Пуанкаре расстояние

Относительно этой метрики ( изометрично отображает Е на себя. Пусть Ад С Е — кольцо, ограниченное окружностями и й 5+1. Обозначим через а площадь в этой плоской метрике. Поскольку а Ао) конечна, из предположения о том, что области 11к попарно не пересекаются, следует, что а 11к П о) стремится к нулю при f —> оо. Так как изометрично отображает пересечение 11-д П Ад на 11о Ад, то а( 7о П Ад) также стремится к нулю при д —> оо. Из леммы 18.17 следует, что в метрике Пуанкаре расстояние между д и д+1 внутри Щ стремится к бесконечности при д оо. Значит, в метрике Пуанкаре расстояние между % и внутри 11о с ростом д растет быстрее, чем линейно. Аналогичные рассуждения можно провести и для метрики Пуанкаре внутри каждой области 11 ., но это противоречит лемме 18.16, что и доказывает основную лемму 18.15 в случае отталкивающей неподвижной точки. [c.238]

Начнем с простого случая, когда изображающая точка Р движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора Р, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если х ( ) есть доля интервала времени от О до г, в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение % (Ь)/Ь, очевидно, стремится к пределу р/2я, и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени г = О, т, 2т,. .. ( 22.7) и обозначим через V (п) число точек А, Ах, А2%, . , лежащих в области а, то отношение v (п)/п прп ->-00 будет стремиться к тому же пределу (3/2л прп условии, что отношение т/2л есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки Л, Ах, А2х, , отстоящие на угловых расстояниях О, т, 2т,. . . от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А па окружности, ни от величины основного интервала т, если только X не является соизмеримым с 2п. [c.443]

Отказ от понятия абсолютной одновременности привел к весьма далеко идущим последствиям. Стало невозможно прямо ввести действие на расстоянии. Возникла необходимость в создании полевой теории тяготения. Поиски полевой теории тяготения в рамках специальной теории относительности были начаты Пуанкаре, но не продолжены им. Для Эйнштейна отказ от абсолютной одновременности — один из отправных пунктов при создании им общей теории относительности. Рассмотренные работы относятся к первому подготовительному периоду в создании общей теории относительности. [c.365]

IV = (и ,Пу,р) определяется формулами (13), (21). Далее, консолидируемая полоса расчленяется на прямоугольники и две полуполосы, такие что в каждой из этих элементарных областей содержится одна точка раздела граничных условий. Решение в элементарной области ищется в форме ряда (17), коэффициенты находятся из условий сопряжения на торцах соседних прямоугольников. В результате образуется нормальная система алгебраических уравнений Пуанкаре-Коха относительно неизвестных А . Основание может иметь и изначально форму прямоугольника. В частности, для случая, когда на полосе — основании — лежит одна конечная балка, решение можно искать в одной полуполосе, торец которой проходит через середину балки. При этом задача разбивается на симметричную и кососимметричную задачи для полосы, а условия сопряжения полуполос становятся эквивалентными перекрестным условиям на торце полуполосы (15), (16). Если, например, балка имеет длину 2Л и нагружена симметрично на расстоянии 5 от своих концов сосредоточенными силами Р, система Пуанкаре-Коха принимает вид zJ = -(7 ,6 = , к = 1,2,...) [c.580]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Функция Мельникова Одна из теорий хаотического движения сосредоточивает внимание на седловых точках отображений Пуанкаре, порождаемых непрерывными потоками в фазовом пространстве. Вблизи таких точек имеются подпространства, по которым траектории сходятся к седловой точке (устойчивые многообразия), и подпространства, по которым траектории расходятся от седловой точки (неустойчивые многообразия). Функция Мельникова задает меру расстояния между такими устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Теория, о которой идет речь, считает, что хаос возникает, когда устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются или когда функция Мельникова имеет простой нуль. [Функция названа в честь советского математика (около 1962 г.).] [c.275]

