Трубка прямых путей

Итак, контур С и построенная выше трубка прямых путей отображаются из расширенного фазового пространства в расши- [c.294]

Вспомним теперь, что исходный контур Со и контур на трубке прямых путей l были выбраны совершенно произвольно. Отсюда сразу получаем, что контурный интеграл [c.296]

В пространстве q, p, t выберем произвольный замкнутый контур С и выпустим из него трубку прямых путей гамильтоновой системы с гамильтонианом Н. Пусть преобразования (ИЗ) переводят эту гамильтонову систему в некоторую новую систему гамильтоновых уравнений (по условию теоремы преобразование каноническое ), трубку прямых путей старой — в трубку прямых путей новой гамильтоновой системы, а замкнутый контур С — ъ замкнутый же контур С. [c.316]

Для системы с гамильтонианом Я имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Поэтому интеграл в правой части выписанного равенства не зависит от выбора контура С на трубке прямых путей этой системы. Значит, не зависит от выбора этого контура и интеграл в левой части равенства [c.317]

Здесь при а = 0 и а = / имеем одну и ту же точку кривой Со. Из каждой точки кривой Со, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из системы канонических уравнений Гамильтона. Получим замкнутую трубку прямых путей (см. рис. 33, я=1) [c.115]

Интегральный инвариант Пуанкаре Д ке меняет своего значения, если контур С смещается вдоль трубки прямых путей, переходя в контур С, состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл /, удобно рассматривать в обычном (нерасширенном) 2п-мер-ном фазовом пространстве ( 1, /7],. .., q , /7 ). В этом пространстве контурам С и С (рис. 33) соответствуют контуры D и D, охватывающие трубку прямых траекторий (рис. 36) при этом [c.136]

Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Покажем, что в случае потенциальных ударных импульсов в системе (1) имеет место интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. С этой целью рассмотрим расширенное фазовое (2п + 1)-мерное пространство переменных qi, Ь, Рг (рис. 19.1). В этом пространстве выберем замкнутую трубку прямых путей с контуром С , определяющим начальное состояние системы в момент времени о- На трубке выделим замкнутую кривую С , охватывающую её и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Контур С характеризует состояние системы перед [c.136]

Криволинейный интеграл (4), взятый вдоль произвольного односвязного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей. Замкнутая трубка прямых путей описывается уравнениями [c.226]

Предпосылки простоты вывода в том, что имеются две группы сопряжённых переменных, qi 1 = , ..., п) и pi (г = 1,..., п), и контур в криволинейном интеграле располагается на трубке прямых путей, т. е. траекторий, доставляющих стационарное значение функционалу действие . [c.226]

Проведённые выкладки позволяют сделать следующее утверждение. Если для траекторий системы (6) имеются фазовые трубки прямых путей и интегральный инвариант вида (8), то система имеет гамильтонову форму с гамильтонианом (19). [c.231]

Два контура Со и С, охватывающие трубку прямых путей, называются согласованными, если возможна такая параметризация одним и тем же параметром а, что при каждом значении а соответствующие точки контуров (7о и Сх расположены на одном и том же прямом пути. [c.225]

Функция /(q, р, I) является первым интегралом системы с гамильтонианом Я(q, р, ). При построении трубки прямых путей системы в (2п + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве [c.226]

Для гамильтоновых систем, кроме законов сохранения — первых интегралов — имеют место законы сохранения особого вида интегральные инварианты. Потребуется понятие трубки прямых путей. [c.118]

Теорема 24.2. Пусть трубка прямых путей образована решення-мп системы (24.7). Пусть по любым двум согласованным контурам Со и Сг, охватывающим трубку прямых путей, интеграл тина Пуан-каре-Картана [c.122]

Инвариант (24.5) содержит компактную информацию о гамильтоновой системе (24.2). Например, если на согласованных контурах, охватывающих трубку прямых путей некоторой системы (24.7), интеграл [c.123]

Каждой точке контура (24.25) соответствует единственное решение уравнений Гамильтона (24.23) — прямой путь (один путь изображен на рис. 24.4 пунктиром). Подстановка (24.5) в решение (24.4) определит в пространстве поверхность p t,a), q t,a) — трубку прямых путей (рис. 24.3, рис. 24.4). Построим другой контур i, охватывающий трубку прямых путей и согласованный с контуром Со при каждом значении а соответствующие точки контуров Со и l расположены на одном и том же прямом пути. Па рисунке 24.3 согласованный контур есть результат подстановки в решение (24.24) начальных данных (24.25) р = p(t,a), q = q(t,a) и для разных решений разных сдвигов по t вдоль решения t = Т sin где [О, Т] — [c.129]

График подтверждает, что вследствие несогласованности контуров интеграл Пуанкаре-Картана на разных контурах, охватывающих трубку прямых путей, принимает разное значение. [c.131]

Вернемся к расширенному фазовому пространству и проведем на трубке прямых путей какой-либо произвольный контур j, охватываюш,ий эту трубку (рис. [c.295]

