Метод малого параметра Пуанкаре

Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова (35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решении системы уравнений в вариациях для уравнений (40) и решения (42) [c.54]

Заметим, что метод гармонического баланса в случае малой нелинейности, когда / (х, х) = k x + e/i (х, х) (к — постоянная, е — малый параметр) приводит к тем же результатам, что и метод эквивалентной линеаризации (см. п. 4), а также метод гармонической линеаризации [52]. Таким образом прослеживается прямая связь этого метода с методом усреднения подробно данный вопрос разобран в книгах 1 12, 40]. С другой стороны, можно проследить связь метода гармонического баланса с методом Бубнова-Галеркина (см. п. 12), а также с методом малого параметра Пуанкаре (см. п. 3) эти связи указаны в монографиях [34, 58]. [c.99]

Для отыскания периодических решений, на наш взгляд, более естественно использовать уравнения движения в гамильтоновой форме. Для канонических систем дифференциальных уравнений метод малого параметра Пуанкаре хорошо разработан и дает более сильные результаты. Эта идея впервые реализована в работе [34] для случая вращения динамически симметричного тела в ньютоновском поле сил и независимо автором [38] в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела. [c.106]

Исследования Ковалевской, Ляпунова и других авторов в динамике твердого тела показали, что общее решение уравнений движения представляется однозначными функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, как раз тогда, когда существует дополнительный однозначный интеграл. Долгое время оставалось неясным, является ли это обстоятельство случайным совпадением, или же в его основе лежат какие-либо глубокие причины. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре доказано, чго именно существование бесконечного числа неоднозначных решений препятствует появлению нового однозначного аналитического интеграла в общем случае. [c.107]

Наряду с методом малого параметра Пуанкаре (см. 1), известен еще один эффективный прием исследования ветвления решений аналитических систем дифференциальных уравнений он предложен А. М. Ляпуновым в 1894 г. [118] и основывается на изучении уравнений в вариациях известных частных решений. [c.357]

Первая проблема состоит в построении периодических движений. Обычный метод ее решения связан к переходу к отображению Пуанкаре и отысканию его неподвижных точек. Для этого используются либо топологические методы (теоремы Брауэра и Банаха), либо асимптотические методы типа метода малого параметра Пуанкаре. Обзор методов построения периодических решений гладких систем можно [c.243]

В качестве примера для синхронных двигателей можно привести критерии запаса по удаленности номинального режима работы двигателя от несинхронных скоростей вращения. В качестве другого примера можно привести критерий оценки отклонения скорости вращения от синхронной при питании несинусоидальным напряжением на основе метода малого параметра Пуанкаре. Укажем также критерий колебательности переходных процессов в районе синхронной [c.193]

Применяя к системе (5.31) метод малого параметра Пуанкаре, можно представить ее решение сходящимся по 8 рядом [c.124]

Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория квазилинейных систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д. [c.267]

Наиболее просто выполнить решение методом разложения по малым параметрам (Пуанкаре). [c.297]

Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [35]. [c.51]

Большинство методов малого параметра (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли при решении конкретных задач механики и физики, а затем были развиты и обобщены. Впоследствии многие из этих методов получили математическое обоснование например асимптотические методы нелинейной механики, а также метод усреднения обоснованы в работах Н. М Крылова и И. И. Боголюбова [II, 32]. [c.65]

Как правило, правые части уравнений (2) таковы, что после подстановки вместо и Ир их выражений (1), соответствующих синхронным движениям, эти правые части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = at с периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение существенно опирается на материал п.3 гл. II. [c.218]

Наибольшее распространение при аналитических рассмотрениях нелинейных задач получили, пожалуй, так называемые асимптотические методы и их модификации. Особен но развиты они в применении к системам обыкновенных уравнений [12]. Стал уже класси ческим метод малого параметра, развитый Ляпуновым и Пуанкаре. Широко применяются асимптотические методы усреднения и разделения движений на быстрые и медленные 12]. Ряд модификаций асимптотических методов развивается и применительно к решению нелинейных уравнений с частными производными. Характерной и наиболее часто исполь зуемой конструкцией для представления решений u x,t) является регулярный ряд вида [c.18]

