Уравнения в вариациях Пуанкаре

Это — уравнения в вариациях Пуанкаре. [c.235]

Аналогично доказывается, что если уравнения в вариациях Пуанкаре имеют линейный интеграл [c.236]

Отсюда просто доказывается известная теорема Пуассона. Если Ф = а и Oi = ai — два первых интеграла канонических уравнений движения, то будут существовать частные решения уравнений в вариациях Пуанкаре [c.236]

Уравнениями возмущенных движений материальной системы вблизи ее положения равновесия в первом приближении будут уравнения в вариациях Пуанкаре с постоянными коэффициента- [c.236]

Для ведущего движения уравнения в вариациях Пуанкаре будут иметь коэффициенты зависящие от времени. Наименьшее из характеристичных чисел функций, составляющих некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре т] называется характеристичным числом этого решения. Пусть оно есть у. и пусть у/ есть характеристичное число другого решения Isi 11s 1 для которого инвариант отличен от нуля [c.242]

Если все у. положительны, то решения уравнений в вариациях дают устойчивость, если среди характеристичных чисел существует по меньшей мере одно отрицательное, то — неустойчивость. Из последнего неравенства следует, что для устойчивости ведущего движения по уравнениям в вариациях Пуанкаре необходимо, чтобы все характеристичные числа х были нулями. Для случая приводимых уравнений в вариациях Пуанкаре предложение это говорит, что вблизи устойчивого ведущего движения возмущенные движения имеют колебательный характер. Вопрос о частоте нормальных колебаний еще не разрешен. [c.242]

После разложения правых частей в ряды Тейлора по малым аначениям ц, и использования (14) получаем в первом приближении уравнения в вариациях Пуанкаре [c.282]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Действительные возмущенные движения находятся среди группы бинарных преобразований. И, значит, инвариант бинарных преобразований движения будет интегралом уравнений в вариациях Пуанкаре. [c.360]

Уравнения в вариациях Пуанкаре дают возможность изучать поведение траекторий в некоторой окрестности заданного движения. [c.595]

Если положить s=Bs, r)s=—As, то получим уравнения в вариациях Пуанкаре, что и доказывает теорему. [c.599]

В этом случае, как это показано выше, уравнения в вариациях Пуанкаре имеют два первых интеграла [c.599]

Рассмотрим систему уравнений в вариациях Пуанкаре. Пусть имеется некоторое решение этой системы т) ( =1, 2,. .., к) и пусть Ло — наибольший из характеристических показателей функций 1, дг,. .., 11, Цг,. ... т)а. Представим решение в виде [c.600]

Тогда функции Аз(1) и Ва 1) будут иметь только нулевые или отрицательные характеристические показатели и будут либо исчезающими, либо ограниченными. Число Ло называется характеристическим показателем решения уравнений в вариациях Пуанкаре. [c.600]

Предположим, что имеется еще одно частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре р 12> 111 2 11 характеристическим показа- [c.600]

Если ввести обозначения = (i - pi, то уравнения (25), (26) примут вид уравнений в вариациях Пуанкаре [c.140]

В общем случае вопрос об устойчивости некоторого движения дг = = 41 ( )> Р1 = Р1 ( ) консервативной системы начинается с исследования уравнений в вариациях Пуанкаре [c.36]

Система (7.35) есть система уравнений в вариациях Пуанкаре [c.450]

Термин уравнения в вариациях принадлежит А. Пуанкаре. [c.381]

Эти уравнения, позволяющие исследовать решения, бесконечно близкие к заданному решению, были введены Пуанкаре, который назвал их уравнениями в вариациях решений системы (33). [c.410]

Уравнения (23.1.6) называют уравнениями в вариациях, иногда — уравнениями в вариациях Якоби или Пуанкаре. Они связаны с точными уравнениями (23.1.4) точно так же, как уравнения линейного приближения связаны с точными уравнениями в задаче о движении в окрестности особой точки ( 21.11). Уравнения в вариациях можно записать в матричной форме [c.458]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г (О, образующие k независимых периодических решений системы (49), сопряженной с системой в вариациях (46). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами . Но общих методов решения таких систем не существует. Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы, зависящего ог п—1 параметров, так как при наличии (я—1)-го независимого частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно определить с помощью квадратур. [c.56]

