Пуанкаре характеристические показател

Величины щ названы Пуанкаре характеристическими показателями. Они играют важную роль при исследовании устойчивости в механике. [c.28]

Пуанкаре характеристические показатели 168. 171 [c.539]

Числа Xi, Яа,. . ., Пуанкаре называл характеристическими показателями заданной периодической орбиты. [c.465]

Рассмотрим систему уравнений в вариациях Пуанкаре. Пусть имеется некоторое решение этой системы т) ( =1, 2,. .., к) и пусть Ло — наибольший из характеристических показателей функций 1, дг,. .., 11, Цг,. ... т)а. Представим решение в виде [c.600]

Тогда функции Аз(1) и Ва 1) будут иметь только нулевые или отрицательные характеристические показатели и будут либо исчезающими, либо ограниченными. Число Ло называется характеристическим показателем решения уравнений в вариациях Пуанкаре. [c.600]

Характеристические показатели. Теорема Пуанкаре о периодических решениях [c.74]

Свойства критических точек гладких функций характеризуются индексом Морса, а неподвижным точкам отображения Пуанкаре сопоставляют характеристические показатели, от которых зависит динамическая устойчивость траектории. Оставшаяся часть этой главы посвящена описанию связи между этими двумя характеристиками периодической траектории биллиарда. [c.67]

Теорема 3 (Пуанкаре [34]). Предположим, что гамильтонова система с гамильтонианом Н имеет р интегралов Р Н, Рг,..., Рг, независимых в точках траектории периодического решения. Тогда р+ характеристических показателей этого решения обращаются в нуль. Если интегралы Р, коммутируют, то среди показателей по крайней мере 2р равны нулю. [c.229]

Понятие устойчивости можно ввести также и для периодических орбит. По традиции это делается с использованием характеристических показателей Пуанкаре. Для строгого определения и исследования устойчивости периодических орбит необходимо проинтегрировать уравнения в вариациях. Вначале рассмотрим понятие поверхности сечения. [c.168]

Именно это свойство и лежит в основе строгого математического определения устойчивости периодической орбиты. Можно доказать ряд свойств матрицы А (хо, Т). При исследовании устойчивости в ограниченной задаче находятся собственные значения этой матрицы по традиции их совокупность называется следом матрицы. Можно показать, что в ограниченной задаче два собственных значения равны единице, а два других таковы, что их произведение также равно единице [251. Здесь мы ограничимся тем, что приведем соотношение между следом матрицы А (Т), ее собственными значениями и характеристическими показателями Пуанкаре а, —а [c.171]

Этот классический метод бесконечных определителей был математически обоснован в работах Пуанкаре и излагается в большинстве учебников применительно к линейным дифференциальным уравнениям в комплексной области. Возможно, будет достаточно, если мы скажем, что этот метод приводит к удобному способу фактического вычисления характеристических показателей и соответствующих решений вида (lOi) 144. Между тем соображения, приводившиеся в 140—144, гарантировали лишь существование характеристических показателей и соответствующих решений, но не указывали на подходящий метод их вычисления. [c.493]

Укажем, следуя Пуанкаре [146, п. 75], асимптотические фо > мулы для характеристических показателей т-нериодических решений, существование которых гарантирует теорема 5. Папомним (см. п. 1), что характерист ические показатели а связаны с мультипликаторами р соотношением р = ехр(ат). Положим [c.228]

Известно, что динамика гамильтоновых систем (в том числе систем с упругими отражениями) подчиняется вариационным принципам. В связи с этим обстоятельством характеристики периодических траекторий гамильтоновых систем можно разбить на два класса динамические и геометрические. Первые определяются отображением Пуанкаре, соответствующим данному периодическому решению уравнений движения. К ним относятся величины характеристических показателей, свойства невырожденности (по Пуанкаре) и орбитальной устойчивости. Вторые являются характеристиками периодической траектории как критической точки функционала действия. К ним относятся индекс Морса, невырожденность по Морсу, а также введенный ниже определитель Хилла. [c.157]

А.М. Ляпунов доказал, что периодическое решение ф(/), /(/) нели-ейной системы (17.69) устойчиво, если действительные части характе-истических показателей для системы (17.70) отрицательны, и неустой-во, если хотя бы один из них имеет положительную действительную асть. В работах Пуанкаре, однако, было доказано, что система (17.70) епременно имеет один характеристический показатель, равный нулю, и ричиной этому служит автономность исходной нелинейной системы 17.69). Позже А.А. Андронову и А.А. Витту удалось доказать, что перио-ческое решение ф(/), /(/) системы (17.69) устойчиво, если второй, личный от нуля характеристический показатель отрицателен, и неустой- [c.324]

Отметим, что сумма рх р2= Н--1 не зависит от степени квазиоднородности интеграла. Это не случайно показатели Ковалевской для квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых равна /1—1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона. Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми [c.343]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...