Матрица Пуанкаре

Матрицу Р назовем матрицей Пуанкаре. [c.67]

Легко понять, что матрица Пуанкаре Р равна Рп. 1.. -Р2, й-Р. г-Таким образом, [c.71]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Теорема (Ляпунова-Пуанкаре). Характеристическое уравнение (14) линейной гамильтоновой системы (3) с 2тт-периодической по t матрицей Н( ) возвратное. [c.548]

В 3.4 методом однородных решений исследована контактная задача Qiq о сдвиге штампом усеченного плоского клина. Задача сведена к решению бесконечной системы второго рода высокого качества типа систем Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими элементами матрицы и правой части. Задача имеет самостоятельный интерес и в тоже время может служить моделью для значительно более сложных задач. [c.16]

Видим, что при R > а свободные члены системы (2.35) и коэффициенты ее матрицы экспоненциально убывают с ростом номеров. Таким образом, система (2.35) относится к типу нормальных систем Пуанкаре-Коха. [c.60]

Можно показать, что элементы матрицы и правой части бесконечной системы (3.33) убывают с ростом номеров по экспоненциальному закону при Ь > а, О а, что говорит о том, что эта система относится к типу нормальных систем Пуанкаре-Коха и ее решение может быть получено методом редукции. [c.107]

Для решения задачи используется метод однородных решений, который позволяет свести рассматриваемые задачи к исследованию бесконечных систем линейных алгебраических уравнений второго рода высокого качества типа Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими элементами матриц и правых частей. Их решение может быть получено методом редукции при любых значениях параметров задач. [c.149]

Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен р ) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный р)Х = = ЛХ1/Л). [c.76]

Так как -= дЖ дС 7 О в окрестности периодического решения (2.1), то, применяя теорему Пуанкаре ( 1), надо образовать матрицу У = Х Т)—Е и, вычеркивая последний столбец [c.82]

Если лагранжиан С левоинвариантен (т. е. г> ( ) = 0), то С зависит лишь от переменных и матрица В обращается в нуль. В этом случае уравнения Пуанкаре являются замкнутой системой уравнений на алгебре д матрицы А и. Ь дают их представление Гейзенберга. Такое представление не всегда точное если группа С абелева, то с,у = О и уравнение (8.5) вырождается в тривиальное тождество. Однако представление Гейзенберга является точным для случая, когда д — простая алгебра (как в задаче Эйлера). [c.107]

По лемме 1, ранг матрицы Якоби (1.7) не превосходит. во всех точках множества Пуанкаре Р,. Все миноры этой матрицы являются аналитическими функциями от х, у, и множество Р., ключевое для класса аналитических функций, поэтому функции [c.181]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

В гладких системах матрица Якоби А( ) и решение системы (8) непрерывно дифференцируемы, и по теореме Пуанкаре [c.244]

Некоторое усовершенствование того же рассуждения (с другим выбором производящей функции )) показывает, что достаточно даже, чтобы собственные числа матрицы Якоби D (X,Y)ID (z, у) ни в одной точке не были равны —1, т. е. чтобы наше отображение не переворачивало бы касательное пространство ни в одной точке. К сожалению, все такие условия нарушаются в некоторых точках для отображений, далеких от тождественного. Доказательство теоремы Пуанкаре в общем случае использует совсем иные соображения. [c.386]

Замечание 3. Не все интегрируемые случаи, указанные в таблице 3.2, обладают физическим содержанием, так как для уравнений Пуанкаре-Жуковского коэффициенты матриц А, В, С не являются произвольными и имеют достаточно ограниченную область изменения. [c.186]

МАТРИЦЫ ГЕССЕ И ПУАНКАРЕ [c.66]

Определение 1. Периодическое решение с начальным. условием (ф , фг), имеющее п звеньев, называется невырожденным по Пуанкаре, если спектр матрицы рт"/5ф = Р в точке ф = (фь, ф ) не содержит единицы. [c.67]

