Теорема Пуанкаре—Биркгофа

Теорема Пуанкаре—Биркгофа. В случае невозмущенного отображения поворота (3.1.8) любая точка на окружности а (J) = r/s является периодической ) с периодом s (см. рис. 3.1, . Теорема Пуанкаре—Биркгофа утверждает, что возмущенное отображение поворота будет иметь 2ks периодических точек ( = 1, 2,. . . ). Поясним это, используя рис. 3.3. [c.195]

Рис. 3.3. К теореме Пуанкаре—Биркгофа.

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

См. статью Биркгофа О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре , печатаемую в этой книге. [c.403]

Существование двух периодических траекторий установлено Биркгофом с помощью последней теоремы Пуанкаре всякое отображение двумерного кольца на себя, сохраняющее площадь и вращающее границы кольца в противоположных направлениях, имеет не менее двух геометрически различных неподвижных точек [67]. Эта теорема была высказана Пуанкаре. Ее доказательство дано Биркгофом (см. [42]). Ниже приводится вариационное доказательство теоремы 1 из работы [34]. [c.58]

Рассмотрим некоторые следствия этого результата. Если v = m/n — рационально, то для любого д точка А(д)бП при п итерациях отображения f переходит в себя. При этом на универсальном накрытии кольца—полосе р <.р<.рг, —< < <9<оо, — координата q точки возрастает на 2пт. Существование таких периодических точек является одним из известных следствий геометрической теоремы Пуанкаре, доказанной Биркгофом [22]. Исходная гамильтонова система имеет в этом случае периодическое решение периода 2яп, делающее за период т оборотов по углу q. [c.210]

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

Доказательство этой теоремы, опубликованной Пуанкаре незадолго до его смерти, было дано лишь позже Дж. Д. Биркгофом, см. его книгу Динамические системы (М. Гостехиздат, 1941). [c.385]

Дело в том, что рассуждение, с помощью которого Пуанкаре пришел к своей теореме, применимо в целом ряде других случаев. Однако хитроумное доказательство, данное Биркгофом, плохо поддается обобщению. Поэтому неизвестно, правильны ли выводы, которые подсказывает рассуждение Пуанкаре, за пределами теоремы о двумерном кольце. Рассуждение, о котором идет речь, состоит в следующем. [c.385]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы Биркгофа,. сопровождаемое более точными необходимыми оценками для отображаемых областей и для постоянных. [c.798]

Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке применялись Биркгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мозером [30] для доказательства существования новых семейств (отличных от решений первого сорта Пуанкаре) почти-круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел. [c.798]

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема KAM), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию KAM и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге. [c.15]

Для невозмущенного гa шльтoниaнa периодические решения при резонансном значении J (2.4.3) вырождены по 0, т. е. существуют для всех 0. Возмущение снимает вырождение и оставляет только периодические решения, удовлетворяющие (2.4.15) (см. также обсуждение теоремы Пуанкаре — Биркгофа в п. 3.26). [c.125]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства, [c.176]

При малых фиксированных значениях параметра е О теорема 4 гарантирует существование большого (но конечного) числа различных изолированных периодических решений. Поэтому из этой теоремы нельзя вывести неинтегрируемость возмущенной системы при фиксированных значениях 6=9 0. Правда, в случае двух степеней свободы, который мы как раз рассматриваем, справедливо следующее утверждение если невозмущенная система невырождена, то при фиксированных малых значениях е 0 возмущенная гамильтонова система имеет бесконечно много различных периодических решений. К сожалению, они могут быть не изолированы. Существование бесконечного числа периодических решений выводится из теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (гл. 5, п. 3.2) и геометрической теоремы Пуанкаре — Биркгофа (см. [6]). [c.232]

Метод точечных отображений как средство изучения динамических систем, придающее аналитическим проблемам геометрическую трактовку, существенно расширяющую возможности исследования, ведет свое начало от А. Пуанкаре, П. Боля, Я. Брауера и Дж. Биркгофа. При этом многие основные геометрические соображения, такие как теоремы о неподвижных точках, понятие индекса векторного поля, были привлечены извне, а некоторые, например, последняя геометрическая теорема Пуанкаре, и, вообще, теория отображений с инвариантной мерой, теория устойчивости, теория бифуркаций и ветвления решений, воникли в прямой связи с теорией динамических систем. [c.137]

Остальные две включеипые в русский перевод статьи Биркгофа связаны с последней геометрической теоремой Пуанкаре. Одна из них содержит подробное доказательство одного существенного для динамических приложений обобщения этой теоремы, применяемого в тексте книги. Другая проливает новый свет на роль этой теоремы в динамике. [c.12]

Таким образом, теорема Биркгофа [1] о неподвижной точке доказана полностью. В найденном Биркгофом доказательстве теоремы Пуанкаре о неподвижной точке используется та же самая основная идея о построении охватываюгцей начало координат замкнутой кривой К, точки которой при отображении 5 " смегцаются только радиально. [c.230]

Отображение кольца в кольцо представляет значительный интерес и довольно часто встречается при исследовании конкретных динамических систем. Изучение ограниченной проблемы трех тел привело А. Пуанкаре к рассмотрению сохраняющего площадь отображения кольца на себя. Он обнаружил, что если при отображении внешний и внутренний контуры вращаются в разных направлениях, то нмезтся неподвижная точка. Это утверждение получило наименование последней геометрической теоремы А. Пуанкаре [431. Ее доказательство было позднее найдено Дж. Биркгофом [191. [c.299]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Книга Дж.Биркгофа Динамические системы наряду со знаменитым сочиисписм Пуанкаре Новые методы небесной механики оказала решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и аналитической динамики. Изданная на русском языке в 1941 ( ) году, она давным давно стала библиографической редкостью. Поэтому мы решили переиздать книгу Биркгофа, добавив две его работы, содержащие доказательство эргодической теоремы. По словам И. Винера (кстати сказать, не любившего Биркгофа по причинам, которые он сам объяснил в своих воспоминаниях) эти работы — поразительное свидетельство пробивной силы Биркгофа. Он занялся эргодической теоремой без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, ои сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега. [c.10]

Основы топологической динамики были заложены Пуанкаре, когда он предложил качественное описание решений дифференциальных уравнений, которые не могут быть решены аналитически. Одним из его ранних достижений была классификация отображений окружности (теорема 11.2.7). М. Морс и Дж. Д. Биркгоф внесли большой вклад в топологическую динамику, пытаясь понять поведение более классических систем (геодезических потоков и гамильтоновых систем). Позднее подход, основанный в большей степени на внутренних свойствах топологической динамики, разрабатывался Г. Хедлундом, Дж. Окстоби и другими. Важная область топологической динамики — теория дистальных расширений X. Фюрстенберга, которая в дальнейшем разрабатывалась Р. Эллисом. [c.21]

Стивен Смейл — математик, который в 1962—1963 гг. продолжил работу, на-итую Пуанкаре и Биркгофом, и доказал теоремы, связывающие отображения типа подковы с гомоклиническими траекториями и хаосом (более подробно о работе Смейла см. в книге Гукенхеймера и Холмса [57]). [c.211]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...