Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Рассмотрим некоторые дополнительные результаты, имеющие отношение к теореме Пуанкаре — Бендиксона. Подробного и полного исследования мы проводить здесь не будем, так как это увело бы нас далеко в сторону. Напомним, что мы рассматриваем силовое поле, определенное в 19.3, в котором имеются лишь изолированные особые точки, в каждой из которых д Р, Q)ld (х, у) ф 0. [c.392]

Выше мы видели, что положительное предельное множество траектории С может состоять из одной-единственной особой точки I и при г оо траектория стремится к I или, возможно, входит в нее. Этот результат можно трактовать как частный случай теоремы Пуанкаре — Бендиксона, если особую точку I рассматривать как вырожденную форму предельного цикла. [c.392]

ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА [c.393]

Существование предельного цикла будет доказано, если будет найдена замкнутая кривая, охватывающая точку О, которая обладает тем свойством, что вектор F в каждой ее точке направлен внутрь области, ограничиваемой этой кривой. При этом, как и в 20.6, существование предельного цикла будет следовать из теоремы Пуанкаре — Бендиксона. Однако, мы приведем здесь другое доказательство, которое одновременно будет гарантировать и единственность решения. [c.396]

Теорема 14.1.1 (теорема Пуанкаре — Бендиксона). Пусть М— поверхность, являющаяся открытым подмножеством сферы 5 либо проективной плоскости, и пусть X —векторное поле на М класса СЧ Тогда все положительно или отрицательно рекуррентные орбиты являются периодическими. Кроме того, если множество ш-предельных точек некоторой точки не содержит неподвижных точек, то оно состоит из единственной периодической орбиты. [c.455]

Покажите, что теорема Пуанкаре — Бендиксона 14.1.1 выполнена для любого потока, порожденного векторным полем класса С , для которого выполняется теорема единственности рещений дифференциальных уравнений. [c.460]

Фактически теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что хаотическое движение невозможно для любых двумерных потоков, как диссипативных, так и недиссипативных. Мы уже убедились в этом для гамильтоновых систем с одной степенью свободы (двумерное фазовое пространство). [c.413]

Для ограниченного двумерного потока на плоскости, согласно теореме Пуанкаре—Бендиксона, имеются только два типа аттракторов 1) устойчивые неподвижные точки, или устойчивые фокусы, и 2) простые замкнутые кривые, или предельные циклы (кривая на рис. 7.1). Покажем, как образуется предельный цикл для системы [c.416]

Теорема Пуанкаре — Бендиксона. Результаты, полученные выше, можно представить в виде следующей теоремы. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области D, и предположим, что положительное предельное множество А этой полуха-рактеристики не сводится к особой точке. Тогда либо полу характеристика С является циклической и А = С, либо А представляет собой циклическую траекторию (е исключительном случае псевдоциклическую) и С является спиралью, приближающейся к А, когда оо. [c.392]

Для обращенного потока множество Черри — аттрактор такого типа, с которым мы не встречались ни в теореме Пуанкаре — Бендиксона, ни при анализе потоков без неподвижных точек на торе. [c.468]

Теорема 5.5 была доказана в работе Н. П. Бхатия, А. К. Лазера н Г. П. Сегё 1, 2]. Содержание следствия 2.5 для системы дифференциальных равнений называют обычно теоремой Пуанкаре-Бендиксона. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...