Следует заметить, что коль скоро фотон прошел через призму Николя, скажем Р (6), у него уже вполне определенное состояние поляризации, а именно такое собственное состояние оператора Р (6), собственное значение которого равно + 1- Поэтому такой эксперимент можно назвать подготовкой состояния , ибо если этот фотон опять пройдет через Р (6), то результат второго эксперимента можно предсказать с полной уверенностью. Второй эксперимент можно назвать измерением , проводимым на фотоне. Но если измерение выполняется с помощью поляризатора Р (6 ), ориентированного под углом 6 Ф 6, то исход эксперимента может быть оценен только в вероятностном плане, так как прибор Р (6 ) видит приходящий фотон в суперпозиции со своими собственными состояниями, хотя фотон был подготовлен и первоначально характеризовался определенным собственным состоянием оператора Р (6). Все сказанное выше справедливо для любого проекционного оператора, собственным состояниям которого соответствуют диаметрально противоположные точки на сфере Пуанкаре. Проекционные же операторы (а не какие-нибудь другие) мы рассматривали исключительно ради удобства. Вопрос об описании с помощью эрмитовых матриц таких оптических приборов, операторы которых не являются проекционными операторами, читатель может проанализировать самостоятельно. [c.218]

Каждой га-звенной периодической траектории ф" 6 Т" соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т ", полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории <р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72]

Величины Л Пуанкаре предложил называть коэффициентами устойчивости. Если, как в п. 229, функция (3) определенно-положительна, то все величины Л положительны и положение равновесия устойчиво. Если же хотя бы одна из величин Л отрицательна, то положение равновесия неустойчиво . Число отрицательных коэффициентов устойчивости называется степенью неустойчивости. В дальнейшем важна будет не сама степень неустойчивости, а ее четность или нечетность. Пусть С — матрица квадратичной формы (3). Тогда det С = Л1Л2. .. Отсюда следует, что если det С > О, то степень неустойчивости четная (или равняется нулю), а если det С < О, то степень неустойчивости нечетная. [c.538]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы F требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения при р = а, = О, t = а, для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая = 0. Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений. [c.616]

Глава 2 посвящена решению осесимметричных контактных задач для цилиндрических тел конечных размеров канонической формы, когда штамп воздействует на плоскую или цилиндрическую части их границы. Для решения задач применяется метод сведения парных рядов-уравнений к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей с последующей регуляризацией (п. 1.2.1) и метод однородных решений. Метод однородных решений позволяет свести задачи к решению БСЛАУ второго рода типа Пуанкаре-Коха с экспоненциально убывающими элементами матрицы и правой части и хорошо изученным ИУ для слоя с различными правыми частями. Как известно, решение таких бесконечных систем может быть получено при любых значениях параметров методом редукции. [c.14]

Обозначим матрицу размером 2 х 3 в правой части равенства (3.3) через R. Заметим, что дЖо/дрх = dS o/dipi = 0. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и леммы Пуанкаре (см. 1 гл. 1). Пусть (Д, /г) 6 П Д°. Тогда ранг матрицы R равен 1. Значит, при фиксированном значении переменной I2, па инвариантных кривых отображения S кольца К на себя ( 1 настоящей главы), составляющих множество SSflD, матрица R тоже имеет ранг 1. Согласно лемме 1 множество 5S П D является ключевым для класса A D). Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби R при любом фиксированном значении I2 являются аналитическими функциями в области D, то в области D х (ai, аг) ранг R равен 1, то есть функции Ж и зависимы. [c.65]

Пусть к = 1. Тогда матрица монодромии Р = ехр(27гГ2/о ) имеет собственное значение р = 1 кратности г. Следовательно, теорема 1 содержит как частный случай теорему Пуанкаре из п. 2 8. [c.234]

Доказательство теоремы 1 основано на идеях КАМ-теории. Согласно 9, при малых > О инвариантные торы являются гиперболическими. При п = 1 они превращаются в периодические решения, и теорема 1 становится частным случаем теоремы Пуанкаре из п. 5 8. Действительно, условие 3) теоремы 1 при этом заведомо выполнено, а условие 1) совпадает с условием невырожденности кевозмущенной системы. Далее, невырожденность матрицы УК ПК эквивалентна двум условиям det V О и det(/i n/< ) ф 0. Первое из них сводится к условию невырожденности критической точки функции h, а второе эквивалентно второму из неравенств (8.15). Следовательно, применима теорема Пуанкаре. [c.240]

Теорема 3.8. Если dimMo = О (Мо(о ) = г°(а ) ), степень неустойчивости Пуанкаре относительного равновесия г = r°(a ),v = = v°(o ) = v (r°) нечетна и ранг [п — к т) х [п — к т.)-матрицы [c.84]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

П редложение 2. Существует 5 > О, такое, что для любого Н Е —6,6) 0 отображение Пуанкаре на имеет инвариантное подмножество, на котором оно полусопряжено топологической цепи Маркова над К со следующей матрицей переходов А [c.156]

