Фрактальная размерность отображений Пуанкаре

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ ПУАНКАРЕ [c.233]

Фрактальные свойства движения в фазовом пространстве, которые указывают на присутствие странного аттрактора (и характеризуются отображениями Пуанкаре и фрактальными размерностями (гл. 6)). [c.47]

Изменяется ли фрактальная размерность странного аттрактора в зависимости от фазы отображения Пуанкаре [c.234]

Влияние затухания на фрактальную размерность аттрактора в задаче о потенциале с двумя ямами определялось с помощью численного моделирования по методу Рунге—Кутта. Полученная зависимость показана на рис. 6.11. Мы видим, что при слабом затухании аттрактор заполняет фазовое пространство (0=2, отображение Пуанкаре становится одномерным, и размерность аттрактора убывает до [c.235]

В той же таблице проведено сравнение оптического и численного методов для отображений Пуанкаре, построенных по экспериментальным данным для колебаний продольно изогнутой балки. В этой серии экспериментов фаза проведения сечения Пуанкаре изменялась. Оптическое измерение фрактальной размерности подтверждает результаты численных расчетов, а именно независимость размерности от фазы отображения Пуанкаре. Отсюда следует, что размерность самого странного аттрактора равна 1 -I- D, где D — размерность плоского отображения. [c.248]

Фрактальная размерность хаотической цепи (диод, индуктивность и сопротивление, соединенные последовательно, возбуждаются генератором) была измерена Линсеем [113], построившим отображение Пуанкаре. Линсей измерял ток в выборочные моменты времени через интервалы, равные периоду генератора, и построил псевдофазовое пространство (/(О. I(t т), 1(1 2т)) (см. следующий раздел). Полученная фрактальная размерность отображения Пуанкаре оказалась равной О = 1,58, поэтому размерность аттрактора равна 2,58. [c.237]

Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь перевести эти математические идеи н методы на язык, который инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор, отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился ряд прекрасных математических исследований хаотической динамики. Я попытался прочитать эти труды и вьщелить с помощью моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем, кто намерен изучать колебания в эксперименте. Я полагаю, что но- [c.6]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

В то же время если затухание слишком сильно, слои канторовского множества могут оказаться стягивающимися в линию. Влияние затуханий на отображения Пуанкаре и фрактальную размерность обсуждается в гл. 6. [c.139]

Мы видим, что а и / некоторым образом характеризуют неоднородность отображения. При а = 1/2 и / = 1 отображение похоже на подкову или канторовское множество, и все определения размерности d,, d , i/. совпадают. Из сказанного следует, что различные определения фрактальной размерности, по-видимому, могут приводить к различным результатам, когда динамический процесс приводит к неоднородному отображению Пуанкаре. [c.228]

Для иллюстрации этих идей применим метод пространства вложения для нахождения размерности аттрактора в задаче о движении в потенциале с двумя ямами (или о колебшиях продольно изогнутой балки) (5.2.2). Ранее мы видели, что этот аттрактор живет в трехмерном фазовом пространстве (х, х, и/) и имеет фрактальную размерность с1 = 2,5 (рис. 6.8). По тем же данным мы можем теперь вычислить фрактальную размерность из отображения Пуанкаре (рис. 6.9, 6.10). По тем же численным данным, интегрируя по методу Рунге—Кутта, мы можем восстановить движение в псевдофазовом пространстве, используя дискретизованное значение х( О и выбирая пространства вложения размерности т = 1 - Ь. Графики на рис. 6.13а, б показывают корреляционную функцию и вычисленную размерность аттрактора в каждом пространстве вложения. [c.239]

Все рассмотренные выше методы вычисления фрактальной раз мерности странных аттракторов требуют использования мощные Ш1фровых микро- или мини-компьютеров. Однако с точки зрения экспериментатора естественно спросить, нельзя ли измерять фрактальные размерности динамических систем непосредственно, используя аналоговые устройства так же, как мы измеряем другие динамические свойства, например скорость и ускорение. В общем случае для динамической системы с многими степенями свободы ответ неизвестен но в некоторых простых задачах фрактальная размерность двумерного отображения Пуанкаре может быть измерена оптическими методами (см. [102]). В основе такого подхода лежит оптическая иитерпреташм корреляционной функции (6.2. Схема, иллюстрирующая этот подход, представлена иа рис. 6.17. Напомним, что вычисление корреляционной функции включает подсчет числа точек в кубе или сф , описанных вокруг каждой точки фрактального множества. Оптический метод использует параллельную обработку информации, позволяющий находить число точек в окрестности всех точек фрактального множества сразу. Свет, идущий от одной пленки, создает на другой пленке освешен ный кружок. Если каждая пленка представляет собой точную копию сечеиия Пуанкаре странного аттрактора, то полный световой поток, испускаемый второй пленкой, пропорционален корреляционной функции. Изменяя расстояние между пленками на рис. 6.17, мы [c.244]

Располагая такой установкой, можно получать отображения Пуанкаре хаотических даижений (гл. 4), измерять критическую силу для хаотического движения как функш1ю частоты (гл. 5) или фрактальную размерность движения по экспериментальным временным рядам (гл. 6). [c.292]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...