Применение метода Пуанкаре

Первыми отечественными работами, в которых был эффективно использован метод малого параметра для решения важных в принципиальном и прикладном отношении задач теории нелинейных колебаний, были уже упоминавшиеся исследования Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1930—1950) и А. А. Андронова и А, А. Витта (1930—1955). Эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, хотя обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс и-го рода , затягивание и захватывание автоколебаний) носят универсальный характер (см. 10 обзора Прикладные проблемы теории колебаний , стр. 101—109). Следует отметить также интересную работу Б. В. Булгакова (1942), посвященную применению метода Пуанкаре к исследованию колебаний в квазилинейных системах. [c.161]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПУАНКАРЕ 703 [c.703]

Применение метода Пуанкаре [c.703]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПУАНКАРЕ [c.705]

Б у л г а к о в Б. В. О применении метода Пуанкаре к свободным псевдо-линейным колебательным системам. ПММ 6, 263 (1942). [c.906]

Примеры применения метода Пуанкаре [c.171]

Теперь наш осциллятор записан в виде, к которому может быть применен метод нормальной формы Пуанкаре. Поскольку Л1 = = —г, Аг = г, то в правой части написанного уравнения присутствует только один резонансный член (для него А1 = 2А1 + Л2). Поэтому нормальная форма Пуанкаре второго порядка имеет вид [c.200]

Как уже отмечалось, исследование движения твердого тела при малых значениях параметра /х математически эквивалентно изучению быстрых вращений то есть случаю, когда Ш). Мы коснемся здесь лишь вопросов, связанных с применением метода малого параметра А. Пуанкаре. [c.106]

Широкое использование методов Пуанкаре — Ляпунова в теории нелинейных колебании началось, однако, только в тридцатых годах текущего столетия. Основная заслуга в деле развития и применения этих методов к решению задач механики, радиотехники и теории автоматического регулирования, несомненно, принадлежит отечественным ученым — Л. И. Мандельштаму, И. Д. Папалекси (1930—1950), А. А. Андронову, А. А. Витту (1930—1955), а также их последователям — Б. В. Булгакову (1942, 1954) и И. Г. Малкину (1944-1956). [c.157]

Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории бифуркаций А. Пуанкаре (1884 г.), приводят к статическому методу в теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек. В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равновесия сущ ествуют некоторые смежные формы. При переходе через эту точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти в работах Г. Ю. Джанелидзе (1955), И. И. Гольденблата (1965) и др. Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем составляет выбор параметров, характеризуюш их состояние системы. Строго говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркационного метода — геометрическая наглядность. [c.336]

В проблеме бильярдного шара можно прийти к некоторым периодическим движениям прямым применением методов максимума — минимума. Так как это представляет интерес само по себе, я укажу здесь, как это можно сделать. Результаты, полученные Морсом (см. главу V, 8), показывают, что область применения этих методов, уже развитая до известной степени Пуанкаре, Адамаром, Уиттекером и мною, может быть еще расширена. Таким образом, легко может оказаться, что значение метода минимума-максимума в проблеме бильярдного шара типично для общего случая. [c.176]

ИЗ двух конечных тел к массе всей системы). Поиск семейств периодических орбит выполняется при данном значении ц,. Теоретически, для того чтобы доказать существование периодических орбит в ограниченной задаче, можно провести исследование при ,1 = О, а затем аналитически продолжить полученные результаты в область положительных ц. Такой подход, примененный впервые Пуанкаре, использовался и многими другими исследователями. Пуанкаре в своей работе, основанной на методе аналитического продолжения, разделил периодические орбиты ограниченной задачи на три класса. Орбиты первого класса рождаются из круговых орбит задачи двух тел (е = О, t = 0), орбиты второго класса рождаются из эллиптических орбит задачи двух тел (е О, t = = 0). Периодические орбиты третьего класса также рождаются из орбит задачи двух тел, но при отличном от нуля наклонении орбиты бесконечно малой частицы к плоскости движения основных тел е = 0, i фО). Другими словами, первые два класса орбит относятся к плоской ограниченной круговой задаче, а третий класс относится к пространственной ограниченной круговой задаче. [c.161]

Метод Пуанкаре для систем, близких к линейным. Теперь мы переходим к систематическому изложению метода Пуанкаре. Мы рассмотрим одно дифференциальное уравнение второго порядка специального вида, особенно интересное с точки зрения теории колебаний и ее практических применений, а именно, уравнение системы, близкой к гармоническому осциллятору [c.693]

