Отображение в сечении Пуанкаре

Бифуркация удвоения периода. В трехмерных системах возможны новые бифуркации, анализ которых удобно провести методом сечения Пуанкаре. Выберем в фазовом пространстве х, у, г поверхность г = (р х, у). Тогда координаты = Уп) и рп+1 = хп+1, Уп+1) двух последовательных пересечений траектории с поверхностью могут быть связаны соотношением Рп+1 = рп). Оператор Г определяется в результате интегрирования уравнений движения и задает отображение Пуанкаре. Периодическому движению соответствует неподвижная точка ро = Г(ро). [c.173]

Наряду с достижениями теории возмущений и другими математическими результатами, одной из основных побудительных причин возрождения интереса к нелинейной механике было изобретение цифровой ЭВМ. Уже с самого начала использование ЭВМ для интегрирования уравнений движения было соединено с методом сечения Пуанкаре, при котором такое интегрирование iV-мерных уравнений заменяется итерацией соответствующего N—1)-мерного отображения. В результате оказалось возможным наблюдать за движением системы в фазовом пространстве в течение сотен тысяч колебаний. Обнаруженные уже в первых экспериментах удивительно тонкие пространственные структуры движения быстро привлекли внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Отсюда две основные особенности нашего изложения материала мы существенно опираемся на результаты численного моделирования, с одной стороны, и на соответствие между непрерывным движением (iV-мерным потоком) и его дискретным N—1)-мерным отображением Пуанкаре — с другой (см. гл. 3). Центральным моментом нашего описания динамики является численный эксперимент, который считается, как правило, окончательной проверкой теоретического анализа. Примеры численного моделирования приводятся в каждой главе также для иллюстрации и пояснения физической сущности явлений. [c.15]

В 3.1 устанавливается связь между гамильтоновыми системами и каноническими отображениями путем использования метода сечения Пуанкаре в фазовом пространстве. На примере отображения поворота показывается, как построить отображение по [c.175]

В литературе рассматривалось несколько моделей ускорения Ферми, которые приводят к различным отображениям на поверхности сечения Пуанкаре. Модель Улама показана на рис. 3.11, а. Точное [c.221]

Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Как показано в п. 3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с помощью периодической б-функции (3.1.33). В случае отображения [c.235]

Численные исследования структуры вторичных резонансов стандартного отображения отсутствуют. Однако они проделаны для большого числа гамильтонианов с двумя степенями свободы, поверхность сечения Пуанкаре которых похожа на фазовую плоскость стандартного отображения. Примером является задача о движении частицы в магнитном поле и поле косой волны [383, 385] (см. п. 2.26). Соответствующий гамильтониан в системе отсчета волны имеет вид [см. (2.2.67) ] [c.266]

Показатели Ляпунова для (М—1)-мерного отображения на поверхности сечения Пуанкаре пропорциональны показателям, для непрерывной траектории в УИ-мерном фазовом пространстве [c.298]

Сведение динамических моделей к одномерным отображениям. В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или разностные уравнения вида х = / х ) могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция /(дг) имеет хотя бы один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных р-п- переходах) и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, скажем дг = х 1 = / ). Затем можно построить зависимость каждого Лд от последующего значения х Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-первых, точки на графике с отложенными по осям величинами п + 1 и дг должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость во-вторых, эта функция /(х) должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппрокси- [c.63]

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения подкова (см. рис. 1.21) или логистического уравнения О-З.б), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент ug, так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение [c.88]

В нашей лаборатории разработан метод обнаружения фрактальных свойств трехмерных отображений Пуанкаре, который мы называем двойным сечением Пуанкаре (рис. 4.18). Этот метод позволяет выделить в трехмерном отображении слой конечной толщины с тем, чтобы выявить фрактальные свойства аттрактора и тем самым понять, является ли он странным (см. [142]). [c.147]

Первое отображение Пуанкаре генерировалось с помощью запускающего импульса длительностью 1 мкс, синхронизованного с одним из гармонических сигналов. Как видно на рис. 4.20, а, отображение Пуанкаре (х , и ), полученное с помощью одного триггера, имеет размытый вид без какой-либо структуры. Для получения второго сечения Пуанкаре мы включали регистрирующие устройства синхронно с фазой второго возбуждающего сигнала. Однако если ширина импульса слишком мала, то очень низка вероятность совпадения с точками, выделенными первой последовательностью импульсов. Поэтому мы установили длительность второго импульса в 1000 раз большей, чем первого, т.е. 1 мс. Длительность этого импульса составляет менее 1% периода второго возбуждающего колебания. Значения (х, v) запоминались, только когда первый импульс совпадал со вторым, как показано на рис. 4.18. Это делалось [c.149]