А. Пуанкаре в 1879 г. рассмотрел систему вида (4) с постоянными коэффициентами и в том случае, когда вещественные части всех характеристических чисел постоянной матрицы Р = pki II отрицательны и различны. Он получил разложение (10). А. М. Ляпунов, не зная работы Пуанкаре, повторил его результат в 1888 г. Мы не будем касаться других работ в этом направлении таких авторов, как Э. Пикар (1896), А. Дю-лак (1912), Дж. Биркгоф, К. Л. Зигель или, например, В. А. Плисс [c.70]

В отличие от рассматриваемых далее уравнений Пуанкаре-Жуковского, описывающих движение тела с полостью, заполненной вихревой жидкостью (см. гл. 3, 2), матрицы А, В, С зависят от позиционных переменных, которые определяют положение несомого тела относительно несущего, задаваемое элементом группы S0 3). В качестве таких переменных можно выбрать углы Эйлера, либо направляющие косинусы, либо другую систему координат на группе S0 3). [c.159]

Для оценки возможностей рассматриваемого метода следует отме- тить, что в нем имеется единый прием определения концентрации напряжений и формы свободной поверхности у линии раздела граничных условий. Определение коэффициентов Л и В прн любых условиях на торцах полубесконечных и конечных областей сводится к решению нормальных систем Пуанкаре—Коха, элементы матриц которых убывают экспоненциально и по номерам строк и по номерам столбцов, причем для конечных областей детерминанат системы двусторонний. Способ вычисления свободных членов в алгебраических системах существенно зависит от типа условий, заданных на торце и па участках боковых поверхностей, непосредственно граничащих с торцом. Этот способ устанавливается по следующему простому правилу нужно заменить смешанные условия на боковой поверхности данной области однородными основными условиями того типа, который поставлен около торца, и посмотреть, как может быть решена эта новая задача для полубесконеч-иой области методом однородных решений. Если она решается точно (методом Фурье или методом обобщенной ортогональности), то и свободные члены вычисляются точно, в противном случае их можно вычислить вариационными методами. [c.242]

Методы Пуанкаре получили многочисленные приложения в задаче трех тел. Шварцшильд доказал [12] существование периодических решений в ограниченной круговой задаче трех тел, периоды которых в общем случае несоизмеримы с периодом порождающего решения. Эти периодические решения вырождаются при (1 = О во вращающиеся эллипсы вокруг центрального тела (периодические решения с вращающейся линией апсид). Следует также сказать о работе Цейпеля [13], содержащей детальное исследование периодических решений третьего сорта, о книге К. Зигеля [6], в которой доказывается существование периодических решений гамильтоновых систем, когда матрица линеаризованной части имеет пару чисто мнимых собственных значений, Г. А. Мермана [14], в которой приведены новые четырехпараметрические множества периодических решений в огра- [c.794]

Диск Пуанкаре с группой преобразований Мёбиуса может быть получен следующим образом. Рассмотрим верхнюю половину Н двуполостного гиперболоида в К , задаваемую условиями <Э(х) = =-1, ад>0. Группа 50(2,1) вещественных (3 х 3)-матриц, сохраняющих неопределенную квадратичную форму Q, действует на этом гиперболоиде, а подгруппа индекса два, сохраняющая неравенство а, > О, следовательно, может рассматриваться как действующая на Н. Так как действие линейно в оно переводит плоскости, содержащие начало координат (т. е. плоскости вида ах, - - Ьх2 сх = 0), в плоскости, содержащие начало координат, следовательно, семейство С кривых, получающихся в результате пересечения таких плоскостей с Н, сохраняется. [c.556]

Осталось доказать, что функция С х) умеренно растущая. Так как в силу второго пункта теоремы Д 2.9 углы между различными подпространствами удовлетворяют субэкспоненциальной оценке снизу, достаточно рассмотреть блочные матрицы. Заметим, что функция log Af ограничена и, следовательно, теорема Д 2.9 может быть применена к А. Положим = г 6 X 11 С (г) < iV . По теореме Пуанкаре [c.664]

В 2 на конкретном примере рассматривается метод Джопса. В 3 вводится метод когерентных матриц. Затем в 4 излагается метод Мюллера с использованием понятия сферы Пуанкаре. Наконец, в 5 мы рассмотрим несколько специальных случаев частичной поляризации, представляющих определенный интерес, [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...