Лемма Пуанкаре

Лемма Пуанкаре. Если форма 0 замкнута d6 = 0, то она локально (в некоторой окрестности каждой точки) точна в=ёв. [c.245]

Согласно лемме Пуанкаре и условию 2) Jo = 0. Предположим, что в разложении (1.10) коэффициент при р 1) не равен тождественно нулю. По лемме 3 функцию 3 можно представить в виде [c.21]

По лемме Пуанкаре 3 не зависит от и функции и Жо зависимы в точках множества П Е. Так как С С С П Е является ключевым множеством для класса А Е ) (лемма 2), то функции З о и Жо зависимы во всей области Е. Следовательно, согласно (1.11) Jl=0 ир 2. Повторяя эту операцию р раз, мы придем к заключению, что разложение (1.10) начинается с членов порядка а не как предполагалось выше. Полученное противоречие завершает доказательство. [c.22]

Принципиальной основой доказательства несуществования нового аналитического интеграла является лемма Пуанкаре ( 1, гл. I) если [c.97]

Задача 12. Докажите лемму Пуанкаре для 1-форм. [c.172]

Лагранжиан 57 Лемма Пуанкаре 172 [c.470]

Чтобы доказать достаточность, предположим, что (М, 9) — подмногообразие контактного типа. По лемме Пуанкаре форма 9 может быть продолжена до формы 9 на окрестности и многообразия М таким способом, что 6,9 = ш на и. Тогда соотношение — в единственным образом определяет и мы имеем /, = 9(Х )фО, так что поле трансверсально к М. Наконец, цш) = (1в = ш. [c.239]

Замечание. Единственная причина, вынуждающая нас работать в Е ", заключается в том, что в конце доказательства применяется лемма Пуанкаре. [c.239]

Теорема П3.11 (Лемма Пуанкаре). Если форма ш замкнута, то для всех ре М существует окрестность V точки р, на которой форма ш точна. [c.708]

Теорема П7.3 (лемма Пуанкаре), = 0. [c.717]

Поскольку отображение 9 С,ь ->Q , по определению является гомоморфизмом относительно аддитивной структуры, лемма Пуанкаре показывает, что множество = 9(С +,) С С f -мерных границ представляет собой подгруппу группы Zi = кег 9 = с 9С = 0 i-мерных циклов. Так как группа абелева, группа нормальна в С . [c.717]

Лемма Пуанкаре Ляпунова 219 Линейное симплектическое отображение 219 [c.279]

В соответствии с локальной леммой Пуанкаре, [c.130]

Форма /3 замкнута, следовательно локально /3 = (лемма Пуанкаре). [c.14]

Теперь мы можем выбрать 1-форму 7 так, что она равна нулю во всех точках подмногообразия. Эта относительная лемма Пуанкаре [c.14]

Доказательство ) утверждения Пуанкаре и Ляпунова можно построить, опираясь на следующую лемму. [c.221]

По лемме 1, ранг матрицы Якоби (1.7) не превосходит. во всех точках множества Пуанкаре Р,. Все миноры этой матрицы являются аналитическими функциями от х, у, и множество Р., ключевое для класса аналитических функций, поэтому функции [c.181]

Рассмотрим теперь случай, когда система (1.1) имеет интеграл Я = Но х, у) - - sHi х,у) +. .. с аналитическими и 2тг-периоди-ческими по X коэффициентами. Тогда, согласно результатам 1, множество Пуанкаре Pq не может обладать ключевым свойством. В невырожденном случае функция Щ не зависит от х (см. лемму 1 из 1). [c.193]

Приступим к анализу множества Пуанкаре. Векторы а и (3 по предположению линейно независимы, поэтому гиперплоскости (о , а) = О и Гт = у (ш,та +/3) = 0 не совпадают. Согласно лемме 1, функции 8 аналитичны почти всюду на Г при г < т + -Ь 1. Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли гиперплоскость Гт множеству P" + , необходимо проверить условие /2 +1 ф 0. Воспользуемся формулой (5.11). В ней Л1 = 5 , щ = г ш,Р)8 . Коэффициенты 5 и 5 f отличны от нуля согласно формуле (5.4) и определению вершин а и /3. Если (о ,/3) = О на гиперплоскости [c.206]

Продолжим анализ множества Пуанкаре. Лемма 9 дает нам, что Ят = О на гиперплоскости в том и только том случае, когда Л = а,/3)/ а,а) совпадает с одним из следующих чисел О, [c.209]

Лемма 12 обобщает известное утверждение Пуанкаре о зависимости функций Г . .., на множестве Р (см. 1). Первая [c.210]

