Классификация Пуанкаре

Используйте классификацию Пуанкаре. [c.748]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

Различные способы классификации особых точек восходят еще к работам АЛ . Ляпунова [240], Е. Шмидта [505] и А. Пуанкаре [486]. Они в дальнейшем обсуждались и развивались в исследованиях [346, 453, 147,212,53] и др. [c.179]

Часть 1. Гл. 2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ, КЛАССИФИКАЦИЯ И ИНВАРИАНТЫ 2.8. Теорема Пуанкаре — Зигеля [c.106]

Теорема 11.2.7 (теорема Пуанкаре о классификации). Пусть f 5 —>5 — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм с иррациональным числом вращения. [c.401]

Замечание. Полезно сравнить эту теорему с предложением 2.4.9, которое дает аналогичное описание отображений степени к, f >2. Однако оба доказательства предложения 2.4.9 (использующее кодирование из п. 2.4 б и основанное на методе неподвижной точки из п. 2.4 в) существенно отличаются от доказательства теоремы Пуанкаре о классификации. Эти два доказательства опираются на гиперболичность модельного отображения Е,,, тогда как ключевая идея настоящего доказательства — сохранение порядка точек на окружности. [c.401]

Замечание. Заметим, что если А =М, то М компактно и поток не имеет неподвижных точек, так что согласно классификации компактных поверхностей и теореме Пуанкаре — Хопфа 8.6.6 М является либо тором, либо бутылкой Клейна. Упражнение 14.2.3 исключает последнюю возможность, и, таким образом, М = Т . [c.463]

Используйте классификацию орбит Пуанкаре и соображения из предложения 2.1.7. [c.748]

Пуанкаре о возвращении 152 --о классификации 401 [c.767]

Предложенная классификация периодических решений совпадает с классификацией неподвижных точек отображения Пуанкаре ( 4, гл. 2). [c.89]

Таблица 2.2. Классификация отображений Пуанкаре

Мы успели ознакомиться с 2 примерами фрактальных множеств, но не располагаем пока ни одним критерием для того, чтобы определять, фрактально ли то или иное точечное множество. Для классификации природы отображения Пуанкаре некоторых не- [c.215]

Введенная Пуанкаре классификация периодических решений не учитывает все множество таких орбит. Его исходная точка зрения состоит в отыскании периодических орбит при ц = О и затем в определении условий, при которых периодические орбиты могут быть также при малых значениях р. Прежде всего при этом, конечно, исключаются такие периодические орбиты, для которых настолько велико, что координаты тела не могут быть разложены по степеням Нельзя также быть уверенным, что [I при этом должно иметь весьма большое значение. Известно. что (А встречается в качестве множителя в вековых неравенствах долготы перигелия и узла периодических орбит, и разложения координат (или элементов) содержат одновременно со степенями р и степени 1. Таким образом, нельзя быть уверенным в том. что при помощи разложений по степеням ц можно получить такне орбиты, для которых период Т превышает определенную величину. [c.453]

В ограниченной задаче трех тел орбиты называются периодическими, если периодическим является движение бесконечно малой частицы относительно вращающейся системы координат. Пуанкаре в своей классической работе, посвященной ограниченной задаче, говорил, что изучение периодических орбит является важнейшим вопросом и отправным пунктом в задаче классификации решений. Особое значение, которое он придавал периодическим орбитам, отражается в его знаменитом предположении если дано частное решение ограниченной задачи, то всегда можно найти периодическое решение (быть может, с очень большим периодом), обладающее тем свойством, что при любом / оно сколь угодно мало отличается от исходного решения. В терминах фазового пространства это утверждение можно выразить следующим образом если дана точка в фазовом пространстве, то сколь угодно близко от нее всегда существует другая точка, соответствующая периодической орбите. Предположение Пуанкаре относилось только к решениям, ограниченным в фазовом пространстве, т. е. он не рассматривал орбиты, соответствующие уходу или столкновению. [c.160]

Задача 2-е. Классификация автоморфизмов Ш). Покажите, что автоморфизм Н или Ш) гиперболичен (см. задачу 1-d) тогда и только тогда, когда он переводит некоторую геодезическую метрики Пуанкаре в себя без неподвижных точек. [c.41]

Докажите, что топологическая энтропия гоиеомор(Ызма окружности равна нулю, без использования вариационного принципа и классификации Пуанкаре. [c.404]

Классификация Пуанкаре также появляется в гл. 15 его третьего мемуара [258]. Топологическая классификация нетраизитивных отображений окружности с иррациональным числом вращения принадлежит Марклн [196]. [c.731]

Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна. Мы рассмотрели лишь три интегральных инварианта — инвариант Пуанкаре — Картана, унииерсальный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем рассматривать, а остановимся лишь на общей их классификации. [c.305]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Движение спутника Р в ограниченной плоской круговой задаче трех тел называют периодическим, если его координаты X t), у f) во вращающейся системе отсчета являются периодическими функциями времени, то есть существует такая константа А, > О, что х t К) = х t) г/ (/ Н- Я) = i/ t) при любом t. Если движение точки Р является периодическим и мы знаем его в течение только одного периода, то тем самым мы знаем движение для любого промежутка времени. В течение последних 70 лет появилось значительное число исследований, посвященных периодическим орбитам ограниченной задачи трех тел. Так, например, группа датских астрономов (Т. Тйле, Э. Стрем-грен и другие) дали полную классификацию периодических решений для так называемой Копенгагенской задачи, то есть для ограниченной плоской круговой задачи трех тел при условии, что массы притягивающих центров Ai и А2 равны (т = /Пз). Аналогичное исследование при = 1 10 выполнил английский астроном Дж. Дарвин в последние годы XIX столетия. Фундаментальные результаты и методы в исследовании периодических орбит принадлежат русскому математику А. М. Ляпунову (1857 — 1918) и французскому математику А. Пуанкаре (1856—1912), [c.263]