Пуанкаре удалось найти ответ на этот вопрос почти без рассмотрения дифференциальных уравнений движения. Еслп треугольник, образованный тремя телами при i = О и при t = Т, имеет одни и те же размеры, и если, кроме того, производные от взаимных расстояний г, г и г" в оба эти момента равны, то, очевидно, можно заключить, что движение будет периодическим. [c.430]

Пример. Диск с выколотой точкой. Универсальное накрытие над диском с выколотой точкой В 0 может быть отождествлено с левой полуплоскостью w = u + iv, и < 0 посредством экспоненциального отображения w z = е" е 0 , для которого выполняется соотнощение dz/z = dw. Очевидным образом, метрика Пуанкаре dv)/u на левой полуплоскости соответствует метрике dz/r nr на диске с выколотой точкой, здесь г = z и и = Inr. Поэтому окружность z = г имеет длину 2тг/ 1пг , что стремится к нулю при г о, хотя эта окружность удалена в метрике Пуанкаре на бесконечное расстояние от граничной точки z = 0. Пересеченная с В 0 окрестность нуля может быть изометрична вложена в М как поверхность вращения, образующая этой поверхности известна под названием трактриса . [c.33]

В качестве примера, иллюстрирующего эту теорему, рассмотрим отображение /(г) = на диске В, которое, конечно же, не является накрытием или конформным автоморфизмом. Следовательно, оно уменьшает расстояния метрики Пуанкаре на В. С другой стороны, мы можем также рассматривать это отображение /, как отображение диска с выколотой точкой В 0 в себя. В этом случае / является двулистным накрытием, следовательно, в метрике Пуанкаре / является локальной изометрией на В 0 . Действительно, универсальное накрытие над В 0 может быть отождествлено с левой полуплоскостью, отображающейся на В 0 посредством экспоненциального отображения, (ср. 2.8.), и тогда f поднимается до автоморфизма Р гю 2ад этой полуплоскости, который, очевидным образом, сохраняет метрику Пуанкаре. [c.36]

Покажите, что расстояние Пуанкаре между №1, адг И равняется логарифму сложного отнощения четырех точек х(а, Wl, гю2, /3), определенного в задаче 1-с, если геодезическая этой метрики, проходящая через №1 и у)2, пересекает Ж = М и оо в точках а и 3. [c.40]

Задача 2- 1. Действие группы Щ. Покажите, что при действии две заданные точки из В отображаются в другую пару заданных точек в В тогда и только тогда, когда расстояние Пуанкаре в этих парах одинаково. Покажите, что действие на граничной окруж- [c.40]

Случай уменьшения расстояний. Если f уменьшает расстояния в метрике Пуанкаре, то каждая его итерация должна удовлетворять неравенствам [c.78]

С другой стороны, предположим, что лемма 18.15 неверна, и что множества 11к попарно не пересекаются. Тогда мы покажем, что внутри 11к расстояние между 7/г П % и [7 П в метрике Пуанкаре возрастает с ростом д быстрее, чем линейно. Это противоречит лемме 18.16 и тем самым доказывает основную лемму 18.15. Наши рассуждения будут основываться на следующей, очень грубой оценке. [c.237]

Лемма. Рассмотрим полосу 3 С С ширины т, ограниченную двумя параллельными прямыми Ьх и Ь2- Пусть II — односвязная область, пересекающая обе эти прямые, и А — евклидова площадь пересечения II П 3. Тогда расстояние в метрике Пуанкаре между и П Ьг и11 Г Ь2 внутри и больше, чем ги /п/АА — 1. [c.237]

В частности, если А стремится к нулю при фиксированном -ш, то это расстояние стремится к бесконечности. Доказательство леммы основано на следующем, более точном, неравенстве Для любой кривой 7 в и длина ее дуги в метрике Пуанкаре не меньше, чем [c.237]

Замечание Другой вариант этого доказательства может быть основан на том, что отображение должно подниматься до однозначного отображения Р универсальной накрывающей поверхности V в себя. Тогда Р должно уменьшать расстояния в метрике Пуанкаре на У, следовательно, / должно увеличивать расстояния в метрике Пуанкаре на У. Ср. доказательство теоремы 19.6.) [c.241]

