Преобразование Пуанкаре

Обратное преобразование (Пуанкаре) [c.326]

Существуют ли и другие инварианты при канонических преобразованиях Пуанкаре указал на ряд интегральных инвариантов. Можно показать, что интеграл [c.846]

Инвариантность законов физики относительно преобразований Пуанкаре означает, что если возможна последовательность событий Е 1 х ), [c.495]

Подвергнем теперь преобразованию Пуанкаре саму систему Ь, к-рая перейдёт в систему с такими же, как в Ь, часами и масштабами. Т. к. измерение есть нек-рое событие, соответствующее фиксации совпадений отсчёта часов и делений на линейках с нек-рым событием в то условие сохранения совпадений означает, что [c.495]

Если рассматриваются преобразования Пуанкаре, при к-рых любое событие А с координатами х, у, х, t переходит в событие В с координатами а , у, г, I, то такие преобразования паз. активными. [c.495]

Собств. преобразования Пуанкаре определяются как линейные преобразования вида [c.495]

Замечание 4. Преобразование Бендиксона, как и рассматриваемое в следующем пункте преобразование Пуанкаре, целесообразно применять лишь в тех сл аях, когда система (1) является алгебраической (функции Р vlQ — многочлены). Для системы (Б), к которой это преобразование приводит, точка (О, 0) может быть неособой точкой. Так как, однако, каждая траектория системы (I), уходящая при оо или [c.241]

Преобразования (5) и (6) называются преобразованиями Пуанкаре . Применяя преобразование (5) к системе (I), мы пол им систему [c.243]

Применяем преобразование Пуанкаре [c.246]

Рассмотрим поведение траекторий системы в бесконечности. С помощью преобразования Пуанкаре У = , и умножения полученных уравнений на 2 получим йх [c.501]

Значит, 2=0, т = То — устойчивый узел. Можно показать, что система, получаемая с помощью преобразования Пуанкаре х = у = [c.502]

Рассмотрим поведение траекторий в бесконечности. В результате преобразования Пуанкаре х = -, г/ = - и последую- [c.504]

Рассмотрим поведение траекторий в бесконечности. С помощью преобразования Пуанкаре х = -, у = - ж последующего умножения правых [c.505]

Отсюда получается при 2 = 0 одно состояние равновесия 2 = т = 0. Как было показано выше (см. пример 4 22), это — сложное состояние равновесия с замкнутой узловой областью. Можно показать, что в полуплоскости 2 > О к состоянию равновесия 2 = т = О не стремится ни одна траектория. С помощью другого преобразования Пуанкаре х = , у = получим [c.507]

Исследуем бесконечность для системы (А). Сделаем преобразование Пуанкаре ж = —, у = После умножения полученных уравнений на 2 система примет в1щ [c.514]

Аффинные преобразования н-)- = aix " + 6 , где ai) из группы Лоренца, называются преобразованиями Пуанкаре. [c.22]

Заметим, что, вообще говоря, и преобразование Бендиксона и приводящее к более простым выкладкам преобразование Пуанкаре целесообразно использовать лишь в тех случаях, когда Р(х,у) и (л , з ) — многочлены по X, у. [c.366]

После преобразования Пуанкаре (5.75) имеем [c.369]

Преобразования Пуанкаре оставляют инвариантной величину, наз. интервалом между событиями [c.510]

I, Сепаратрисы седел (1.51) разбивают все фазовое пространство системы на отдельные ячейки. Сепаратрисы, выходящие из седла, могут оканчиваться а) в узле или фокусе б) в другом седле или в том же седле — это негрубыс случаи в) уходить на бесконечность (в случае систем второго порядка поведение траекторий па бесконечности может быть изучено с помощью преобразования Пуанкаре), (Андронов и др., 1959, 1966) г) наматываться на предельный цикл. [c.38]

Принципы И. делятся на два осн. класса. И. первого класса, наиб, фундаментальная, характеризует геом. структуру пространства-времепи. Однородность и изотропность нространства и однородность времени приводят к И. физ. законов относительно группы сдвигов координат и времени и пространств, вращений. Для изолиров. системы отсюда следует сохранение импульса, энергии и момента импульса. Эта И. является составной частью относительности принципа, содержащего дополнительно утверждение об И. относительно выбора инерц. системы отсчёта. В нерелятивистской теории полной группой И. является группа Галилея (см. Галилея принцип относительности), а релятивистская И.— это И. относительно преобразований Пуанкаре группы. И. первого класса универсальна и отиосится ко всем типам взаимодействий, к классич. и квантовой теории. В квантовой теории поля столь же универсальна СРТ-Ж. (см. Теорема СРТ), следующая из релятивистской инвариантности и причинности принципа. [c.137]

