Пуанкаре время возврата

Пуанкаре время возврата I 92 Пуассона скобки I 19 [c.394]

Хорошо известно, что величина цикла Пуанкаре огромна для систем из большого числа частиц и несравненно велика даже по отношению к возрасту Вселенной. Однако стохастическое поведение может возникать и в системе из нескольких степеней свободы (даже двух), и тогда время возврата доступно для наблюдения. [c.11]

Если рассматриваемая гамильтонова система совершает финитное движение, то по теореме Пуанкаре о возвратах (см. 1.1) система всегда будет возвращаться в любую окрестность точки А. Более того, если процесс блуждания частицы аналогичен диффузионному, то распределение времени возврата имеет характерный параметр То такой, что вероятность возврата за время 4>Го экспоненциально убывает [180]. Этот вывод является следствием существования двух масштабов универсальности, или, иначе, существованием по крайней мере двух переменных (/, д), по одной из которых ( ) случайный процесс носит характер быстрого перемешивания, а по другой (/) — медленной диффузии. [c.223]

Таким образом, телесный угол, задающий неопределенность ЪМ-мерного импульса, растет со временем по экспоненциальному закону. Фазовые траектории, исходившие первоначально из малой области фазового пространства, точнее говоря, из малой площадки гиперповерхности постоянной энергии, очень быстро удаляются друг от друга и заполняют приблизительно равномерно всю эту гиперповерхность. Согласно теореме Лиувилля при этом сохраняется первоначальный фазовый объем. При этом гиперповерхность постоянной энергии окажется сначала грубо, а затем все более мелко изрезанной фазовыми траекториями. За некоторое характерное для релаксации время, весьма малое по сравнению с временем возврата по Пуанкаре (см. ниже), вероятности нахождения изображающей точки в равных участках этой гиперповерхности станут одинаковыми. [c.549]

Из теоремы Пуанкаре не следует, как система будет возвращаться в исходную область. Времена последовательных возвратов могут подчиняться любому закону, в том числе и случайному. Тем не менее в ряде работ и книг по статистической механике теорема о возвратах воспринимается как доказательство почти периодического движения системы. [c.40]

Парадокс возвращаемости (Цермело). Согласно теореме Пуанкаре о возвратах любое состояние системы, рассматриваемое как начальное, должно через некоторое время (время возврата) почти повториться с любой заданной точностью. Эктроппя в момент возврата должна почти совпасть с начальной энтропией, что противоречит следствию Я-теоремы Больцмана о возрастании энтропии. [c.36]

Прежде всего заметим еще раз, что теорема Пуанкаре в возвратах не имеет никакого отношения к появлению статистических свойств в системе. Возвраты существуют как при условнопериодическом движении, так и при стохастическом движении. В последнем случае времена последовательных возвратов (циклов) являются случайной последовательностью, а величина их для систем из малого числа частиц также мала. Необратимость проявляется не в том, что система не может вернуться близко к исходному состоянию, а совсем в ином ее свойстве. Рассмотрим фазовую каплю правильной формы и будем следить за изменением формы ее границ со временелг. В устойчивом случав (в отсутствие перемешивания) поверхность капли пзд1еняется не очень сильно, в то время как в случае локальной неустойчивости поверхность капли очень быстро приобретает необычайно сложную и запутанную форму (сл1. рис. 1.15). Необратимость связана именно с этой формой. Никто еще не подсчитывал вероятность возврата фазовой капли после перемешивания обратно в старую оболочку . Однако интуитивно ясно, что эта вероятность должна быть столь же мала, как и вероятность возврата для большого чпсла частиц. Пренебрежение этой вероятностью, эквивалентное также некоторому огрублению, и приводит к необратимости. [c.39]

Задача 3. Доказать теорему Пуанкаре о возврате (Н. Poin are, 1890) если движение точки X, изображающей состояние консервативной (гамильтониан Я не зависит от времени) системы в фазовом пространстве, финитно (т. е. ограничено некоторой областью 9J, имеющей конечный объем К), то для любой конечной (не нулевой меры) области 9J, включающей начальную точку хо этой траектории, существует такое время Т, за которое фазовая точка х возвращается в эту область. [c.361]

Возникает вопрос каким образом статистическая физика, основанная на обратимых во времени законах микропроцессов, может приводить к необратимым законам макроскопических процессов, в частности, к описанию процессов релаксации и к закону возрастания энтропии в замкнутых системах. В особенно отчетливой форме этот вопрос был поставлен в связи с так называемой теоремой возврата (Пуанкаре, Цермело), согласно которой за достаточно большое время фазовая траектория в Г -пространстве, изображающая поведение системы, вернется в область, сколь угодно близкую к некоторой начальной точке этой траектории. [c.544]

В тех задачах, в которых имеется зависимость от времени, в термодинамическом пределе также исчезают некоторые эффекты, имеющие место в конечных системах. Самый знаменитый среди них связан с так называемыми возвратами Пуанкаре. Этот эффект выражается следующей точной теоремой классической динамики. Пусть имеется консервативная динамическая система N тел, помещенная в конечную область пространства. Тогда, начав движение из заданного состояния в нулевой момент времени, система по истечении промежутка времени Тр вернется сколь угодно близко к начальному состоянию. Поэтому движение любой конечной механической системы является квазиперио-дическим. Кроме того, при Т —оо период Тр стремится к бесконечности. Следовательно, результаты, получаемые из теории в термодинамическом пределе, могут быть справедливы лишь для времен, значительно меньших времени возврата Пуанкаре. Однако оказывается, что для всех систем представляющих интерес с точки зрения статистической механики, время Тр столь фантастически огромно, что фактически никакого ограничения не существует вообще (для 1 см газа Т,, имеет порядок биллиона биллионов лет). Поэтому с уверенностью можно утверждать, что эволю- [c.92]

Тот факт, что система в действительности всегда не изолирована, надо помнить также в связи с другим парадоксальным возражением против любой механической интерпретации второго закона термодинамики это возражение тоньше довода, основанного на обращении скоростей молекул. Возражение основано на теореме Пуанкаре, в которой утверждается, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, за достаточно большой промежуток времени возвратится как угодно близко к начальному сострянию при почти всех начальных условиях. Из этой теоремы следует, что спустя время возвращения положения и скорости молекул могут стать столь близки к начальным, что макроскопические величины (плотность, температура и т. д.), подсчитанные по ним, должны быть практически теми же, что и в начальном состоянии. Следовательно, энтропия, которую можно подсчитать по макроскопическим величинам, также должна быть практически той же, и если она вначале возрастает, то должна уменьшаться в какой-то более поздний момент. На это возражение обычно отвечают, что время возвращения столь велико, что в сущности никогда не наблюдались значительные части цикла возвращения действительно, время возвращения для обычного количества газа будет огромным, даже если за единицу измерения времени принять примерный возрасг Вселенной. Не говоря уже о применимости принятой модели классических точечных молекул, ясно, что при таком огромном. [c.73]

В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций, благодаря которым устанавливается квазипериодическое движение ( ) = F(a li,. .., где функция Р имеет период 2тг по каждому аргументу, а — это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень просты вначале устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл (так появляется 1), затем возникшее периодическое движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого цикла появляется двумерное многообразие — тор, частота обмотки которого несоизмерима с основной частотой (так появляется 2), после чего это двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный тор (возникает шз и т. д. При большом N реализация такого квазипериоди-ческого процесса действительно выглядит случайной, в частности, его автокорреляционная функция быстро спадает (как 1/л/]У), а время до ее следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть Т ехр(аТУ), где а и 1 [3]. [c.495]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...