Теории колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем удалось полностью исследовать лишь двумерные системы, а стохастические автоколебания возможны только у систем размерности, не меньшей трех. Методы малого параметра А. Пуанкаре [243, 244] и асимптотические методы Н. М. Крылова — Н. Н. Боголюбова [92], применимые к системам любой размерности, не позволяли обнаружить стохастические движения, если их не было у порождающей системы, что связано с нестепенным порядком малости областей существования стохастических движений по малому параметру. [c.81]

Применяя этот метод, приходится заменять нелинейные члены в граничных условиях линеаризованными членами в смысле теории гармонического баланса или, например, использовать метод периодических решений Пуанкаре (метод малого параметра) в форме Витта [И]. Метод Фурье при указанном его видоизменении позволяет исследовать устойчивость системы, найти условия возникновения автоколебаний, определить амплитуду и частоту автоколебаний и т. д. [c.130]

Таким важным проблемам, возникшим в небесной механике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания. [c.12]

Правда, есть ряд работ, посвященных нахождению периодических решений методом малого параметра (см., например, обзорную статью [37]). Однако эти работы не исчерпывают всех возможностей, которые даст метод А. Пуанкаре. [c.12]

Как уже отмечалось, исследование движения твердого тела при малых значениях параметра /х математически эквивалентно изучению быстрых вращений то есть случаю, когда Ш). Мы коснемся здесь лишь вопросов, связанных с применением метода малого параметра А. Пуанкаре. [c.106]

Мы будем рассматривать случай, когда параметр мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти решения в сходящиеся ряды по степеням . Представление уравнения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет воспользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожденных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых Новых методов небесной механики [9]. [c.235]

Математические основы метода малого параметра применительно к теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века. [c.157]

Первыми отечественными работами, в которых был эффективно использован метод малого параметра для решения важных в принципиальном и прикладном отношении задач теории нелинейных колебаний, были уже упоминавшиеся исследования Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1930—1950) и А. А. Андронова и А, А. Витта (1930—1955). Эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, хотя обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс и-го рода , затягивание и захватывание автоколебаний) носят универсальный характер (см. 10 обзора Прикладные проблемы теории колебаний , стр. 101—109). Следует отметить также интересную работу Б. В. Булгакова (1942), посвященную применению метода Пуанкаре к исследованию колебаний в квазилинейных системах. [c.161]

Подчеркнем, что при использовании методов малого параметра (метода Пуанкаре или метода Понтрягина) не дается пл1 а-ких оценок для тех значений (я, при которых у системы (А ) существуют предельные циклы. [c.260]

Из теоремы А. М. Ляпунова, рассмотренной в предыдущем разделе, вытекает, как частный случай, одна теорема Пуанкаре, доказанная знаменитым французским ученым независимо от Ляпунова и являющаяся основой широко известного метода малого параметра . [c.49]

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА А. ПУАНКАРЕ 161 [c.161]

Суммируя сказанное, можно сделать вывод о том, что обобш,ение метода малого параметра Пуанкаре на непараметрический случай, когда малая возмуш,ающая функция рассматривается как обобщенный малый параметр, принадлежащий нормированному пространству функций, позволяет опять применить классические методы и при [c.99]

В работах [1, 2] методом малого параметра Пуанкаре для гамильтоновых систем [3] было доказано существование периодических решений в задаче о движении твердого тела вокруг закрепленной точки в центральном ньютоновском поле тяготения. Задача решалась в переменных Андуайе [4]. В работе [5] были построены периодические решения в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой в центральном [c.77]

Доказательство теоремы 1 основано на применении метода малого параметра Пуанкаре, Для этого перейдем от переменных х, у к симплектическим переменным действие — угол J, ф mod 2тг невозмущенной-интегрируемой системы в области определенной неравенствами -с < Ho z) < О, где с — малая положительная постоянная. Напомним, что J = i fJjjoобратную функцию обозначим Fo J). В [c.294]

Известно, какое большое значение во многих случаях имеет метод малого параметра Пуанкаре ). В наши дни методом малого параметра были получены почти-периодические решения Г. И. Бирюк, И. Г. Малкиным, В. X. Харасахалом, Г. В. Плотниковой, А. П. Проскуряковым и другими. В работах И. 3. Штокало (1946, 1960), А. Е. Гельмана (1965), И, Н. Блинова (1965) были получены квазипериодические решения линейных систем дифференциальных уравнений. Многие вопросы устойчивости и периодических решений рассматривались П. Б. Голоквосчусом. [c.81]

