Пуанкаре теорема об отсутствии аналитических

Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов [c.14]

Границы стохастических слоев должны иметь очень сложную нерегулярную структуру. Эта структура влияет на форму инвариантных торов в окрестности границы. Поскольку разрушенные торы расположены в фазовом пространстве всюду плотно (как множество рациональных чисел), то инвариантные торы всегда будут испытывать на себе влияние близко лежащих к ним стохастических слоев. Это должно привести к тому, что, вообще, неразрушенные инвариантные торы должны иметь столь сложную форму, что она не может быть представлена в виде аналитических добавок к невозмущенной форме тора. В этом и раскрывается смысл теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно малых возмущениях. Те аналитические интегралы движения, которые находятся в первом порядке теории возмущений, например, при нелинейном резонансе, являются всего лишь грубым (но практически вполне удовлетворительным) приближением. [c.96]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

Вопрос о существовании интегралов движения при включении малого взаимодействия между различными степенями свободы исследовался Пуанкаре для гамильтониана (4.5) и практически при тех же условиях, что и в теореме KAM. Результатом этих исследований явилась известная теорема Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно малых е. В дальнейшем были попытки в работах Ферми и Пригожина [7] использовать результаты этой теории для обоснования статистической механики. Безуспешность этих попыток стала очевидной только после теоремы KAM. Действительно, система резонансных торов является всюду плотвой в фазовом пространстве. Эти торы разрушаются в результате взаимодействия. Поэтому инвариантным торам приходится очень сложным образом обходить области разрушения. Это приводит к тому, что инвариантные торы существуют, но оказываются неаналнтическимн ( ) функциями [c.40]

Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру, принадлежит Пуанкаре [225 146, гл. V]. Предполагая множество Р1 всюду плотным, Пуанкаре доказал отсутствие однозначных интегралов, независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности множества Р1 можно ослабить достаточно, чтобы Р1 было ключевым множеством для класса аналитических функций, В докладе автора на семинаре им. И, Г, Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням е с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4). Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на негамильтоновы системы стандартного вида (1,1) (см. теоремы 1 и 2) в литературе, по-видимому, не обсуждались. [c.185]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...