Приложения геометрической теоремы Пуанкаре

Приложения геометрической теоремы Пуанкаре [c.157]

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ, ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ [c.384]

Соответствующее преобразование Г. Мы намерены теперь определить преобразование кольца Г, связанное с проблемой бильярдного шара, и показать, как геометрическая теорема Пуанкаре в своей первоначальной форме приводит к выведенным в предыдущем параграфе заключениям. Приведение задачи к вопросу о преобразованиях кольца имеет большое значение, даже не принимая во внимание его связь с вопросом о периодических движениях. Нужно отметить также, что в наиболее интересных случаях, как, например, ограниченная задача трех тел, метод приведения к преобразованиям кольца и применения геометрической теоремы Пуанкаре вполне приложим к изучению периодических движений, в то время как метод максимума и минимума до сих пор не мог быть приложен к этим задачам. [c.177]

Это замечание показывает, что в случае преобразования, рассматриваемого Пуанкаре в его последней геометрической теореме, свойство сохранять площади действительно является характерным для этого преобразования. Оно показывает также, как динамическая задача может приводить скорее к рассмотрению преобразования вблизи инвариантной точки или вблизи замкнутой инвариантной кривой, в которую такая точка может быть растянута, чем к преобразованию, определенному во всем кольце, как требуется в теореме Пуанкаре. По этой именно причине я видоизменил теорему Пуанкаре, распространив ее на преобразования этого более общего типа, которые представляются более пригодными для многих динамических прило кений. Действительно, более подробное рассмотрение этих приложений показывает, что для многих целей видоизмененная теорема Пуанкаре достаточна, если только аналитические детали исследованы . [c.309]

ГлАБА (). Приложения геометрической теоремы Пуанкаре 1о7 [c.7]

Остальные две включеипые в русский перевод статьи Биркгофа связаны с последней геометрической теоремой Пуанкаре. Одна из них содержит подробное доказательство одного существенного для динамических приложений обобщения этой теоремы, применяемого в тексте книги. Другая проливает новый свет на роль этой теоремы в динамике. [c.12]

Остающийся открытым вопрос о возможности п-мерного обобщения последней геометрической теоремы Пуанкаре мы сейчас вкратце обсудим. Исследование аналитических свойств движений вблизи данного устойчивого периодического движения динамической системы с п степенями свободы и свойств соответствующего преобразования Г, порождаемого этой системой, по-видимому, указывает на существование бесконечного множества близких периодических движений. Теорема Пуанкаре оказывается лишь качественным выражением существенных элементов аналитического положения вещей нри п = 2 и, в действительности, частный случай, рассмотренный Пуанкаре, достаточен тогда для динамических приложений . Чтобы придти к надлежащему п-мерному обобщению теоремы, необходимо определить качественно существенные элементы п-мерпой аналитической проблемы. Это, вероятно, может быть сделано простым путем. [c.291]

Приложения теоремы Пуанкаре к проблеме бильярдного шара. Как было у ке указано, нет точки кольца, не лежащей на его границе, которая была бы инвариантна относительно преобразования Т. С другой стороны, рассмотрим преобразование и присоединим к нему вращение плоскости д, ip около начала, координат на угол —2тг, которое мы обозначим через В.-х- Преобразование оставляет инвариантным интеграл JJ sin i9d dip и передвигает точки внешней окружности на угол 2тг, а точки внутренней окружности на угол —2тг, следовательно, в противоположном направлении. Таким образом, преобразование удовлетворяет всем условиям, необходимым для примспспия гсомстричсской теоремы Пуанкаре. Следовательно, сложное преобразование T" R-i имеет по крайней мере две инвариантные точки. Но это значит, что имеет две геометрически различные инвариантные точки с индексами разных знаков , хотя для обеих этих точек ip увеличивается на величину 2тг. [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...