Ряды Пуанкаре

Рассмотрим два ряда Пуанкаре [c.77]

Пуанкаре установил ряд интересных предложений. [c.235]

После разложения правых частей в ряды Тейлора по малым аначениям ц, и использования (14) получаем в первом приближении уравнения в вариациях Пуанкаре [c.282]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Существуют ли и другие инварианты при канонических преобразованиях Пуанкаре указал на ряд интегральных инвариантов. Можно показать, что интеграл [c.846]

Классическая динамика родилась и выросла в эпоху, когда астрономия, математика, механика и физика были единой наукой последним олицетворением этого единства был А. Пуанкаре. Сейчас на классическую динамику смотрят как на модель многочисленных реальных движений, собственное лицо которой вырисовывается на фоне красивого переплетения ряда математических дисциплин. [c.148]

Геометрическое представление Пуанкаре разработано применительно к поляризационно-оптическому методу исследования напряжений М. Ф. Бок-штейн [8 ] это упростило решение ряда задач и позволило наметить новые экспериментальные приемы исследования.— Прим. ред. [c.34]

Эти работы вызвали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845—1912) по вопросу о фигурах равновесия, которые А. Пуанкаре назвал грушевидными. Дарвин отстаивал устойчивость этих фигур и на этом построил гипотезу развития двойных звезд. Ляпунов опроверг мнение Дарвина и опубликовал ряд замечательных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Таким образом, возникшая полемика закончилась победой русского ученого. Еще через несколько лет, в 1917 г., Дж. Джинс обнаружил ошибку в вычислениях Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости грушевидных фигур. [c.266]

Методы А. Пуанкаре и А. Ляпунова за последние три десятилетия получили дальнейшее развитие в работах многих исследователей эти методы были с успехом использованы при решении ряда важных прикладных задач, они являются в настоящее время одним из наиболее эффективных и универсальных в теории колебаний нелинейных систем. [c.51]

При практическом использовании метода Пуанкаре периодическое решение системы (40) разыскивают в виде рядов [c.52]

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Несколько состояний поляризации. Сообщим пучку S последовательно ряд определенных начальных состояний поляризации с порядковыми номерами i h, i, j, к,. .. (в циклической последовательности h, i, j. . . = = цикл h, i, j,. . . ). Соответствующие отображения М (2Р , 2у ) этих состояний на сфере Пуанкаре и орты i = h, i, j, к,.. . радиусов-векторов OMi жестко связаны с катящимся по экватору конусом анизотропии и, следовательно, сохраняют свое взаимное расположение неизменным вдоль пучка S [2] (при отсутствии дихроизма в модели). [c.20]

Вводные замечания. Задача трех или большего числа тел считается по справедливости одной из самых знаменитых проблем в математике. Тем не менее, до недавнего времени весь интерес в этой проблеме был направлен на формальную сторону вопроса и в частности на формальное решение посредством рядов. Пуанкаре был первым, получившим блестящие качественные результаты, касающиеся в особенности специального предельного случая так называемой ограниченной проблемы трех тел , рассмотренной впервые Хиллом. Что касается общей проблемы, то главные результаты, полученные Пуанкаре, следующие во-первых, он установил существование различных типов периодических движений методом аналитического продолжения во-вторых, он показал, что в силу самой структуры дифференциальных уравнений проблемы тригономстричсскис ряды могут быть полезными, и, наконец, в-третьих, он указал на пригодность этих рядов, как асимптотических. Все эти результаты остаются справедливыми не только для проблемы трех тел, но и для всякой гамильтоновой системы. К несчастью, в его исследованиях всегда имеется вспомогательный параметр //, причем при /X = О система будет специального интегрируемого типа. Таким образом, возникающие трудности (по крайней мере, отчасти) более зависят от особой природы интегрируемого предельного случая (когда два из трех тел имеют массу 0), чем присущи самой проблеме. [c.259]

