Теория Пуанкаре — Бендиксона

ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА. ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ [c.40]

Однако установление всех возможных типов траекторий, аналогичное теории Пуанкаре — Бендиксона (гл. 2), для случая и > 2 значительно сложнее. У динамической системы на плоскости, если траектория L имеет незамкнутую предельную траекторию Lo, то Lo среди своих предельных точек может иметь только состояния равновесия. В динамических системах числа измерений ге > 2 возможна бесконечная цепочка траекторий, обладающих тем свойством, что все они отличны от состояния равновесия и каждая траектория Lj+i является предельной для Li. Пример такой динамической системы с неаналитической правой частью см. [96]. Вопрос о возможности такой же ситуации в аналитической системе остается открытым. [c.468]

ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ —БЕНДИКСОНА [c.455]

Теория Пуанкаре — Бендиксона [c.455]

ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА 457 [c.457]

ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА 459 [c.459]

Книга содержит, во-первых, классические результаты по качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости, в основном принадлежащие Пуанкаре и Бендиксону, и, во-вторых, некоторые новые результаты, непосредственно по своему содержанию примыкающие к этим классическим результатам (см. гл. УП — XI). [c.9]

Мы уже касались этого вопроса в п. 10 1. В настоящей главе излагаются классические результаты, содержащие исчерпывающее решение этого вопроса для случая динамической системы вида (1). Эти результаты были в общих чертах получены А. Пуанкаре [5], а затем уточнены п обобщены И. Бендиксоном, использовавшим методы теории множеств. [c.69]

При первом знакомстве с КТДУ большое впечатление производит теория Пуанкаре—Бендиксона, устанавливающая возможные типы предельного поведения траекторий потока на плоскости или двумерной сфере. (В статье I, гл. 1, п. 5.5 рассмотрев основной случай относительно компактной полутраектории гладкого потока с изолированными положениями равновесия. Для других случаев тоже имеется довольно полное описание литературные ссылки см. в МЭ, Пуанкаре — Бендиксона теория .) Невольно думается, что если в этой теории удается столь эффективно использовать теорему Жордана (замкнутая кривая разбивает плоскость), то использование более мощных топологических средств должно дать сильные результаты в многомерном случае. [c.178]

Полная (топологически) картина поведения решений системы (а) в окрестности той точки Хд, Уд), для которой X (Хд, Уд) = Y хд. Уд) — О,— это и есть простейшая и основная задача качественной теории, простейшая, ибо она соответствует порядку системы п = 2, а не тг = 3,... Если такая полная топологическая характеристика траекторий у нас есть, тем более если она построена для всех особых точек (а), то тогда можно дать ответ на любой вопрос об устойчивости системы, какое бы разумное содержание не вкладывалось в избранное определение устойчивости. Очевидно, не составляет труда перевести, скажем, все те результаты, которые получены Пуанкаре и Бендиксоном для систем вида (а), на язык теории устойчивости. Работы Пуанкаре указаны выше, работа Бендиксона относится к 1901 г. Некоторые существенные дополнения к результатам Пуанкаре и Бендиксона принадлежат французскому математику А. Дюлаку (работы 1908—-1923 гг.). [c.136]

Основные факты качественной теории системы (I) изложены им в ставшей классической книге О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями . Одновременно в другом своем трехтомном труде Новые методы небесной механики Пуанкаре рассмотрел ряд вопросов качественной теории в связи с проблемой трех тел. Исследование вопросов устойчивости движения, рассмотренных Ляпуновым, изложено в книге Общая задача об устойчивости движения . Позднее исследования Пуанкаре, касающиеся системы вида (I), были дополнены Бендиксоном, а исследования Пуанкаре, относящиеся к уравнениям небесной механики, были уточнены Биркго-фом, использовавшим в своих работах методы теории множеств. [c.15]

В заключение мы докажем теорему Бендиксона, устанавливающую связь между числом гиперболических и эллиптических секторов состояния равновесия и его индексом Пуанкаре. Пусть (I) — дипамическая система, О — ее изолированное состояние равновесия, к — число его гиперболических секторов (т. е. число гиперболических секторов достаточно малой окрестности точки О), е — число эллиптических секторов, 1 = /(О) — индекс Пуанкаре. [c.559]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...