Сечение Пуанкаре и хаотические движения

Сечение Пуанкаре и хаотические движения [c.55]

Для визуализации хаотических движений двухстепенных систем используют отображение Пуанкаре сечение Пуанкаре, фазовое сечение), сводящее фазовый поток к дискретному двумерному отображению плоскости на себя. [c.55]

Эти рассуждения подразумевают, что при непрерывной эволюции периодические движения соответствуют точкам покоя разностных уравнений, полученных с помощью сечения Пуанкаре. Итак, объекты, наиболее часто исследуемые при изучении перехода от периодического движения к хаотическому, — это простые одномерные и двумерные отображения. [c.34]

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения подкова (см. рис. 1.21) или логистического уравнения О-З.б), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент ug, так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение [c.88]

Рассматривается двухмерная задача об адвекции пассивной жидкости в поле скорости, генерируемом парой точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной круговой областью. Показано, что при определенных условиях движение пассивных жидких частиц может проявлять хаотические свойства, которые приводят к интенсивному перемешиванию жидкости. Для идентификации таких областей использовались различные критерии и методы анализ фазовых траекторий, спектральных и корреляционных характеристик, построение сечений Пуанкаре, вычисление наибольшего показателя Ляпунова. [c.441]

В хаотической динамике существует много методов и критериев для определения хаотических режимов движения динамических систем [4, 8, 10] анализ фазовой траектории системы, спектральный и корреляционный анализы, построение сечений Пуанкаре, анализ показателей Ляпунова и другие. Их совместное использование позволяет достаточно быстро и надежно определить режимы движения отмеченных жидких частиц при перемешивании. [c.443]

Если последовательность точек сечения Пуанкаре формирует упорядоченную структуру, или точки ложатся на какую-либо регулярную кривую, то такое движение системы называется упорядоченным. Если сечение Пуанкаре формирует неупорядоченную последовательность точек, то движение в этой области является хаотическим. Сечение Пуанкаре находит достаточно широкое применение при анализе различных физических систем [1, 4, 7, 17]. [c.447]

Метод кусочной сплайн-интерполяции позволяет анализировать процессы перемешивания на достаточно больших временных интервалах. Этот метод, наряду с методом сечений Пуанкаре, позволяет выделить те области течения, в которых исследуемая область подвергается интенсивному растяжению. Однако оба метода не позволяют изучить структуру хаотической области, проявляющей интенсивное перемешивание. Хаотическая зона движения исследуемого контура может содержать как области интенсивного, так и зоны слабого перемешивания, в которой контур подвергается простому переносу (дрейфу). Для того, чтобы изучить структуру хаотической зоны, можно воспользоваться построением локальных карт растяжения пассивных контуров [2]. [c.451]

Для того чтобы выяснить характер движения отдельных частиц, необходимо воспользоваться критериями хаотического движения. На рис. 4 показано сечение Пуанкаре для рассматриваемого случая взаимодействия вихрей. При анализе интервал дискретизации выбирался равным периоду взаимодействия вихрей. Видно, что вся область течения содержит две регулярные области, расположенные возле точечных вихрей. Жидкость, которая содержится в остальной части круговой области течения, участвует в хаотическом движении. [c.457]

Однако, основываясь на анализе законов движения пассивных маркеров, предсказать режим перемешивания для контура, который в начальный момент времени помещен в хаотической или в регулярной зоне течения, представляется достаточно сложным. Одни критерии (сечение Пуанкаре, фазовые траектории или спектральные анализ) говорят о хаотизации движения маркера А, в то время как другие (наибольший показатель Ляпунова, корреляционный анализ или локальные карты растяжений) не свидетельствуют о резких отличиях в характере движения маркера В. Для того чтобы выяснить этот вопрос, необходимо провести эксперимент, связанный с прямым численным моделированием задачи об адвекции пассивного контура, помещенного в начальный момент в область, в которой располагался маркер В, с использованием метода кусочной сплайн-интерполяции на каждом временном шаге интегрирования задачи. [c.460]

Построение сечений Пуанкаре позволяет эффективно определять области хаотического движения жидких частиц. Однако сечение Пуанкаре не предоставляет никакой информации об интенсивности перемешивания (размешивания) внутри хаотической зоны движения частиц. Напротив, локальные карты растяжения контуров предоставляют приближенные оценки растяжения контуров на ближайший временной интервал, но не могут зарегистрировать хаотические зоны перемешивания (сравни рис. 4 и 8). Действительно, сильное растяжение контура не является обязательным условием хаотического движения пассивных жидких частиц. С другой стороны, вычисление наибольшего показателя Ляпунова позволяет оценить степень расходимости двух близлежащих траекторий. Однако значение показателя Ляпунова не связано с растяжимостью исходного контура, который сформирован из большого числа жидких частиц, часть из которых может двигаться регулярно, а часть — хаотично. [c.465]

При такой взаимодействии хаотическое движение отсутствует. Здесь возможно как периодическое движение системы ( чехарда ), так и разовое взаимодействие колец. Во всех ситуациях максимальный показатель Ляпунова А,, стремится к нулю, сечение Пуанкаре состоит из нескольких точек. При этом число параметров, определяющих движение двух коаксиальных вихревых колец, сводится к [c.213]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

Для определения характера движения (хаотическое оно или периодическое) было использовано отображение Пуанкаре. Движение измерялось датчиками деформации, прикрепленных к защемленному концу балки, а в качестве фазовой плоскости была выбрана плоскость деформация — скорость деформации. Отображение Пуанка ре таких сигналов были синхронизованы с частотой вынуждающей силы. Наступление хаоса определялось по тому, что конечное множество точек в сечении Пуанкаре (за которым можно наблюдать помощью осциллоскопа см. гл. 4) становилось неустойчивым и на экране возникала картина, напоминающая по виду канторовское множество. [c.264]

Первый случай, обладающий симметрией относительно точки, является, как показано выше, полностью интегрируемым. Во втором случае траектории вихрей совершенно нерегулярно заполняют область, близкую к круговой. Особенно четко рЗ Вличия этих случаев можно проследить на рис.52, показывающем сечения Пуанкаре — положение вихря 2 на плоскости в те моменты времени, когда вихрь 1 пересекает положительную ось у. Подчеркнем, что исследование при помощи сечений Пуанкаре при финитном движении вихрей является мощным средством для идентификации хаотических и кваэнупорядо-ченных движений. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...