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Рассмотрим теперь интегральный инвариант Пуанкаре — Картана (85), взяв в качестве контуров, охватывающих трубку прямых путей, только одновременные контуры, т. е. контуры, которые получаются сечением этой трубки гиперплоскостями / = onst (рис. VI 1.8). Чтобы отличить одновременные контуры от контуров, произвольно проведенных на трубке прямых путей, будем обозначать их через С. Для всех точек такого контура t имеет одно и то же значение и, следовательно, для таких контуров дифференциал времени dt равен нулю. В силу этого интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, рассматриваемый только на одновременных контурах, имеет вид [c.297]

Значение энергии определяется фазовыми координатами q и р. Поэтому в расширенном фазовом пространстве q, р, t может 0ыть выделено изоэнергетическое подпространство , соответствующее множеству точек, где выполняется условие (136). Особенностью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом изоэнергетическом подпространстве . Если при выводе интегральных инвариантов выбрать исходный контур Со в этом подпространстве, то вся трубка прямых путей будет также лежать в этом подпространстве, а сам интегральный инвариант Пуанкаре—Картана примет вид [c.327]

Обращаем внимание читателя на то, что, несмотря на сходство записи, интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем (137) не совпадает с универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре,— ведь в случае инварианта Пуанкаре интегрирование производится по контуру С, расположенному в плоскости onst, а в формуле (137) контурный интеграл берется по произвольному контуру С, охватывающему трубку прямых путей. [c.327]

Замечание. При доказательстве мы ввели вспомогательную переменную р. и использовали то обстоятельство, что интеграл I не меняет своего значения при переходе от одной кривой семейства fi = onst к другой кривой того же семейства. Из-за произвольности функции qi, Pi) семейство кривых fi = onst по существу является произвольным семейством непересекающихся замкнутых кривых, охватывающих данную трубку прямых путей. Если мы не ввели бы параметр (i, а приняли бы в качестве параметра время t, то, повторяя те же рассуждения, мы только частично использовали бы инвариантность интеграла / (только для кривых из одновременных состояний t = onst) и не могли бы прийти к нужному резу.чьтату. [c.120]

В расширенном фазовом пространстве одномерного осциллятора с лагранжианом L = — (j q )/2, движущегося но закону q = Asin ( ot + а), найти уравнение поверхности трубки прямых путей, соответствующей заданной постоянной амплитуде А и изменению фазы а от О до 2к. Изобразить эту трубку в перспективе, показав [c.224]

По гладкой горизонтальной оси может двигаться точка единичной массы. В расширенном фазовом пространстве этой системы построить трубку прямых путей, исходящую из контура Gq, заданного параметрически уравнениями (а) = sin а, р а) = osa, t a) = О, О а 2т1. Для этой трубки вычислить интеграл Пуанкаре. Сравнить его с интегралом Пуанкаре-Картана по контуру Gi, полученному путем сечения трубки плоскостью p — t = 0. [c.233]

Теорема 24.1. Пусть трубка прямых путей образована решенп-ямп некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.120]

В заключение параграфа еще раз обратим внимание на аккуратность, с которой нужно подходить к утверждению Вычисление интеграла Пуанкаре-Картана по двум контурам, охватывающим трубку прямых путей, приводит к совпадающим результатам. Утверждение с гарантией справедливо, если контуры согласованы, т. е. возможна такая параметризация контуров общим параметром а, что при каждом значении а соответствующие точки контуров расположены на одном и том же прямом пути. Совместно с студентами 552 группы МФТИ П.В.Башкирцевым, А.В.Вертячих и А.А.Витушко был организован численный эксперимент, который показывает, что при рассогласовании контуров — каждый прямой путь пересекает один раз первый контур и несколько раз второй — интегрирование приводит к разным числам . Исследование обсуждаемого вопроса вручную даже для простых уравнений весьма затруднительно. С применением вычислительной техники для линейного осциллятора с диссипацией проведено построение трубки прямых путей, охватывающих трубку контуров и интегрирование. Уравнению осциллятора [c.127]

Несогласованный с Со контур i = С(Т) близок к сечению трубки прямых путей плоскостью, проходящей через точку i = О, g = О, р = 1 и параллельной оси q. Контур i задается в цилиндрических координатг1х г, ip, t р = г os ip, q = г sin р) и параметризуется углом (р (р [0,2тг)) следующим образом. Фиксированному значению р ставится в соответствие время t = Т sin j ([0,Т] — диапазон изменения времени t на контуре) и сечение t = onst трубки прямых путей (рис. 24.5). [c.130]

Рис. 24.5. Сечение трубки прямых путей плоскостью t = onst. Уравнения

Смотреть страницы где упоминается термин Трубка прямых путей : [c.294] [c.296] [c.298] [c.298] [c.306] [c.314] [c.315] [c.327] [c.367] [c.116] [c.117] [c.136] [c.147] [c.136] [c.225] [c.225] [c.225] [c.226] [c.226] [c.226] [c.118] [c.119] [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...