, известную под названием сечения Пуанкаре. Мы видели также, что в сечении Пуанкаре точки, хотя в действительности они образают последовательность точек в п-мерном пространстве, могут располагаться вдоль некоторых непрерывных кривых. Эти кривые называются многообразиями. Говоря далее о гомоклинических траекториях, мы имеем в виду последовательность точек. Эта последовательность называется траекторией. Например, если речь идет о периодической траектории с периодом 3, то последовательность точек поочередно посещает три состояния на фазовой плоскости (рис. 5.15, а). С другой стороны, квазипериодическая траектория соответствует последовательности точек, перемещающихся по некоторой замкнутой кривой (рис. 5.15, б). Квазипериодические колебания часто встречаются среди движений двух связанных осцилляторов с двумя несоизмеримыми частотами. [c.179]

Метод Линдштедта очень эффективен, так как дает простой способ приближенного интегрирования возмущенной гамильтоновой системы. Этот метод сыграл большую роль в развитии теории, так как позволил построить разложение общего решения возмущенной гамильтоновой системы в формальный ряд, содержащий только периодические по времени члены. Методы, дающие такие разложения, Пуанкаре назвал новыми в противовес старым методам, в которых появлялись вековые члены вида и sin It, eos It (34]. Открытие новых методов совершенно изменило постановку вопроса об устойчивости возмущенных гамильтоновых систем (и в том числе Солнечной системы). Появление вековых членов в старых методах, обусловленное в действительности способом разложения, (подобно тому как возникает вековой член в разложении sin (l + e)i==sin<-be< osi-b. ..), считалось признаком неустойчивости движения . Усилия были направлены на доказательство отсутствия таких членов для конкретных возмущений в главных порядках разложения. Для Солнечной системы Лаплас доказал отсутствие вековых членов в первом порядке по возмущению. Пуассон нашел, что во втором порядке по возмуще- [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...