Теорема Пуанкаре о кольце

ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ о КОЛЬЦЕ 619 [c.619]

Теорема Пуанкаре о кольце. Существует одна теорема о неподвижной точке, которая особенно тесно связана с именем Пуанкаре. Эту [c.619]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПУАНКАРЕ О КОЛЬЦЕ 625 [c.625]

Доказательство теоремы Пуанкаре о кольце ). Приведем теперь доказательство теоремы, сформулированной в 30.10. Отобразим кольцо а г й на полосу О г/ 1 плоскости ху с помощью уравнений [c.625]

НИИ теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении сильно нерезонансных инвариантных торов и геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках отображения кольца. При этом остается неясным вопрос об аналитической зависимости этих решений от параметра е, а также ничего определенного нельзя сказать об их устойчивости. [c.242]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

Замечание 20.11. Заметим, что существование бесконечного числа эллиптических островков при заданном 1 не следует из наших рассуждений. В силу последней геометрической теоремы Пуанкаре , в кольце, расположенном между инвариантными кривыми Г , существует бесконечное число неподвижных точек отображения Т (п оо) с индексом +1 (см. теорему 19.10). Однако может случиться так, что некоторые из этих точек будут не эллиптическими, а гиперболическими с отражением. Численные эксперименты , по-видимому, свидетельствуют в пользу такого вывода. [c.92]

О-Сг) < ( +х) Ч Х-уУ<2 (О-с.). которые являются следствием интеграла Якоби. Эти неравенства определяют в плоскости У круговое кольцо, площадь которого не превосходит 2я(сг—С1). Из этих замечаний вытекает конечность ц(Л1) и, следовательно, возможность применения теоремы Пуанкаре о возвращении для почти всех р М полутраектория (р) пересекается с любой окрестностью точки р при сколь угодно больших значениях Такие движения названы Пуанкаре устойчивыми по Пуассону. [c.89]

Интуитивные соображения, которые навели Пуанкаре на мысль о связи теоремы о кольце с вопросом о существовании периодических орбит, не очень убедительны и во многих отношениях спорны, но, несмотря па это, в следующем параграфе мы приведем аргументацию Пуанкаре ввиду ее особой важности для понимания вопроса и значительного исторического интереса. [c.620]

Попытки доказательства этой теоремы без ограничения на собственные числа наталкиваются на трудности, очень похожие на те, с которыми столкнулся Пуанкаре в теореме о кольце. [c.386]

Для удобства мы прежде всего сформулируем эту теорему. Геометрическая теорема Пуанкаре. Пусть нам дано кольцо О < а г в плоскости, определяемой полярными координатами г, в и некоторое одно-однозначное непрерывное, сохраняющее площадь преобразование Т этого кольца в себя и при этом такое, что точки окружности г = а передвигаются при этом преобразовании вперед т.е. в направлении возрастающих 1 ), а точки окружности г = Ь передвигаются назад (в направлении убывающих г ). Тогда в кольце будут существовать по меньшей мере две точки, инвариантные при преобразовании Т. [c.172]

Соответствующее преобразование Г. Мы намерены теперь определить преобразование кольца Г, связанное с проблемой бильярдного шара, и показать, как геометрическая теорема Пуанкаре в своей первоначальной форме приводит к выведенным в предыдущем параграфе заключениям. Приведение задачи к вопросу о преобразованиях кольца имеет большое значение, даже не принимая во внимание его связь с вопросом о периодических движениях. Нужно отметить также, что в наиболее интересных случаях, как, например, ограниченная задача трех тел, метод приведения к преобразованиям кольца и применения геометрической теоремы Пуанкаре вполне приложим к изучению периодических движений, в то время как метод максимума и минимума до сих пор не мог быть приложен к этим задачам. [c.177]

Рассмотрим некоторые следствия этого результата. Если v = m/n — рационально, то для любого д точка А(д)бП при п итерациях отображения f переходит в себя. При этом на универсальном накрытии кольца—полосе р <.р<.рг, —< < <9<оо, — координата q точки возрастает на 2пт. Существование таких периодических точек является одним из известных следствий геометрической теоремы Пуанкаре, доказанной Биркгофом [22]. Исходная гамильтонова система имеет в этом случае периодическое решение периода 2яп, делающее за период т оборотов по углу q. [c.210]

Дело в том, что рассуждение, с помощью которого Пуанкаре пришел к своей теореме, применимо в целом ряде других случаев. Однако хитроумное доказательство, данное Биркгофом, плохо поддается обобщению. Поэтому неизвестно, правильны ли выводы, которые подсказывает рассуждение Пуанкаре, за пределами теоремы о двумерном кольце. Рассуждение, о котором идет речь, состоит в следующем. [c.385]

Для этого случая доказательство теоремы 18.11 продолжается следующим образом. В силу леммы 18.15 можно выбрать такое f > О, чтобы Р биголоморфно отображало односвязное множество 7о на себя, очевидно, не имея при этом неподвижных точек. Значит, можно построить риманову фактор-поверхность 5 , отождествляя каждую точку г е 7о с Р (г). Из результатов 2 следует, что 5 является либо кольцом, либо диском с выколотой точкой. Однако диск с выколотой точкой здесь получиться не может, так как из леммы 18.17 легко следует положительность нижней грани длин путей, соединяющих г с относительно метрики Пуанкаре. Значит, является кольцом. В частности, в метрике Пуанкаре существует единственная простая замкнутая геодезическая на (Ср. задачу 2- . Наглядно эту конструкцию можно описать как резиновую ленту, намотанную на кольцо для салфетки (или на песочные часы) и сжатую в простую замкнутую кривую минимальной длины.) [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...