Выведем отсюда лемму 12. Если якобиан (5.22) отличен от нуля в некоторой точке уо е Р °, то он отличен от нуля в целой окрестности V этой точки. Следовательно, в V" х Т" можно (по крайней мере формально) построить ряды теории возмущений по степеням е с аналитическими коэффициентами. Однако, по определению множества Пуанкаре Р , в точках из /о х Т" С V" х Т" хотя бы одна из функций Зг (г = 1,2,...) не является аналитической. [c.210]

В 4 при помощи метода топографической системы Пуанкаре (ТСП) показано отсутствие замкнутых кривых из траекторий как в полосе П, так и в полосе П (лемма 2.7). Таким образом, вокруг точек , замкнутые кривые из траекторий отсутствуют. В силу 2тс-периодичности фазового портрета, а также центральной его симметрии, замкнутые кривые из траекторий могут существовать одновременно лишь вокруг [c.201]

Геометрическая теорема Пуанкаре . Пуанкаре показал, что существование бесконечного множества периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел и других динамических задачах тотчас следует из некоторой геометрической теоремы, с которой лемма 1 тесно связана. [c.172]

Следующая лемма описывает связь между отображение Пуанкаре и структурой прямого произведения. [c.138]

Мы также полагаем, что Л 1, что не является ограничением в случае Зигеля, а в случае Пуанкаре может быть достигнуто рассмотрением отображения, обратного к /, вместо /. Применяя лемму 2.8.4 кис р = ги 6 = ер ак как и < е в получим w(2) < ep (, d)Ar для z р(1 - Д). Поэтому для z = р — Д) мы имеем [c.109]

Лемма П29.1 (Пуанкаре —Ляпунов). Множество собственных значений X симплектического отображения А симметрично относительно действительной оси и окружности Л = 1. [c.219]

Согласно лемме 1, функции Но и F о зависимы на множестве Пуанкаре. Поскольку миноры матрицы Якоби [c.228]

Принципиальной основой доказательства неинтегрируемости возмущенных уравнений является лемма 1 если Р=Ро 1. ф) + -Ье 1(/, ф)+... —первый интеграл канонических уравнений (1), то 0 не зависит от ф и функции Но и Ро зависимы на множестве Пуанкаре. Первая часть леммы вытекает из невырожденности невозмущенной задачи. Используя теорему 3, мы докажем зависимость функций Но и Ро на множестве невозмущенных торов / = / , которые удовлетворяют условиям теоремы 4 и неравенству (5). [c.231]

Так как задача Эйлера-Пуансо невырождена (теорема 3 гл. II), функция не зависит от р. Согласно лемме Пуанкаре ( 1 гл. I), функции Жо и. о зависимы на множестве С Д° С Д°. Вековое множество не является всюду плотным в Д° (теорема 1). Это обстоятельство не позволило А. Пуанкаре на основании доказанных им общих теорем заключить, что рассматриваемая задача не имеет аналитических интегралов, отличных от классических [1, п. 86]. [c.62]

Обозначим матрицу размером 2 х 3 в правой части равенства (3.3) через R. Заметим, что дЖо/дрх = dS o/dipi = 0. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и леммы Пуанкаре (см. 1 гл. 1). Пусть (Д, /г) 6 П Д°. Тогда ранг матрицы R равен 1. Значит, при фиксированном значении переменной I2, па инвариантных кривых отображения S кольца К на себя ( 1 настоящей главы), составляющих множество SSflD, матрица R тоже имеет ранг 1. Согласно лемме 1 множество 5S П D является ключевым для класса A D). Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби R при любом фиксированном значении I2 являются аналитическими функциями в области D, то в области D х (ai, аг) ранг R равен 1, то есть функции Ж и зависимы. [c.65]

Так как i = О, то du,/dt = dBt/dz. Отсюда следует, что dQ /dt = = О, где П, = d [ut z, t)dz). Итак, в новых переменных. г 2-форма стационарна. Согласно лемме Пуанкаре, локально найдутся такие ковекторное поле u z) и функция S z,t), что Ut z,t)dz = [c.61]

Укажем основные моменты доказательства теоремы 1. Покажем сначала, что функции Г у,х) не зависят от х. Пусть у,х) > X Т и fo = Ф + гФо- Тогда и - пе1)вые интегралы невырожденной невозмущеиной системы. Согласно лемме Пуанкаре (см. 1, гл. IV), они не зависят от х Тд. При х постоянство функций Го вытекает из связности области и единственности аналитического продолжения. [c.332]

Суш ествование на мпообразии М замкнутых форм, не являющихся дифференциалами, связано с топологическими свойствами М. Можно показать, что в линейном пространстве всякая замкнутая Л-форма есть дифференциал некоторой к — 1-формы ( лемма Пуанкаре ). [c.172]