В той же таблице проведено сравнение оптического и численного методов для отображений Пуанкаре, построенных по экспериментальным данным для колебаний продольно изогнутой балки. В этой серии экспериментов фаза проведения сечения Пуанкаре изменялась. Оптическое измерение фрактальной размерности подтверждает результаты численных расчетов, а именно независимость размерности от фазы отображения Пуанкаре. Отсюда следует, что размерность самого странного аттрактора равна 1 -I- D, где D — размерность плоского отображения. [c.248]

Отображение окружности на себя Отображение или разностное уравнение, ставящее в соответствие точкам окружности точки той же окружности. В теории двух связанных осцилляторов некоторые траектории в фазовом пространстве можно рассматривать как движение по поверхности тора. Сечение Пуанкаре, проходящее по меридиану (меньшему диаметру) тока, порождает отображение окружности на себя. [c.270]

Рассмотрим двумерное сечение трехмерной поверхности интеграла энергии, на которой расположены решения системы (3.11), гиперплоскостью Х2 = 0. Периодические траектории (3.12) пересекают это сечение в точках, которые являются неподвижными при отображении Пуанкаре. Так как они имеют гиперболический тип, то можно ставить вопрос о взаимном расположении их устойчивых и неустойчивых сепаратрис. Эта задача исследована численно в работе [138]. Результат представлен на рис. 24. [c.275]

Анри Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, физик и философ, который был свидетелем как великого века классической механики, так и века революционных идей теории относительности и квантовой механики. Работа в области небесной механики привела его к вопросам динамической устойчивости и задаче нахождения точных математических выражений для описания динамической эволюции сложных систем. В процессе этих исследований он открыл метод сечений , ныне известный как сечение, или отображение, Пуанкаре. [c.12]

Чтобы получить отображение Пуанкаре, выберем сечение непосредственно перед каждым импульсом. Итак, определим в = в = лт - ), - -1-0. Чтобы связать (в , ц,) с (в +, , 4, +, ), необходимо решить линейное дифференциальное уравнение для периода между импульсами и использовать условие скачка углового момента (3.2.20) в момент импульса. Между импульсами скорость вращения ведет себя следующим образом [c.89]

Сечение (отображение) Пуанкаре Последовательность точек в фазовом пространстве, порождаемая пересечением непрерывной траекторией с поверхностью общего вида или плоскостью в [c.272]

Рис. 5.14. Блок-схема, показывающая взаимо- Рис. 5.15. а — Периодическаа связь между гомоклиннческими орбитами, траектория в сечении Пуанкаре отображениями типа подковы и хаосом в физи- 6 — квазипериодическая траекто-ческнх системах. рия в — гомоклиническая траек-

Для определения характера движения (хаотическое оно или периодическое) было использовано отображение Пуанкаре. Движение измерялось датчиками деформации, прикрепленных к защемленному концу балки, а в качестве фазовой плоскости была выбрана плоскость деформация — скорость деформации. Отображение Пуанка ре таких сигналов были синхронизованы с частотой вынуждающей силы. Наступление хаоса определялось по тому, что конечное множество точек в сечении Пуанкаре (за которым можно наблюдать помощью осциллоскопа см. гл. 4) становилось неустойчивым и на экране возникала картина, напоминающая по виду канторовское множество. [c.264]

Она служит примером многомерных систем, динамика которых допускает аппроксимацию одномерным отображением. Проведите сечение Пуанкаре при = О и постройте на плоскости (рс,г) одномерное отображение из точек, т. е. постройте график зависимости , от дг . Обратите внимание на сходство полученной кривой с квадратичным, или логистическим, отображением. Неудивительно, что в модели Ресслера наблюдается удвоение периода. [c.285]

Отображение поворота. При изучении фазовых траекторий, особенно в случае двух степеней свободы, удобно использовать метод сечения Пуанкаре, подробно описанный в п. 1.26. Для гамильтониана (3.1.1) в качестве поверхности сечения можно выбрать либо плоскость (/j, 0i) (0., — onst), либо плоскость (/,, Эг) (01= onst). В первом случае последовательные пересечения с плоскостью (/j, 0i) отделены друг от друга интервалом времени А/ = 2я/(Оз, причем JI = onst (см. рис. 3.1, а). За это время 0j увеличивается на со А/ = 2яа (/ ), где а — число вращения. Так как J = = J2 [Ji> ). то при заданном Е величину а можно считать функцией только J1- Опуская для упрощения записи индекс 1, получаем уравнения, описывающие переход от -го к п 1)-му пересечению [c.179]