Такого рода работы являются, разумеется, продолжением знаменитой работы Ляпунова о рядах Хилла, а с другой стороны, дают различные приложения метода малого параметра Пуанкаре, используемого в настоящее время чрезвычайно широко в самых разнообразных областях знания. [c.355]

В предельном случае р = О, 5 = О получаются решения Хилла, которые были выведены в предыдущем параграфе, где рассмотрение рекуррентных формул для коэффициентов было более простым, потому что вместо I входило 21 и отсутствовала особенность при I = 1. При ( = ОиО<р<1 получаем ограниченную задачу трех тел, в которой масса Лупы равна пулю. Для этого случая периодическое решение было найдено Брауном [2] по методу Хилла. Полученное памп общее решение было найдено Мультопом другим способом, а имеппо, с помощью метода малого параметра Пуанкаре. Этому методу посвящен следующий параграф. [c.185]

Мы сознательно получили здес основное уравнение (3.14), опустив для краткости ряд рассуждений по обоснованию вывода при желании этя обоснования могут быть легко воспроизведены. Отметим лишь, что полученный результат вполне согласуется с результатами, найденными другими методами, в частности, в отношении стационарши режимов - методом малого параметра Пуанкаре - Ляпунова [72]. [c.144]

Квазилинейные уравнения движения механизмов. Метод малого параметра или метод Пуанкаре применяется для исследования тех уравнений движения механизма, которые содержат малый параметр ц и имеют периодическое решение, когда этот параметр равен нулю. Из этих уравнений наибольшее зна-чение имеют квазилинейные уравнения, в которых нелинейные члены входят умноженными на малый параметр i. Происхождение термина связано с тем, что при (х = О уравнение движения обращается в линейное, решение которого при соблюдении определенных условий близко к решению нелинейного уравнения и может быть уточнено путем введения малых поправок. Линейное уравнение, получаемое при ц — О, называется пороЖ дающим. [c.195]

Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной Теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре, который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плоскости [551, при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в работах А. А. Андронова и А. А. Внтта, стала широко известна как метод малого параметра (см. гл. 11, п. 3). [c.91]

Сама идея продолжения решения известна и эксплуатируется в математике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу, лежит в осюве из естюго метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам. У. Леверье (1856 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). [c.13]

Приближенные методы исследования нелинейных систем в принципе совпадают с первым приближением асимптотического метода Н. И. Боголюбова и с методом Ван-дер-Поля, поскольку известные уравнения Реллея и Ван-дер-Поля имеют аналогичный вид. Они также аналогичны и с первым приближением методов малого параметра А. Пуанкаре и Б. В. Булгакова и с теорией возмущений для медленно затухающих процессов, изложенной в работе Н. Н. Боголюбова. Оценка первого приближения в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. Пуанкаре, Б. В. Булгакова, Я. 3. Цыпкина и других авторов производится путем учета последующих приближений, но связана с большими математическими вычислениями и практически обычно не применяется. [c.38]

Следует особо отметить, что большинство приближенных методов исследования устойчивости регулирования нелинейных систем Б. В. Булгакова, А. Пуанкаре, Ван-дер-Поля, Л. С. Гольдфарба, Е. П. Попова, изображающих амплитудных кривых К. Магнуса, эквивалентного комплексного коэффициента усиления и другие базируются на методах малого параметра А. Пуанкаре и гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. [c.59]

Приближенные решения задачи о неизотермическом течении реального газа в газопроводе с учетом теплообмена с внешней средой при некоторых допущениях даны в исследованиях Б. В. Шалимова (1963) и 3. Т. Галиуллина, Б. Л. Кривошеина и И. Е. Ходановича (1964, 1965). В этих работах поправка на неидеальность газа вводилась методом малого параметра (методом Пуанкаре), а уравнение состояния бралось в форме Бертло теплообмен между потоком газа и окружающим грунтом определялся по формуле Ньютона. Показано, что благодаря проявлению эффекта Джоуля — Томсона при движении реального газа его температура может оказаться ниже температуры окружающего грунта, что согласуется с наблюдениями. [c.734]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...