Теорема возвращения (теорема Пуанкаре)

ТЕОРЕМА ВОЗВРАЩЕНИЯ (ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ) 439 [c.439]

Теорема возвращения (теорема Пуанкаре). Рассмотрим автономную систему [c.439]

Теорема 9.5.6. (Теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Г — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область О евклидова пространства в себя ТО = О. Тогда в любой окрестности С1 любой точки из О найдется точка х 1, которая возвращается в окрестность Г2, т.е. Г а 6 П при некотором п > 0. [c.671]

В некоторый момент времени перегородку убрали, и газ начал заполнять весь объем сосуда. Следует ли из теоремы Пуанкаре о возвращении, что найдется такой момент времени, когда все молекулы газа снова соберутся в той части сосуда, где они первоначально находились [c.702]

Начнем с простого случая, когда изображающая точка Р движется по окружности по направлению часовой стрелки с постоянной (единичной) угловой скоростью. 1) Если t изменяется непрерывно и в качестве области а берется дуга с углом раствора Р, то справедливость теоремы Пуанкаре (теоремы возвращения) очевидна. Далее, если х ( ) есть доля интервала времени от О до г, в течение которого изображающая точка находится в области а, то отношение % (Ь)/Ь, очевидно, стремится к пределу р/2я, и этот предел не зависит от положения начальной точки А на окружности. 2) Если мы имеем дискретную последовательность моментов времени г = О, т, 2т,. .. ( 22.7) и обозначим через V (п) число точек А, Ах, А2%, . , лежащих в области а, то отношение v (п)/п прп ->-00 будет стремиться к тому же пределу (3/2л прп условии, что отношение т/2л есть число иррациональное. Действительно, при этом условии точки Л, Ах, А2х, , отстоящие на угловых расстояниях О, т, 2т,. . . от точки А, стремятся к равномерному распределению по окружности. Предел не зависит ни от положения точки А па окружности, ни от величины основного интервала т, если только X не является соизмеримым с 2п. [c.443]

Г. Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть д — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область В евклидова пространства в себя дВ = В. [c.67]

Теорема 4.1.19 (теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Т — сохраняющее меру преобразование пространства Лебега (X, ), и пусть А сХ —измеримое множество. Тогда для любого N eN имеем [c.152]

М и покажем, что сильно неустойчивое многообразие W (p) плотно в М для каждой периодической точки р потока р . Аналогично тому, как это имеет место для диффеоморфизмов, из этого факта следует топологическое перемешивание. Пусть dim M = 2m -1. Контактная форма 9 индуцирует инвариантную гладкую меру, соответствующую элементу объема в так что по теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 NW(ip ) = M. Таким образом, топологическая транзитивность следует из связности и наличия спектрального разложения. Достаточно показать, что множество W (p) плотно в окрестности U точки р, потому что тогда классы эквивалентности, определенные пересечениями многообразий, открыты, так что на самом деле есть только один такой класс и W (p) плотно. [c.577]

Доказательство. Если / обладает инвариантной гладкой мерой А, то теорема Пуанкаре о возвращении 4.1.19 позволяет заключить, что А-почти все точки являются неблуждающими. Так как множество NW(f) замкнуто и мера А положительна на открытых множествах, NW(f) = M. По следствию 18.3.5 это значит, что f—топологическое перемешивание. [c.638]

О-Сг) < ( +х) Ч Х-уУ<2 (О-с.). которые являются следствием интеграла Якоби. Эти неравенства определяют в плоскости У круговое кольцо, площадь которого не превосходит 2я(сг—С1). Из этих замечаний вытекает конечность ц(Л1) и, следовательно, возможность применения теоремы Пуанкаре о возвращении для почти всех р М полутраектория (р) пересекается с любой окрестностью точки р при сколь угодно больших значениях Такие движения названы Пуанкаре устойчивыми по Пуассону. [c.89]

Это и есть теорема Пуанкаре о возвращении [1, 2]. Для случая, когда Ш само измеримо, эту теорему можно сформулировать по-другому. В т-мерном ж-пространстве можно задать счетный базис i, 21 открытых множеств, например, рассмотреть все шары с рациональными координатами центров и рациональными радиусами. Тогда пересечения 9Л П Сг = 2lj, (г = 1, 2,. ..) также измеримы. Применим теорему [c.359]

Теорема возвращения Пуанкаре не вытекает, очевидно, из формулировки эргодической теоремы. Однако она является качественным следствием некоторого количественного результата (см. 124), который в соединении с эргодической теоремой позволяет уточнить последнюю. [c.114]