Упомянутая теория когомологий для компактных многообразий — теория когомологий де Рама к-я группа когомологий определяется как фактор пространства замкнутых А-форм по пространству точных -форм. По лемме Пуанкаре он представляет собой конечномерное векторное пространство. Оно находится в естественной двойствениости с -й группой гомологий многообразия с вещественными коэффициентами (см. П 7). Совокупность когомологий обладает также естественной мультипликативной структурой, индуцированной внешним произведением. [c.709]

Начиная с этого момента, мы ограничимся топологически тривиальными объемами Л, для которых не существует гармонических цепей. Это эквивалентно тому, что каждая р-цепь (О, удовлетворяющая условию со = О, имеет вид со = ф ( лемма Пуанкаре ), и в этом случае мы говорим, что Л имеет тривиальные (ко)гомологии. Это ограничение не является необходимым, но приводит к упрощению рассуждений. В частности, можно взять в качестве Л прямоугольный параллелепипед в Z , из которого исключены клетки его геометрической границы ( граничные условия Дирихле ), или двойственный к нему объем. Теперь определим лапласиан. [c.84]

Лемма 1 (А. Пуанкаре). Пусть невозмущенная система невырождена, т.е. д Жо/дГ фО. Предположим, что система с функцией Гамильтона (1.1) обладает первым интегралом Г, (х), аналитическим в В х х (—е, е). Тогда [c.16]

Лемма 3. Пусть множество Пуанкаре Ро является ключевым для (D). Тогда = onst. [c.192]

В этом разделе мы докал(ем теор му 2.5, приспособив конструкцию марковских разбиений для диффеоморфизмов [3] к отображениям Пуанкаре иа сечеииях. Приведенная ниже лемма 7.2 дает условия, необходимые для этой модификации. [c.136]

Предположим, что имеются две инвариантные окружности с числом вращения а. Их пересечение инвариантно, так что если по крайней мере одна из них транзитивна, то они не пересекаются, что невозможно в силу только что доказанной леммы. В противном случае их пересечение содержит общее множество Обри — Мазера А и эти две окружности задают графики двух различных функций и (р2, которые совпадают на проекции А. Графики функций тах(1р,, 1Р2) и т п(1р,, 1 2) инвариантны, и, следовательно, область между этими графиками тоже инвариантна. Но последняя область должна иметь бесконечно большое количество компонент связности, так как она проектируется в невозвращающиеся интервалы дополнения к проекции множества Обри — Мазера. Таким образом, мы получаем открытый диск с попарно непересекающимися образами, что невозможно в силу сохранения площади (ср. с теоремой Пуанкаре о возвращении 4.1.19). Мы используем здесь иррациональность числа вращения, иначе могло бы существовать конечное число компонент, переставляемых /. [c.431]

Можно доказать аналог леммы Аносова о замыкании для потоков, используя отображения Пуанкаре одной трансверсали к псевдоорбите в другую (см. упражнение 17.4.2). Этот же результат можно получить другим способом, из теоремы об е-траекториях для потоков 18.1.7. [c.547]

Теперь выберем множество В сВ х , a/4)nAj, диаметр которого меньше чем , имеющее положительную меру. По теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 для почти всех хеВ существует такое положительное целое число п(х), что е и, следовательно, d(x, >(х)) < . Применяя лемму о замыкании, мы получаем, что существует такая гиперболическая периодическая точка z периода п(х), что d x, z) < 3a/(12Ai))Aj = а/4, и ясно, что z) < d x , а) + d x, z) < а/2. [c.686]

Рассмотрите параметризованную замкнутую кривую, касательные векторы к которой близки к образующей потока. Зафиксируйте последовательность поперечных сечений в равноудаленных друг от друга точках кривои и рассмотрите произведение соответствующих отображений Пуанкаре. Введите подходящие координаты на каждой трансверсали н продолжите отображения Пуанкаре на все евклидово пространство с сохранением гипюболичностн. Затем повторите доказательство леммы Аносова о замыкании (теорема 6,4.15). Единственная неподвижная точка произведения отображений Пуанкаре соответствует периодической орбите потока, которая остается близкой к исходной орбите потока после небольшой репараметризации. [c.750]

Приведенные ниже экспоненциальные оценки были впервые получены еще Пуанкаре [337, п. 226]. Поскольку, однако, при 0 1 эффект экспоненциально мал, возникает очень серьезная и трудная проблема оценки точности этого результата, которая до сих пор обсуждается в литературе (см., например, [197, 483, 484]). По существу вопрос был решен уже в первых работах Мельникова [298], который показал, что все неэкспоненциальные поправки могут быть оттрансформированы с помощью канонической замены переменных (см. также [314], лемма 10.3). Тем не менее в некоторых специальных случаях, например, для стандартного отображения, эффекты высщих приближений приводят к появлению численного множителя порядка единицы, который пока не поддается аналитической оценке (см. [70, 6.1] и [485]).— Прим. ред. [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...