Подробное рассмотрение вычислений в высших порядках содержится в 2.5, где представлены современные методы с использованием преобразований Ли. Здесь мы ограничимся тем, что выпишем в явном виде соотношения, необходимые для определения нового гамильтониана с точностью до второго порядка по е. Более детальное обсуждение рядов Пуанкаре—Цейпеля можно найти в работах Борна [34] и Джакалья [153]. [c.92]

Напомним, что рядом. Пуанкаре градуированного компле сного векторного пространства V = Ф Уа с конечномерны [c.38]

Рассмотрим два какие-либо состояния равновесия У =У (jM) и У =У ( jM ). Они изображаются на плоскости (jM, У ) двумя кривыми. Положение равновесия устойчиво, еслис>Г( У jM )/0У= -З Е ( У. jM )/ЭУ < О и неустойчиво, если e)F ( У, jM )/ЭУ> 0. Если У (jt4 ) один из линейных рядов Пуанкаре (у - или ygb то из уравнения(I) можно определитьС(у/( ()М [c.116]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Однако большинство выдающихся ученых-механиков ц физнков-теорети-ков оставалось па позициях стихийного материализма. Это видно, например, из работ Больцмана, Кирхгофа, Пуанкаре и других ученых, обогативших механику рядом важнейших достижений. Их идейные противники, оставаясь, по существу, творчески бесплодными, все дальше отходили от критерия практики. Материя исчезает , остаются одни уравнения , так характеризует взгляды фиэиков-идеалистов В. И. Ленин ). [c.39]

В ряде случаев достаточно эффективны классические способы разложения решений по степеням малого параметра, связанные с именами Остроградского, Ньюкома, Линдштедта, А. Пуанкаре, Ляпунова и А. Н. Крылова 2). А. М. Ляпунов и А. Н. Крылов усовершенствовали классический метод разложения по степеням малого параметра. Это позволяет назвать метод их именами. [c.297]

Книга содержит лезщии по университетскому курсу теоретической механики, а также но ряду ее дополнительных разделов, читанные в разное время (30-е — 50-е годы) известным советским ученым и замечательным педагогом чл.-кор. АН СССР Н. Г. Четаевым студентам и аспирантам Казанского и Московского университетов. Книга содержит кинематику, статику, динамику и аналитическую механику, а также оригинальные курсы лекций по теории уравнений Пуанкаре, теории притяжения, релятивистской механике и некоторым главам аналитической динамики. [c.2]

Дж. В. Стрэтт (лорд Рэлей, 1842—1919) в своем труде Теория звука впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются также математические методы, развитые А. Пуанкаре (1854—1912) в его работах по небесной механике нашли применение и исследования А. М. Ляпунова (1857—1918) по устойчивости движений и методы расчета колебательных движений, развитые А. Н. Крыловым (1863—1945). Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагаюш,ие работы Ван дер Поля (1889—1959) по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901 —1952), развившим учение о самоподдерживающихся колебательных процессах, названных им автоколебаниями. Этот термин в настоящее время является общепринятым. [c.10]

Основываясь на этих блестящих рез льтатах, можно поставить вопрос нельзя ли найти закон Карно Клаузиуса при помощи молекулярных теорий, понимая, конечно, последние в очень широком смысле, так как общности результата должна каким-либо образом соответствовать общность предпосылок Австрийскому физику Больцману принадлежит честь первого успешного подхода к этой задаче и установления связи между понятием вероятности, определенным образом понимаемой, и термодинамическими функциями, в частности энтропией. Рядом с ним нужно считать одним из основателей этой новой ветви теоретической физики — статистической термодинамики — Уилларда Гиббса. Далее следует упомянуть работы Пуанкаре, Планка и Эйнштейна. Общий результат, который можно считать окончательно установленным, это существование связи между энтропией некоторого состояния и вероятностью этого состояния. [c.18]

Понятия А. р. и асимптотич. ряд введены А. Пуанкаре в 1886 в связи с задачами ne6e uoii механики. Однако частные случаи А. р. были открыты и применялись ещё в 18 в. А. р. и асимптотич, ряды играют боль-шул) роль в разл. задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что мн. аадачи нельзя решить точно, но удается получить А. р, решения. [c.126]