Теорема 2.1 (теорема Пуанкаре о возвращении, см. [24]). Пусть (Л1, Ж, ji)—пространство с мерой, Т . М М — его эндоморфизм. Тогда для любого С Ж, fi( )>0, почти каж- [c.16]

Производные и интегральные автоморфизмы. Пусть Г — автоморфизм пространства (М, Ж, х) и Е Ж, ц( )>0. Превратим Е в пространство с нормированной мерой, положив М -(Л) = л(Л Г )-1М ( )]" А Ж. На Е зададим функцию я(л )=тш л> 1 Г л б , которая называется временем возвращения в Е. Из теоремы Пуанкаре о возвращении следует, что кв определена почти всюду. Для эргодических автоморфизмов [c.32]

ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ О ВОЗВРАЩЕНИИ [c.164]

Множество А,Г А имеет положительный объем и обязательно пересекается с некоторым множеством А,. Обобщая доказательство теоремы, можно сделать вывод, что существует траектория, двукратно возвращающаяся в е-окрестность начальной точки. Дальнейшее обобщение приводит к выводу о существовании траекторий, возвращающихся произвольное число раз в е-окрестность своих начальных условий. Это свойство справедливо для достаточно малой окрестности любой точки области Другими словами, теорема Пуанкаре о возвращении утверждает, что в области имеется всюду плотное множество траекторий, возвращающихся в любую сколь угодно малую окрестность своего начального состояния. Среди этих траекторий находится важный класс движений — периодические движения, когда начальное состояние повторяется в точности. Однако теорема Пуанкаре не исключает возможности существования асимптотических движений, когда траектория навечно покидает окрестность своего начального состояния. [c.165]

Пример 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна дН1д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области О, выделяемой неравенством [c.671]

Эргодические теоремы. Теорема Пуанкаре (теорема возвращения) устанавливает существование таких движений, когда жзобрансающая точка бесконечное число раз возвращается в исходную область а. Более глубокие свойства этих движений связаны с выяснением следующего вопроса какую долю времени своего движения изображающая точка находится в области а Аналогичный вопрос возникает и тогда, когда мы имеем дело с дискретными моментами их. Именно, спрашивается, какая часть этих моментов характеризуется попаданием изображающей точки в область а ) Ответ на эти и аналогичные вопросы дается так иаъыъашыши.эргодическимитеоремами ). [c.441]

Тот факт, что система в действительности всегда не изолирована, надо помнить также в связи с другим парадоксальным возражением против любой механической интерпретации второго закона термодинамики это возражение тоньше довода, основанного на обращении скоростей молекул. Возражение основано на теореме Пуанкаре, в которой утверждается, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, за достаточно большой промежуток времени возвратится как угодно близко к начальному сострянию при почти всех начальных условиях. Из этой теоремы следует, что спустя время возвращения положения и скорости молекул могут стать столь близки к начальным, что макроскопические величины (плотность, температура и т. д.), подсчитанные по ним, должны быть практически теми же, что и в начальном состоянии. Следовательно, энтропия, которую можно подсчитать по макроскопическим величинам, также должна быть практически той же, и если она вначале возрастает, то должна уменьшаться в какой-то более поздний момент. На это возражение обычно отвечают, что время возвращения столь велико, что в сущности никогда не наблюдались значительные части цикла возвращения действительно, время возвращения для обычного количества газа будет огромным, даже если за единицу измерения времени принять примерный возрасг Вселенной. Не говоря уже о применимости принятой модели классических точечных молекул, ясно, что при таком огромном. [c.73]

Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии Ж р, q) = Е, р, q) е q = до = onst (в нашем случае р, q) = = L,G,l,g),до = до)- Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. [c.56]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

Доказательство следствия. Рассмотрим отображение / вида f(x, у) = х- -а, y- -tp(x)), где tp — функция, построенная в предложении 12.6.3. По предложению 4.2.5 для отображения / имеется несчетное множество различных эргодических инвариантных мер в частности, у этого отображения есть неэргодические инвариантные меры. Если бы / не было минимальным, по предложению 4.2.6 мы имели бы tp(x) = lj(x- -a)— lj(x)- -r для некоторой непрерывной функции ф 5 -+R и reQ. Но тогда для F = rjj —Ф имело бы место равенство F(x- -a)-F(x) — r, причем г О, поскольку иначе F = onst из эргодичности R , что невозможно, так как функция Ф разрывна. Таким образом, мы можем предполагать, что г > О (сл ай г <0 рассматривается аналогично). Тогда i (x+ а) = F(x) - -г > F x) для всех xeS. Но существует множество А =F (—tx, с) положительной меры, что противоречит теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19. [c.422]