Основной факт, устанавливаемый теоремой Пуанкаре, заключается в том, что возможные в квазилинейных системах при достаточно малом ц периодические движения располагаются вблизи периодических движений соответствующих линейных систем, в которые они обращаются при ц = 0. В связи с этим линейная система, получаемая из квазилинейной при ц = О, и ее периодические решения, вблизи которых возникают периодические решения квазилинейной, называются по отношению к последней порождающими. В применениях теоремы Пуанкаре приходится иметь дело с двумя видами порождающих систем и решений и соответственно с двумя методами построения периодических решений квазилинейных систем. Первый относится к случаю, когда порождающие уравнения являются уравнениями вынужденных колебаний с периодической правой частью, явно зависящей от времени, периодическое решение которых не содержит никаких произвольных параметров. Большей частью это порождающее решение будет единственным периодическим решением порождающей системы, вблизи которого расположится единственное периодическое решение квазилинейной системы, непрерывно переходящее в порождающее, когда ц 0. Так будет, например, в квазилинейной системе с уравнением [c.525]

В заключение отметим, что в данной главе метод Пуанкаре изложен весьма кратко. Остались в стороне вопросы математического обоснования метода и его применения к более сложным системам, нежели динамическая система (7.1).. Более обстоятельное изложение этого метода и примеры его практического применения можно найти в работах [18,25], а также в гл. 15 данной книги - применительно к простейшим неавтономным квазилинейным системам. [c.173]

При теоретическом изучении главного резонанса выше применен метод Ван-дер-Поля. Для анализа резонансов П-то рода часто используют метод Пуанкаре. Он удобен также и для анализа вынужденных нерезонансных колебаний, т.е. вынужденных колебаний нелинейной системы, когда частота Л внешней силы не равна и не близка к значениям где = 1, 2, 3,..., а (Од - частота собственных колебаний системы. В связи с этим изложим основы метода Пуанкаре для неавтономных систем. (Его применение для расчета нерезонансных колебаний см. в 15.7, а для исследования субгармонических колебаний - в 15.8.) [c.277]

Наибольшее распространение при аналитических рассмотрениях нелинейных задач получили, пожалуй, так называемые асимптотические методы и их модификации. Особен но развиты они в применении к системам обыкновенных уравнений [12]. Стал уже класси ческим метод малого параметра, развитый Ляпуновым и Пуанкаре. Широко применяются асимптотические методы усреднения и разделения движений на быстрые и медленные 12]. Ряд модификаций асимптотических методов развивается и применительно к решению нелинейных уравнений с частными производными. Характерной и наиболее часто исполь зуемой конструкцией для представления решений u x,t) является регулярный ряд вида [c.18]

Эту задачу в простейшем (планетном) случае можно решить классическим методом, предложенным Пуанкаре. Единственно,что нужно сюда добавить—это соответствующее условие периодичности вместо классического условия возвращения точки в начальное состояние через интервал времени 7 > 0. Такая замена необходима, потому что классическое условие, будучи примененным к семейству периодических решений уравнения (1), полученных на основании X (/), приводит к вырожденному случаю даже после применения интеграла Якоби. Эту трудность можно обойти, использовав следующие условия для решения [c.95]

Отметим, например, что метод микроскопического ансамбля в сущности является—с математической точки зрения—применением 0-функции Дирака, ставшей ныне столь известной в квантовых методах, где теоретик все время окружен бесконечностями. Это делает, вместе с тем, книгу достаточно трудной, как это отметил в свое время даже такой математик, как А. Пуанкаре. [c.9]

Не меньшее значение получили в аналитической механике методы исследования малых движений системы вблизи положения устойчивого равновесия или установившегося движения. Эти методы начали развиваться из запросов небесной механики и нашли широкое применение в технике. Развитие методов связано с именами Лагранжа, Рауса, Пуанкаре, Ляпунова и многих других математиков и механиков. [c.444]

Даламбера-Лагранжа [25]. Термин, оставляя возможность отвлечься от способа реализации в случае идеальных связей, наполняется новым содержанием при появлении новых моделей. В частности, модель системы с идеальными связями может быть получена как предел различных последовательностей моделей, в которых рассматриваются конкретные силовые поля, участвующие в создании сил, являющихся реакциями. Для конструктивных способов реализации связей [44] требуется обобщение представления о виртуальных перемещениях и расширение сферы применения изучаемых методов. Заметим, что известная [119 некорректность Пуанкаре в постановке задачи о теории возмущений также может быть устранена с помощью конструктивного построения физических моделей. [c.12]