Приведем интересную переформулировку теоремы А.7 об одной четверти. Пусть ds = p z) dz — метрика Пуанкаре на открытом множестве и, и пусть г = r z) — расстояние между точкой 2 и границей множества U. [c.261]

Интенсивное развитие дальних радиотелеграфных связей, потребовавшее тщательного изучения законов излучения и распространения радиоволн, способствовало становлению радиофизики как пограничной между физикой и радиотехникой области знания [48]. В новой области науки стали работать впоследствии известные ученые, в том числе лорд Рэлей, А. Пуанкаре, А. Зоммерфельд, Б. Ван-дер-Поль, М. В. Шулейкин н др. За два десятилетия развития радио в области науки о распространении радиоволн был накоплен большой экспериментальный и теоретический материал, ыозво-ляющ ий приближенно рассчитывать напряженность электромагнитного поля длинных волн в зависимости от мощности передатчика, расстояния и высоты антенны. Опыт и теория показывали, что сила сигнала в точке приема пропорциональна длине волны. Эти данные способствовали развитию радиосвязи на все более длинных волнах. К концу второго десятилетия длина волн некоторых передатчиков достигла 20 тыс. и даже [c.318]

Рассматривается вращение твердого тела с одной неподвижной точкой в поле тяготекня сжатой планеты, потенциал которой с высокой точностью аппроксимируется двумя неподвижными центрами, расположенными на комплексно-сопряженных расстояниях. Метилом Пуанкаре строятся периодические решения. Задача решается в переменных Лндy J ie, при этом используется аппарат гамильтоновых систем. [c.128]

Однако, несмотря на это, для решения многих вопросов, выдвигаемых естествознанием, приближенное вычисление частных решений на конечных промежутках значений независимого переменного оказалось принципиально недостаточным. Наличие современных мощных вычислительных средств ничего не изменило здесь по существу. Такие вопросы впервые, естественно, возникли в самой небесной механике. Это — вопросы, относящиеся к проблемам космогонии. Так, если ограничиться для определенности проблемой трех тел, то вопросами космогонического характера в этой проблеме являются, например, следующие вопросы, перечисленные Пуанкаре во введении к одному из своих классических мемуров [5) Будет ли одно из тел всегда оставаться в некотором участке неба или оно сможет удалиться в бесконечность Будет ли расстояние между двумя из этих тел неограниченно убывать или, напротив, это расстояние будет всегда заключено в определенных гранщах , и многие другие вопросы такого характера. Очевидно, приближенное знание некоторого числа частных решений на конечном промежутке значений времеш (независимого переменного 1) не может дать никакого ответа на эти вопросы. Для ответа на них нужно знать решения в течение сколь угодно большого промежутка времени, т. е. нужно, если так можно выразиться, знать характер решения в целом . [c.14]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

Все рассмотренные выше методы вычисления фрактальной раз мерности странных аттракторов требуют использования мощные Ш1фровых микро- или мини-компьютеров. Однако с точки зрения экспериментатора естественно спросить, нельзя ли измерять фрактальные размерности динамических систем непосредственно, используя аналоговые устройства так же, как мы измеряем другие динамические свойства, например скорость и ускорение. В общем случае для динамической системы с многими степенями свободы ответ неизвестен но в некоторых простых задачах фрактальная размерность двумерного отображения Пуанкаре может быть измерена оптическими методами (см. [102]). В основе такого подхода лежит оптическая иитерпреташм корреляционной функции (6.2. Схема, иллюстрирующая этот подход, представлена иа рис. 6.17. Напомним, что вычисление корреляционной функции включает подсчет числа точек в кубе или сф , описанных вокруг каждой точки фрактального множества. Оптический метод использует параллельную обработку информации, позволяющий находить число точек в окрестности всех точек фрактального множества сразу. Свет, идущий от одной пленки, создает на другой пленке освешен ный кружок. Если каждая пленка представляет собой точную копию сечеиия Пуанкаре странного аттрактора, то полный световой поток, испускаемый второй пленкой, пропорционален корреляционной функции. Изменяя расстояние между пленками на рис. 6.17, мы [c.244]

