Универсальные накрытия и метрика Пуанкаре

Универсальные накрытия и метрика Пуанкаре 25 [c.25]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Пример. Диск с выколотой точкой. Универсальное накрытие над диском с выколотой точкой В 0 может быть отождествлено с левой полуплоскостью w = u + iv, и < 0 посредством экспоненциального отображения w z = е" е 0 , для которого выполняется соотнощение dz/z = dw. Очевидным образом, метрика Пуанкаре dv)/u на левой полуплоскости соответствует метрике dz/r nr на диске с выколотой точкой, здесь г = z и и = Inr. Поэтому окружность z = г имеет длину 2тг/ 1пг , что стремится к нулю при г о, хотя эта окружность удалена в метрике Пуанкаре на бесконечное расстояние от граничной точки z = 0. Пересеченная с В 0 окрестность нуля может быть изометрична вложена в М как поверхность вращения, образующая этой поверхности известна под названием трактриса . [c.33]

В качестве примера, иллюстрирующего эту теорему, рассмотрим отображение /(г) = на диске В, которое, конечно же, не является накрытием или конформным автоморфизмом. Следовательно, оно уменьшает расстояния метрики Пуанкаре на В. С другой стороны, мы можем также рассматривать это отображение /, как отображение диска с выколотой точкой В 0 в себя. В этом случае / является двулистным накрытием, следовательно, в метрике Пуанкаре / является локальной изометрией на В 0 . Действительно, универсальное накрытие над В 0 может быть отождествлено с левой полуплоскостью, отображающейся на В 0 посредством экспоненциального отображения, (ср. 2.8.), и тогда f поднимается до автоморфизма Р гю 2ад этой полуплоскости, который, очевидным образом, сохраняет метрику Пуанкаре. [c.36]

Заметим, что отображение / локально изометрично в метрике Пуанкаре на С К = С Ш). Действительно, универсальное накрытие дополнения С Ш) изоморфно правой полуплоскости w = u+iv и > 0 , и этот изоморфизм устанавливается посредством экспоненциального отображения. Здесь вещественная часть и = Re(u ) соответствует функции Грина G на С К. Отображение f на С К соответствует возведению в п-ю степень на С В, что соответствует изометрии в метрике Пуанкаре w nw на правой полуплоскости. Отметим также, что каждый внещний луч соответствует горизонтальной полупрямой v = = onst. Вдоль каждой такой полупрямой длина дуги в метрике Пуанкаре f dw /и вычисляется как f du/и = J din и. [c.232]

При поднятии в универсальное накрытие 11о поверхности 5 получается бесконечная в обе стороны / -инвариантная геодезическая в метрике Пуанкаре. При проекции в С из нее получается /° -ин-вариантная бесконечная в обе стороны геодезическая р Ш С К в метрике Пуанкаре. Поскольку функция Грина С р 8)) при 8 —> + +00 стремится к бесконечности, эта геодезическая должна оказаться внещним лучом. (Любая геодезическая в метрике Пуанкаре на правой полуплоскости либо горизонтальна и соответствует при этом внешнему лучу, либо имеет ограниченную вещественную часть.) С другой стороны, поскольку координата Кёнигса р(8) стремится к нулю при 8 —оо. [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...