Предположим, что имеются две инвариантные окружности с числом вращения а. Их пересечение инвариантно, так что если по крайней мере одна из них транзитивна, то они не пересекаются, что невозможно в силу только что доказанной леммы. В противном случае их пересечение содержит общее множество Обри — Мазера А и эти две окружности задают графики двух различных функций и (р2, которые совпадают на проекции А. Графики функций тах(1р,, 1Р2) и т п(1р,, 1 2) инвариантны, и, следовательно, область между этими графиками тоже инвариантна. Но последняя область должна иметь бесконечно большое количество компонент связности, так как она проектируется в невозвращающиеся интервалы дополнения к проекции множества Обри — Мазера. Таким образом, мы получаем открытый диск с попарно непересекающимися образами, что невозможно в силу сохранения площади (ср. с теоремой Пуанкаре о возвращении 4.1.19). Мы используем здесь иррациональность числа вращения, иначе могло бы существовать конечное число компонент, переставляемых /. [c.431]

Доказательство. По теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 множество точек, которые возвращаются на Д, имеет полную меру Лебега и, следовательно, плотно. Предположим, что точка х е Д такова, что у /д(х) = J (x) е 1п1(Д) и / (х), 0 1 < к, — точки непрерывности I. Тогда J является локальной изометрией в окрестности х и, следовательно, отображает окрестность х на окрестность у в Д. С другой стороны, min с11з1(/ (х), Д) = е > О, так что = в окрестности х. Таким обра-iit[c.475]

IV. Пусть / . X X —сохран5пощее меру преобразование пространства Лебега X, д). По теореме Пуанкаре о возвращении 4.. 19 для любого измеримого подмножества УаХ, 11 )>0, существует преобразование /у.У- то(10, определенное следующим образом пусть для хеУ [c.661]

Теперь выберем множество В сВ х , a/4)nAj, диаметр которого меньше чем , имеющее положительную меру. По теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 для почти всех хеВ существует такое положительное целое число п(х), что е и, следовательно, d(x, >(х)) < . Применяя лемму о замыкании, мы получаем, что существует такая гиперболическая периодическая точка z периода п(х), что d x, z) < 3a/(12Ai))Aj = а/4, и ясно, что z) < d x , а) + d x, z) < а/2. [c.686]

Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть ц(Л1)<оо. Тогда для лю( го измеримого множества положительной меры существует равное ему по мере множество W zV такое, что для всех p W пересечение Гр состоит из бесконечного множества точек. [c.89]

Первое представление о траекториях групп преобразований с инвариантной мерой дает теорема Пуанкаре (Н. Poin are) о возвращении. [c.16]

С теоремой Пуанкаре о возвращении связан так называемый парадокс Цермело в статистической механике. Рассмотрим замкнутый ящик и поместим в нем N молекул, которые будут двигаться под действием сил взаимодействия и упруго отражаться от стенок. Уравнения движения этой системы образуют гамильтонову систему, и поэтому однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий сохраняет меру Лиувилля. Многообразия постоянной энергии здесь компактны, и мера Лиувилля порождает конечные инвариантные меры на многообразиях постоянной энергии. Тем самым мы находимся в условиях применимости теоремы Пуанкаре о возвращении. Допустим теперь, что множество С состоит из таких точек фазового пространства, что все молекулы находятся в одной половине ящика. По теореме Пуанкаре о возвращении должны найтись такие моменты времени, что все молекулы вновь соберутся в этой половине ящика. Парадокс заключается в том, что никто еще не наблюдал, чтобы газ занимал не весь предоставленный ему объем. [c.17]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА о возвращении — одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы С инвариантной мерой. Примером такой системы является гамильтонова система, эволюция к-рой описывается решениями Гамильтона уравнений — дЩдр , Р = — дЯ дд [< / и — канович. координаты и импульсы г =1,. .., п Н = Н[р, ) — Гамильтона функция, точкой обозначено дифференцирование по времени ]. Инвариантной (сохраняющейся [c.174]

Статистич. закономерности в поведении ДС проявляются при их наблюдении на больших интервалах времени. Уже одно наличие инвариантной меры ц служит причиной нек-рых из этих закономерностей. Так, траектории ц-почти всех точек произвольного измеримого множества возвращаются в это множество при как угодно больших значениях t Пуанкаре теорема). Разные точки могут возвращаться а разные моменты времени, а ср. время до первого возвращения в множество А обратно пропорционально i A) и, следовательно, очень велико для множеств малой меры. Этот факт придаёт строгость объяснению известного парадокса Э. Цермсло, данному Больцманом в кон. [c.628]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...