Может показаться, что заметка 31 не относится к рассматриваемому методу. Однако это только на первый взгляд. Более того, рекомендуем ознакомиться с заметкой 31 прежде, чем с остальными, так как в ней обсуждается предикативность понятий (правил, отношений, доказательств) — свойств, универсальных для логики, математики и естествознания. В заметке содержатся практически весь доклад А. Пуанкаре [91], наши комментарии и примечания, представляющие собой размышления и попытку лучше понять требования научной строгости на примерах. Механика весьма подходящий предмет для выработки отношение к научным результатам, получаемым в мысленных экспериментах с бесконечно удалёнными массами, с применением виртуального варьирования, интегральных принципов и интегральных инвариантов. Первооткрыватель интегральных инвариантов — А. Пуанкаре — широко пользовался принципом наименьшего действия и внёс свой вклад в его развитие. В то же время он высказывал и свою неудовлетворённость формой принципа Самая формулировка принци- [c.15]

Метод нормальной формы Пуанкаре, применяемый для анализа нелинейных систем, не ограничен рамками колебательных механических систем. Применение его к собственно колебательным системам будет дано в следующем параграфе. Здесь же мы изложим его в общей постановке. [c.195]

Метод сведения задачи о возмущенном движении к рассмотрению решений, бесконечно близких к известному решению системы дифференци-.альных уравнений, развит Пуанкаре в применении к задаче трех тел. [c.605]

Н. Г. Четаеву (1934—1935, 1940), показавшему тесную связь прямого метода Ляпунова исследования устойчивости движения с мыслью А. Пуанкаре о применении характеристик Кронекера для качественного изучения дифференциальных уравнений. Разработанный Четаевым (1936, 1938) метод изменения функций для вычисления характеристик Кронекера позволяет в ряде случаев решить задачу об устойчивости в конечном за ограниченный промежуток времени. [c.61]

Сюда относятся, например, изыскание периодических решений вблизи известных лагранжевых решений ограниченной (круговой или эллиптической) и общей задачи трех тел, исследование периодических решений в задаче Фату, т. е. задачи о движении материальной точки в осесимметричном гравитационном поле, нахождение периодических решений некоторых специальных случаев задачи многих тел и, наконец, применение общих методов теории периодических решений Ляпунова — Пуанкаре к задачам о вращательном и о поступательно-вращательном движении взаимно притягивающихся твердых тел (не заменяемых материальными точками ). [c.355]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

Здесь соо (т) = (F f а штрих означает дифференцирование по т. Наша система приведена теперь к виду (2.3.6) и допускает применение метода Пуанкаре—Цейпеля.В нулевом порядке адиабатическим инвариантом является [c.112]

Доказательство теоремы 1 основано на применении метода малого параметра Пуанкаре, Для этого перейдем от переменных х, у к симплектическим переменным действие — угол J, ф mod 2тг невозмущенной-интегрируемой системы в области определенной неравенствами -с < Ho z) < О, где с — малая положительная постоянная. Напомним, что J = i fJjjoобратную функцию обозначим Fo J). В [c.294]

Применение классических методов Пуанкаре—Цейпеля для разложения выше первого порядка становится все более и более утомительным. При классическом подходе для преобразований от старых переменных У, 0 к новым J, 0 используется производящая функция смешанного набора переменных, например 5 (0, J, t). В результате и само преобразование также получается в смешанных переменных [c.147]

Пусть Wo есть особое решение. Иными словами, примем, что операторное уравнение (23.2) имеет о = 1 своим собственным значением. Общий анализ этих проблем заложен в фундазиенталь-ных трудах А. М. Ляпунова [49, 99], Э. Шмидта [104], Пуанкаре [101]. Подробное изложение вопроса мы находим в [16]. Применение метода малого параметра к широкому кругу задач механики сплошной среды для особого решения можно найти в [45, 46, 53]. В краевых задачах нелинейной теории пластин метод ветвления впервые был использован в работе П. Я. Полубариновой-Кочиной [59] в 1936 г., где рассматривалось послекритическое поведение прямоугольной шарнирно опертой пластины. В 1939 г. Фридрихе и Стокер рассмотрели послекритическое поведение сжатой пластины [89]. [c.206]