Наряду с методом малого параметра Пуанкаре (см. 1), известен еще один эффективный прием исследования ветвления решений аналитических систем дифференциальных уравнений он предложен А. М. Ляпуновым в 1894 г. [118] и основывается на изучении уравнений в вариациях известных частных решений. [c.357]

Теорема Пуанкаре об уравнениях в вариациях. Если функции fs i j), где Си. .., Ск произвольные постоянные, представляют общее решение исходных уравнений (1.9Г), то функции [c.53]

Если функции fs(t) представляют частное решение уравнений невозмущенного движения, то только что доказанная теорема Пуанкаре, разумеется, неприменима и приходится прибегать к методу Ляпунова или интегрировать уравнения в вариациях каким-нибудь другим способом. [c.54]

Примечание. Метод определения коэффициентов рядов (1.92) может быть применен также и к рядам (1.91), (1.89), (1.87), так что интегрирование нелинейных уравнений с помощью рядов, расположенных по степеням параметров и произвольных постоянных, всегда приводится к интегрированию систем линейных уравнений, из которых находятся коэффициенты упомянутых рядов. Теорема Пуанкаре об уравнениях в вариациях также применима к подобным системам линейных неоднородных уравнений. [c.54]

Если в уравнениях (5.48) отбросить все члены порядка выше первого, то получим уравнения первого приближения (уравнения в вариациях, по терминологии Пуанкаре), которые распадаются, как непосредственно видно, на систему двух уравнений с неизвестными х, у и одно, независимое от первой системы, уравнение с неизвестной z. [c.242]

Теорема 1. Пусть Р — оператор монодромии уравнения в вариациях (2) (линейное отображение Пуанкаре периодической траектории у), Q — оператор монодромии уравнения параллельного переноса V (i)==0, а о = 1 в зависимости от того, сохраняет или обращает ориентацию траектория "f. Тогда определитель Яр выражается через характеристический полином det (p —Р) траектории -f. [c.159]

Первая группа уравнений в вариациях Пуанкаре дает неносред-ствепно такие уравнения [c.242]

На первый взгляд может показаться, что проведенное исследование малопригодно для практических целей, так как для составления матрицы F требуется знать решение (30.7.2) уравнений движения. Но это, однако, не совсем так. Фактически нам требуется знать лишь значения при р = а, = О, t = а, для чего достаточно знать решение уравнений линейного приближения (уравнений в вариациях) для случая = 0. Последнее же решение всегда может быть построено (гл. XXIII). Таким образом, теория Пуанкаре дает нам практически удобный метод доказательства существования периодических решений. [c.616]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того можно ли найти единственные Т-периодические решения х1 (О уравнений (43), (44), а также будут ли ряды (42) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений (46) которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях для порождаюш,ей системы, составленными для порождающего решения. [c.53]

Для эффективного построения приближенного решения необходимо предварительно решить уравнения первого или второго приближения (усредненные уравнения). Однако эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными, что накладывает определенные ограничения на возможность применения изложенного метода. В большинстве случаев усредненные уравнения, в особенности уравнения первого приближения, более простые и поддаются исследованию. Во многих случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти важные частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процессам. При п = 1 уравнения первою приближения (125) интегрируются в квадратурах при п = 2 для их исследования может быть использована известная теория Пуанкаре. При любом п, если Хо ( ) обращается в нуль в некоторой точке = о, можем рассматривать квазистатическое решение j = уравнений первого приближения. Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом, составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях) [c.86]

Ио векторное уравнение duJdt = dX x)/dx, u j является уравнением в вариациях для порождающей системы, поэтому, согласно теореме Пуанкаре [12], общий его интеграл находится путем дифференцирования общего решения (81) по произвольным постоянным. Следовательно, общее решение уравпепия (88) в принципе определяется в квадратурах. [c.39]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.15]

С постоянными коэффициентами, которые называются по Ляпу-нову уравнениями первого приближения (уравнения в вариациях—по терминологии Пуанкаре). Для этой системы уравнение [c.98]

Среди характеристически.х корней уравнения в вариациях для этого решения имеется отрицательное число (—а). Согласно известным результатам Ляпунова—Пуанкаре, уравнения движения имеют решение (13), асимптотическое к решению (И). Отметим, что метод Блока—Шази уже раньше применялся [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...