Определимость и предикативность понятий и правил соответствия по А. Пуанкаре. Анализу на предикативность подлежат отношения , устанавливаемые правилами соответствия . Правило соответствия предполагает классификацию , которая меняется (или не меняется) в зависимости от введения новых элементов. Каждый новый элемент имеет своё определение . Поэтому первичными являются определимость понятия, а также его атрибут быть предикативным или непредикативным . Эта цепочка, ведущая к смыслу предикативности отношений , выстраивается, следуя работе А. Пуанкаре [91] (только последними звеньями этой цепочки с атрибутом непредикативности являются правила соответствия и отношение , устанавливаемое правилами соответствия ). Поскольку считается, что разъяснение значения слова предикативный , данное в лекции, не совсем ясно [5], приведём с нашими комментариями (и примерами) значительную часть (в противном случае потребовалось бы неоднократное цитирование с перекрывающимися контекстами) доклада А. Пуанкаре в Гёттингене на тему О трансфинитных числах (доклад пятый, 1909) [91]. [c.210]

Основы топологической динамики были заложены Пуанкаре, когда он предложил качественное описание решений дифференциальных уравнений, которые не могут быть решены аналитически. Одним из его ранних достижений была классификация отображений окружности (теорема 11.2.7). М. Морс и Дж. Д. Биркгоф внесли большой вклад в топологическую динамику, пытаясь понять поведение более классических систем (геодезических потоков и гамильтоновых систем). Позднее подход, основанный в большей степени на внутренних свойствах топологической динамики, разрабатывался Г. Хедлундом, Дж. Окстоби и другими. Важная область топологической динамики — теория дистальных расширений X. Фюрстенберга, которая в дальнейшем разрабатывалась Р. Эллисом. [c.21]

В заключение отметим, что теорема Пуанкаре о классификации 11.2.7 полностью отвечает на вопрос относительно инвариантных мер для гомеоморфизмов окружности. В случае рационального значения числа вращения каждая эргодическая инвариантная мера атомарна это равномерная <5-об-разная мера, сосредоточенная на периодической орбите. Для иррационального значения числа вращения мы должны рассматривать отдельно транзитивный и нетранзитивный случаи. [c.403]

Эта теория принадлежит Пуанкаре (второй мемуар [257]) и Бенедиксону [39]. В первой половине нашего столетня дифференциальная динамика обычно называлась качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ векторных полей в случае размерности два (в частности, на плоскости и на торе) рассматривался как одно нз центральных наггоавлений в теории, как, например, это представлено в таких классических трудах, как [66] н [223]. К числу главных достижений этого периода относятся теория Данжуа для потоков (см. предложение 14.2.4), анализ структурной устойчивости двумерных потоков, данный Андроновым и Понтрягиным [13], конструкция потока Черри (п. 14.4 а) и классификация Майера орбит потоков на поверхностях высшего рода [186]. Позже, в связи с лучшим пониманием гиперболической теории, теория потоков на поверхностях отошла на второй план. [c.732]

Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой. Для формальной классификации линейных систем полезно привлечь общие методы теории нормальных форм Пуанкаре (гл. 3). Рассмотрим неавтономную систему [c.125]

Класс симметризуемых систем, обобщающих аффинноинвариантные свойства канонического триплета,— класс 5-систем, был определен в 1 гл. 5. Регулярная квадратично-нелинейная 0-система, для которой построенная по 0-симметризатору 5 квадратичная форма в (д ) (матрица 0 обратна матрице 25) пропорциональна форме В х) = = 2 1(Л ) (д ) (Л = (5. ,/5д у) — матрица устойчивости), называется 5-системой. Представляет интерес выяснение вопроса о существовании -систем с трехмерным фазовым пространством, отличных от канонического триплета. Ниже изложено полное решение этого вопроса, основанное на вещественной классификации тернарных кубических форм. Другой метод исследования 5-систем в изложен в работе [199]. Кубическая характеристическая функция данной 0-системы Р (х , х , х ), согласно А. Пуанкаре [208], приводится невырожденным вещественным линейным преобразованием переменных х , х,) к одному из следующих канонических видов [c.280]

Голоморфная динамика уходит своими историческими корнями в начало двадцатого века, к работам Пуанкаре, Ритта и Фату. Ее естественными истоками являются теория Клейновых групп, классификация перестановочных при суперпозициях мероморфных функций и граничное поведение аналитических функций. [c.7]

Хотя существует несчетное множество конформно различных римановых поверхностей, в односвязном случае их классификация описывается очень просто. По определению, поверхность 5 односвязна, если каждое отображение окружности в 5 может быть непрерывно про-деформировано в постоянное отображение, ср. 2. Согласно Пуанкаре и Кёбе, с точностью до изоморфизма существуют только три односвязных римановых поверхности. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...