О практических возможностях метода Пуанкаре

О практических возможностях метода Пуанкаре [c.172]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Сопоставим практические возможности методов Ван-дер-Поля и Пуанкаре Метод Пуанкаре позволяет найти периодическое решение исследуемо системы, в принципе, с любой точностью (до членов порядка j,"), тогд как метод Ван-дер-Поля ограничивается только первым приближение (членами порядка л). Однако с помощью метода Ван-дер-Поля не тольк определяются периодические решения, но и сразу же решается вопрос их устойчивости (по анализу устойчивости состояний равновесия укоро ченной системы). В этом заключается существенное практическое прей мущество метода Ван-дер-Поля перед методом Пуанкаре. [c.192]

В формальном отношении очень гибким при отыскании решения оказывается уравнение Гамильтона —Якоби. Наиболее плодотворно оно используется Пуанкаре в его исследованиях на эту тему во втором томе его Methodes nouvelles . Большое преимущество уравнений в частных производных лежит в почти исчерпывающей возможности, которую они представляют для введения избыточных постоянных интегрирования. Используя это свойство и исходя из метода Пуанкаре, мы показали [88], как. можно различными способами прийти к тригонометрическим выражениям для элементов. Проведем здесь эти исследования более обстоятельно. При этом мы ограничимся астероидной задачей трех тел, ибо в этом случае рассуждения будут более короткими. С другой стороны, это связано с тем обстоятельством, что сейчас не существует каких-либо практических методов, чтобы выразить численно координаты в тригонометрической форме в общей задаче трех тел. Теоретическую возможность такого представления мы показали в предыдущем параграфе. [c.603]

Таким образом в случае вращающихся или циклических систем мы пришли к необходимости делать различие между устойчивостью в смысле, указанном классическим лагранжевым методом малых колебаний, когда трением пренебрегают, и устойчивостью определяемой критерием Дирихле-Кельвина. Это различие было указано впервые Кельвином, и затем его подтвердил Пуанкаре в своих исследованиях о возможных формах равновесия вращающейся жидкости, частицы которой подвержены действию взаимного притяжения. Различают соответственно два случая обыкновенной" или временной" и практической", постоянной" или вековой" устойчивости, причем последнее наименование связано с приложениями в астрономии. [c.254]

Пуанкаре ввел понятие практической интегрируемости задач небесной механики, понимая под этим нахождение приближенного решения, удовлетворительно представляюш,его наблюдения и охватываюш,его практически приемлемый промежуток времени. В этом смысле все задачи небесной механики интегрируемы, особенно в связи с большими возможностями электронных вычислительных машин. Использование методов теории возмущений (см. ч. IV, гл. 9) обусловливает появление асимптотических расходяи ихся рядов. Практика построения теорий движения тел Солнечной системы, накопленная в небесной механике на протял<ении двух столетий, говорит в пользу применения таких рядов в конкретных задачах. [c.812]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...