Принципиальная схема экспериментальной установки, приведенная на рнс. 6.18, показывает, какой путь проделывает свет. Предлагаемый метод использует две особеяности классической оптики. Во-первых, если свет проходит через малое отверстие диаметра О н выполняется условие дифракции Фраунгофера (В > X, где X — длина волны света), то на плоскости, расположенной на расстоянии Ь за отверстием, свет образует круглое пятно ( зайчик ) радиусом г. Величина радиуса г определяется из соотношения 1,22 Х//7. В описываемом нами методе отверстием служит светлое пятнышко ( точка ) на негативе плоского отображения Пуанкаре, и небольшой кружок света падает на точную копию негатива, расположенную на расстоянии Ь от первого негатива (рис. 6.18). Во-вторых, для некогерентного излучения количество света, испускаемого вторым негативом, пропорционально числу светлых точек, или пятнышек, оказавшихся внутри кружка света. [c.245]

Явление возникновения хаоса наглядно иллюстрируется отображениями (сечениями) Пуанкаре. Для конкретного случая системы трех колец, имевших в начальный момент времени координаты (4.40), сечения Пуанкаре представляли собой координаты кольца 2 на плоскости (/ 2> в моменты времени, когда / , 1 (рис. 83,— расстояние между кольцами 1 и 2). При наличии кваэиупорядоченног ) регулярного движения системы точки на сечениях Пуанкаре располагаются в окрестности некоторой области и образуют определенные фигуры. [c.218]

Случай сохранения расстояний. Теперь предположим, что f является локальной изометрией для метрики Пуанкаре. Докажем, что некоторая последовательность итераций отображения f локальноравномерно сходится к тождественному отображению S. Как и выше, некоторая последовательность таких итераций gj сходится к отображению g, которое имеет неподвижную точку р. Мультипликатор в этой неподвижной точке по абсолютной величине равен единице, обозначим его через g p) = Независимо от того, является ли угол а ра- [c.78]

Пусть / В —> В — произвольное голоморфное отображение. Следующее рассуждение почерпнуто из лекций Бердона и было сообщено мне Сисикурой. Для любого е > О рассмотрим приближение / отображением е г) = (1 — s)f z) диска Ю в его собственное подмножество. Каждое отображение имеет единственную неподвижную точку (Ср. задачу 2-j, заметим также, что существование такой неподвижной точки вытекает из теоремы Брауэра о неподвижной точке (см., например, Борисович и др.) примененной к диску (1 — е)В. Единственность неподвижной точки очевидна, поскольку сокращает расстояния в метрике Пуанкаре.) Ввиду компактности замкнутого диска В [c.81]

Пусть и — гиперболическое открытое подмножество на римановой поверхности S. Предположим, что f U U непрерывно на компактном множестве U и голоморфно отображает U в себя, предположим также, что некоторая орбита ро pi Р2 Ч-. .. в [/ не имеет точек накопления в U. Значит, расстояние Пуанкаре distj7(po, Рп) стремится к бесконечности при п оо. Выберем некоторый непрерывный путь р [О, 1] —> [/ из точки ро = р(0) в f po) = р(1) и продолжим этот путь индуктивно для всех i О, полагая p(i +1) = f p t j). Пусть S диаметр образа р[0, 1] в метрике Пуанкаре на U. Тогда диаметр каждого последующего образа р[п, П+ 1] также S. Следовательно, distf/(po p t)) также стремится к бесконечности, при t оо. [c.82]

Предположим теперь, что Уо строго меньще Щ. Тогда, согласно (2 6), вложение Уо —Щ строго сжимает расстояния в метрике Пуанкаре, то есть [c.165]

Лемма. Некоторый образ Uk = /° (f/o) обладает следующим свойством относительно метрики Пуанкаре, ассоциированной с односвязным открытым множеством Uk, расстояние между Uk i o uUk l й д не превосходит ginn. [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...