Теорема Ляпунова — Пуанкаре

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Теорема (Ляпунова-Пуанкаре). Характеристическое уравнение (14) линейной гамильтоновой системы (3) с 2тт-периодической по t матрицей Н( ) возвратное. [c.548]

Отсюда следует, что характеристическое уравнение (14) возвратное, и теорема Ляпунова-Пуанкаре доказана. [c.548]

В силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых , отличных от нуля. Кроме того, при достаточно малых мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот важный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (п. 244). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых е мультипликаторы не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. [c.551]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Во второй — пятой главах рассмотрены задачи теории гамильтоновых систем и ее приложений. Вторая глава посвящена линейным гамильтоновым системам. Приводятся результаты Ляпунова об устойчивости линейных гамильтоновых систем с постоянными или периодическими коэффициентами. Для устойчивых систем в случае простых корней характеристического уравнения строятся конструктивные алгоритмы приведения системы к нормальным координатам. Тут же приводится теорема Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем и рассматривается задача о параметрическом резонансе в гамильтоновых системах, содержащих малые периодические возмущения. В последнем параграфе второй главы получены области параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру и приведены необходимые расчетные формулы. [c.11]

Значит, характеристическое уравнение (4.3) — возвратное, и теорема Ляпунова — Пуанкаре доказана. [c.39]

J ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ — ЛЯПУНОВА 425- [c.425]

Теорема Пуанкаре — Ляпунова. Перейдем теперь от линейного приближения (для движения в окрестности особой точки О) [c.425]

ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ — ЛЯПУНОВА 427 [c.427]

Критический случай. Теорема Пуанкаре — Ляпунова ничего не говорит нам о критическом случае, когда некоторые из имеют чисто мнимые значения. [c.428]

Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен р ) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный р)Х = = ЛХ1/Л). [c.76]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

Согласно теореме Пуанкаре — Ляпунова, собственные значения Aj,..., Х2П-2 симплектического преобразования д разбиваются на пары Aj = А . .., А 1 = поэтому в гамиль- [c.364]

Эта фундаментальная теорема обобщила теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.36]

Из теоремы А. М. Ляпунова, рассмотренной в предыдущем разделе, вытекает, как частный случай, одна теорема Пуанкаре, доказанная знаменитым французским ученым независимо от Ляпунова и являющаяся основой широко известного метода малого параметра . [c.49]

Непосредственно, теорема А. Пуанкаре получается из рассмотренной теоремы А. М. Ляпунова, если в системе (1.82) положить х Я = 0 и v=l. Теорема эта, как следует из вышеизложенного, может быть сформулирована следующим образом Теорема А. Пуанкаре. Пусть дана система уравнений [c.51]

Если функции fs(t) представляют частное решение уравнений невозмущенного движения, то только что доказанная теорема Пуанкаре, разумеется, неприменима и приходится прибегать к методу Ляпунова или интегрировать уравнения в вариациях каким-нибудь другим способом. [c.54]

Эта теорема использует теорему сведения . 4 для класса W > она почти очевидна, а для классов W2 и Wi следует из результатов Пуанкаре—Ляпунова ( 4, гл. 5), а также [43] (см. гл. 5). [c.72]

Это — аналог теоремы Пуанкаре—Ляпунова ( 4, гл. 5). Для гладких ростков многообразия неподвижных точек или замкнутых кривых, вообще говоря, нет. [c.83]

Третья глава посвяш ена задаче устойчивости и содержит наряду с классическими результатами Ляпунова прежде всего рассмотрение вопросов сходимости, связанных с нормальной формой аналитических дифференциальных уравнений вблизи положения равновесия и с разложением обш его решения в тригонометрические ряды. В этой связи было бы весьма желательным привести также полное доказательство часто упоминаемой теоремы Пуанкаре о расходимости рядов в небесной механике, но мне не удалось этого сделать. Излагаемая в конце теорема [c.14]

Отсюда следует, что характеристическое уравяепие (14) возвратное, и теорема Ляпунова — Пуанкаре док азана. [c.396]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Теорема Ляпунова—Пуанкаре. Если матрица И ( ) линейной гамильтоновой системы (1.1) — 2п-периодическ(1я по 1, то характеристическое уравнение [c.38]

Мультипликатор р характеристического уравнения (4.3) системы (1.1) с 2я-периодическими коэффициентами при 8=0 имеет вид р = ехр 2пК). Согласно теореме Ляпунова — Пуанкаре (см. 4), вместе с мультипликатором р=ехр (2яХ) существует мультицликатор р = ехр (—2яЯ,). Отсюда получаем, что харак теристическое уравнение (4.3) при 8=0 имеет кратные корни в том и только в том случае когда выполняется соотношение [c.44]

Кроме того, при достаточно малых е мультипликаторы не могут иметь модули, больпше единицы. Этот вывод является простым следствием из теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении (4.3). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых значениях е они не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. [c.45]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

В типичной ситуации функция h является функцией Морса. Поэтому у нее всегда найдутся критические точки, в которьгх h имеет знак, противоположный знаку 6. При п = 1 получаем периодические решения возмущенной задачи, период которьгх кратен 27г/о . Этот случай, по существу, охватывается классической теоремой Пуанкаре о рождении невырожденных периодических решений (см. теорему 5 8). Отметим две особенности. Во-первых, зависимость возмущенных решений аналитична по е, а не по у/г, как в теореме 1. Во-вторых, критическим точкам функции /г, в которьгх к Х )6 > О, при е > О отвечают возмущенные периодические реигения эллиптического типа они устойчивы в линейном приближении. Условия их устойчивости по Ляпунову указаны в работе [123]. [c.247]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Второй метод основывается на принципах, не зависящих от разыскания каких-либо решений уравнений возмущенного движения он Ьостоит в построении некоторых непрерывных однозначных функций V х, t переменных и времени обращающихся в пуль при = О и удовлетворяющих определенным условиям. По признанию Ляпунова, на этот метод его натолкнуло изучение работы А. Пуанкаре О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1881—1885 русский перевод М.—Л., 1947). Основания второго метода выражены в данных Ляпуновым следующих четырех теоремах. [c.9]

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.15]

Анализ устойчивости неподвижной точки (О, 0), проведенный в 20 (гл. 4), основан на идеях Пуанкаре и Ляпунова. Обобщение их результатов на системы с многими степенями свободы было осуществлено только в 1950 году М.Г.Крейном [1], [2]. Исследования Крейна были продолжены Якубовичем [1], Гельфандом и Лидским [4] и т.д. Изложение теоремы Крейна было опубликовано Мозером [3]. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...