Исследования нелинейной динамики (в том числе и методом сечения Пуанкаре) путем численного интегрирования уравнений Гамильтона очень трудоемки, поскольку шаг интегрирования должен быть много меньше характерного периода движения. В отличие от этого прямое итерирование заданного на том же периоде отображения может быть легко выполнено на сотни тысяч периодов и дает в существенных чертах ту же картину движения, что и уравнения Гамильтона. Такие отображения интенсивно использовались в различных исследованиях нелинейных колебаний. В 3.4 мы рассмотрим этим методом задачу об ускорении Ферми [126]. Здесь же проиллюстрируем некоторые обсуждавшиеся выше особенности на примере квадратичного отображения поворота, исследованного Хеноном [185] [c.204]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя динамические переменные в моменты, соответствующие определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с п переменными сечение Пуанкаре получается в результате измерения п — 1 переменных в те моменты, когда п-я переменная принимает некоторое определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на рис. 1.17 (см. также гл. 2 и 4). Если известен закон эволюции в промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то можно связать положение траектории в моменты , и / с помощью известных функций. Например, в случае, показанном на рис. 1.17 [c.33]

Рис. 4.6. Вверху — моменты регистрации данных для отображения Пуанкаре приходятся на постоянную фаэу возбуждающего сигнала внизу — геометрическая интерпретация сечений Пуанкаре в трехмерном фазовом пространстве.

Другой вариант метода сечений Пуанкаре заключается в регистрации данных в те моменты, когда какая-либо переменная достигает максимального значения. Этот способ применяли Брайант и Джеффрис [18] из Калифорнийского университета в Беркли. Они изучали динамику показанной на рнс. 4.16 цепи с нелинейной индуктивностью, железный сердечник которой обнаруживал гистерезис. (Нелинейные свойства создаются ферромагнитным материалом индуктивности.) Ток через индуктивность / (г) и возбуждающее напряжение Vg t) измерялись в те моменты, когда = 0. Это равносильно измерению пикового значения потока v через катушку индуктивности. Действительно, = —ф, где <р — магнитный поток в индуктивности, а = ф Г), так что при = О поток максимален или минимален. Тогда отображение Пуанкаре составляется из набора пар точек (И , / ), который можно вывести на запоминающий или цифровой осциллограф. [c.145]

Как следует из 3 и приведенного выше описания абсолютного движения, задача адвекции для системы трех вихрей приводит к одностепенной гамильтоновой системе (1.17), (1.18) с квазипериодическим по времени (двухчастотным) возмущением. В литературе рассматривались лишь частные постановки этой задачи с периодическим возмущением, в частности, для доказательства неинтегрируемости ограниченной задачи четырех вихрей на плоскости [23]. В общем случае анализ подобных систем сводится к исследованию некоторого трехмерного точечного отображения (сечения) Пуанкаре [И] и в настоящее время не выполнен. [c.65]

Явление возникновения хаоса наглядно иллюстрируется отображениями (сечениями) Пуанкаре. Для конкретного случая системы трех колец, имевших в начальный момент времени координаты (4.40), сечения Пуанкаре представляли собой координаты кольца 2 на плоскости (/ 2> в моменты времени, когда / , 1 (рис. 83,— расстояние между кольцами 1 и 2). При наличии кваэиупорядоченног ) регулярного движения системы точки на сечениях Пуанкаре располагаются в окрестности некоторой области и образуют определенные фигуры. [c.218]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

Составление уравнений движения. Уравнения (2), (4) описывают основные два типа движений рассматриваемой механической системы со связями (1) безударные перелеты и соударения. Недостаток такого описания состоит в разнотипности уравнений одно из них дифференциальное, другое — разностное. Априори, сугцествуют два способа унификации переход к дифференциальной либо к разностной форме. Традиционным является второй из этих способов, ас-социируюгцийся с построением точечных отображений типа отображений Пуанкаре ([9, 29, 37, 44, 67, 81] и др.) При этом, как правило, в качестве сечения выбирают поверхность удара (предполагается, что система подчинена единственной односторонней связи) [c.242]

Рассмотрите параметризованную замкнутую кривую, касательные векторы к которой близки к образующей потока. Зафиксируйте последовательность поперечных сечений в равноудаленных друг от друга точках кривои и рассмотрите произведение соответствующих отображений Пуанкаре. Введите подходящие координаты на каждой трансверсали н продолжите отображения Пуанкаре на все евклидово пространство с сохранением гипюболичностн. Затем повторите доказательство леммы Аносова о замыкании (теорема 6,4.15). Единственная неподвижная точка произведения отображений Пуанкаре соответствует периодической орбите потока, которая остается близкой к исходной орбите потока после небольшой репараметризации. [c.750]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...