Правильный учёт вековых возмущений и либрации позволяет с хорошей точностью аппроксимировать ре-шение задачи трёх тел в небесной механике тригономет- q рпч. рядами, что соответствует периодич. движению. Погрешность, даваемая такими рядами за промежутки времени 1000 лет, меньше точности астр, наблюдений. Существование таких решений гарантирует устойчивость планетно11 системы для промежутков времени 5 10 лет. Но точное (при всех временах) представление решения в виде тригонометрич. рядов невозможно [А. Пуанкаре (И. Poin are), 1892]. Поэтому неизвестно, насколько сильно изменится Солнечная система за времена лет, в частности не окажутся ли пла- [c.303]

В 20 в. интенсивно развиваются теория нелинейных колебаний, основы к-рой заложены Ляпуновым и А. Пуанкаре (Н. Poin are), М. тел перем. массы и динамика ракет, где ряд исходных исследований принадлежит И. В. Мещерскому (труды кон. 19 в.) и К. Э. Циолковскому. В М. сплошной среды появляются два раздела аэродинамика, основы к-рой созданы Жуковским, II газовая динамика, основы к-рой заложены С. А. Чаплыгиным. [c.128]

Первоначальной эксперим. основой частной О. т. был ряд оптич. экспериментов, установивших отсутствие эффектов, связанных с движением Земли относительно гипотетич. эфира в порядках о/е и (с/с) (последнее — в опыте Майкельсона — Морлн в 1887 см. Майкельсона опит). Именно основываясь на этих опытах, А. Пуанкаре в 1895 высказал гипотезу, что постулат относительности точен во всех порядках по с/с. К 1905, когда Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн дали свои формулировки частной О. т., отсутствие эффектов в порядке v/ нашло дополнит, подтверждение в ряде опытов, но отсутствие эффектов в порядке (с/с) подтверждалось только опытом Майкельсона — Морли. [c.501]

Особенно бурно и широко развивалась теория колебаний, в которой методы Ляпунова тоже нашли плодотворное применение. Нелинейные колебания, изучение которых стало первоочередной задачей к началу 20-х годов, стали в сущности предметом новой научной дисциплины, получившей название (пожалуй, не совсем точное) нелинейной механики. Уже к началу 30-х годов советская механика занимает в этой области ведущее положение благодаря трудам школы Л. И. Мандельштама (1879— 1944), Н. Д. Папалексн (1880—1947), А. А. Андронова (1901 — 1952), широко применявшей методы Ляпунова и Пуанкаре, и трудам Н. М. Крылова (1879—1955) и Н. Н. Боголюбова, использовавших главным образом асимптотические методы, родственные методам небесной механики. Развитие современной теории нелинейных колебаний в ряде других стран, например в США, началось с изучения переводных трудов советских ученых. [c.291]

Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того можно ли найти единственные Т-периодические решения х1 (О уравнений (43), (44), а также будут ли ряды (42) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений (46) которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях для порождаюш,ей системы, составленными для порождающего решения. [c.53]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Обобщение метода на случай разрывных периодических решений дано М. 3, Ко-ловским [26], а также Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, результаты которых, а также контакты и сочетания метода Пуанкаре с методом точечных отображений (см. п. 5 настоящей главы) рассмотрены в монографии [45]. В цигсле работ Ю. А. Рябова систематически научены вопросы оценок областей сходимости рядов по малому параметру, полученных при использовании метода Пуанкаре [60. [c.64]

Поскольку функция ф входнг в выражение для W под знаком интеграла, то можно ограничиться ее приближенным определением из уравнения (5), например и виде суммы небольшого числа гармоник илн небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра. Поэтому изложенный подход естественно сочетается с асимптотическими методами н методами Пуанкаре —Ляпунова (см, п, 3 гл. И), Часто можно считать, что ip мало по сравнению с X (X мало по сравнению с вследствие исходного предположения). Наконец, во многих случаях допустимо учитывать лишь лннеПные члены в разло/Г<енин функции по степеням ф и ф, положив согласно (6) [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...