Основополагающий для науки метод моделей допускает иногда 1Юзмож1ЮСть на основе ошибочных моделей получать правильные, совпадающие с наблюдениями результаты. Именно это произошло с моделью малых возмущений Пуанкаре. В наиболее современном и полном виде эти правильные результаты отражает теория Колмогорова -Арнольда - Мозера. Аналогичное происходит и при применении методов теории возмущений в квантовой теории людель сохраняет некорректность предпосылок Пуанкаре, а результаты правильны. Плата за это в громоздкости и повышенных требованиях к математической строгости [c.94]

Дж. В. Стрэтт (лорд Рэлей, 1842—1919) в своем труде Теория звука впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются также математические методы, развитые А. Пуанкаре (1854—1912) в его работах по небесной механике нашли применение и исследования А. М. Ляпунова (1857—1918) по устойчивости движений и методы расчета колебательных движений, развитые А. Н. Крыловым (1863—1945). Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагаюш,ие работы Ван дер Поля (1889—1959) по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901 —1952), развившим учение о самоподдерживающихся колебательных процессах, названных им автоколебаниями. Этот термин в настоящее время является общепринятым. [c.10]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Особенно бурно и широко развивалась теория колебаний, в которой методы Ляпунова тоже нашли плодотворное применение. Нелинейные колебания, изучение которых стало первоочередной задачей к началу 20-х годов, стали в сущности предметом новой научной дисциплины, получившей название (пожалуй, не совсем точное) нелинейной механики. Уже к началу 30-х годов советская механика занимает в этой области ведущее положение благодаря трудам школы Л. И. Мандельштама (1879— 1944), Н. Д. Папалексн (1880—1947), А. А. Андронова (1901 — 1952), широко применявшей методы Ляпунова и Пуанкаре, и трудам Н. М. Крылова (1879—1955) и Н. Н. Боголюбова, использовавших главным образом асимптотические методы, родственные методам небесной механики. Развитие современной теории нелинейных колебаний в ряде других стран, например в США, началось с изучения переводных трудов советских ученых. [c.291]

Для эффективного построения приближенного решения необходимо предварительно решить уравнения первого или второго приближения (усредненные уравнения). Однако эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными, что накладывает определенные ограничения на возможность применения изложенного метода. В большинстве случаев усредненные уравнения, в особенности уравнения первого приближения, более простые и поддаются исследованию. Во многих случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти важные частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процессам. При п = 1 уравнения первою приближения (125) интегрируются в квадратурах при п = 2 для их исследования может быть использована известная теория Пуанкаре. При любом п, если Хо ( ) обращается в нуль в некоторой точке = о, можем рассматривать квазистатическое решение j = уравнений первого приближения. Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом, составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях) [c.86]

Сама идея продолжения решения известна и эксплуатируется в математике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу, лежит в осюве из естюго метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам. У. Леверье (1856 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). [c.13]

Предыдущий метод часто сочетается с геометрическим представлением процессов с помощью фазовых траекторий и общим анализом расположения этих траекторий. При этом существенной частью анализа является исследование зависимостей между координатами точек входа фазовых траекторий в каждую из областей фазового пространства и координатами точек выхода их из этой области. Этот метод, называемый методом точечных преобразований, был создан и применен к ряду задач А. А. Андроновым и его школой [4. 5], Для исследования устойчивости и нахождения автоколебательных режимов систем с любыми нелинейностями удобным приближенным приемом является метод эквивалентной линеаризации, впервые примененный к одной из задач регулирования скорости А. И. Лурье [59 ] и подробно разработанный Л. С. Гольдфарбом [28 ]. Тот же метод был применен несколько ранее В. А. Котельниковым [52] к задаче об автоколебаниях самолета с автопилотом. Связь этого метода с общими исследованиями нелинейных уравнений, произведенными А. Пуанкаре [124], была установлена Б. В. Булгаковым [10, 11], [c.154]

В философии, логике, математике, физике и в любой другой сфере деятельности с применением научного знания требуются анализ отношений между понятиями, проверка логической чистоты и математической строгости. Одно из свойств применяемых математических понятий, названное в работе А. Пуанкаре [91] предикативностью (и непре-дикативностью), необходимо учитывать и в механике. Это относится и к методам принципа изменяемого действия, которые, как отметил А. Пуанкаре, несут в себе неопределённость . [c.208]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...