Из физ. представлений об однородности и изотропии пространства-времени следует, что для любой замкнутой системы действие должно быть инвариантно относительно преобразований Пуанкаре группы, что в силу Н. т. приводит к существованию Юфундамента-л ь н ы X сохраняющихся величин энергии, трёх компонент импульса и б компонент 4-момента. Сохранение энергии и импульса следует из инвариантности относительно трансляций бл a . При этом Л = [I, [c.341]

Преобразования Пуанкаре (Р) образуют группу. Как известно, условия того, что нек-рая совокупность элементов образует группу, следующие, а) Для любых двух элементов н определено произведение РхР . В случае преобразований Пуанкаре (активных) произведение онределяется как результат последоват. выполнения преобразования Рз и затеи Р . Из условия беИВ = 1 следует разрешимость (3) относительно х . б) Операция умножения ассоциативна РУР РУ) = [c.495]

Р1Рг)Рз. Для преобразований Пуанкаре ассоциативность очевидна, т. к. если Рц переводит объект А в В, [c.495]

Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были высказаны А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе на сессии отделения физико-математических наук АН СССР Теория точечных преобразований Пуанкаре— Брауера—Биркгофа и теория нелинейных колебаний . [c.94]

Первые конкретные результаты, полученные в этом направлении, были включены в известную монографию А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина по теории колебаний (1937). Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний были изложены А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе Теория точечных преобразований Пуанкаре — Брауера — Биркгофа и теория нелинейных колебаний , прочитанном на сессии Отделения физико-математических наук АН СССР. [c.138]

При 2 = 0 эта система имеет два состояния равновесия 1) Т1 = О, 2 = О, 2) Тг = — а, 2 = 0. Полностью аналогично рассмотрению, проведенному в примере 7, можно показать, что состояние равновесия т = 2 = О — седло-уэел, причем узловая область лежит в области 2 >0, седловые — в области 2 < О, а полуоси оси 2 = 0 — сепаратрисы. Состояние равновесия 2 = 0, т = —а—устойчивый узел. С помощью преобразования Пуанкаре [c.505]

Метод преобразования Пуанкаре. Р1ногда динамической проблеме может быть придана другая, совершенно новая форма. Решения п дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями, не зависящими от t. можно изобразить в виде постоянного и-мерного потока жидкости таким образом, что координатами движущейся точки жидкости будут являться зависимые переменные. Предположим теперь, что в этом многообразии состояний движения может быть построена замкнутая (п —1)-мериая аналитическая поверхность S такая, что каждая линия потока пересекает S по крайней мере один раз в течение любого проме кутка времени г и притом каждый раз в одном направлении. Тогда такую поверхность S можно назвать секущей поверхностью ( surfa e of se tion ). Если из точки Р, лежащей в S, мы будем двигаться по линии потока, проходящей через Р в направлении увеличивающегося времени, то мы пересечем S снова в некоторой точке Рх. Таким образом, определяется одно-однозначное аналитическое преобразование секущей поверхности S в себя, а именно, преобразование Т, переводящее каждую точку Р в соответственную точку Pi. [c.151]

Впервые преобразования (2.24) и (2.24 ) вывел Лоренц, они получили (по предложению Пуанкаре [198]. — Прим. ред.) название преобразований Лоренца. Однако вывод этих преобразований из принципа относительности принадлежит Эйнштейну [75]. Ввиду специального выбора декартовых осей (см. рис. 8) мы говорим о специальных преобразованиях Лоренца. При таких преобразованиях величина 5 , определяемая из (2.13), инвариантна. Устремляя с к оо, получаем преобразования Галилея (1.2). (Лореицевы вращения вместе со сдвьталш Вигнер назвал преобразованиями Пуанкаре. —Прим. ред.) [c.35]

При обоих преобразованиях Пуанкаре мы имели Л = = Z dt, т.е. в данной задаче т = Я = - нечетное число. Поэтому в окрестностях точек С кВ ъ кругб К направление движения изображающих точек следует сменить на противоположное. В итоге получим расположение траекторий вблизи 01фужности Г (вблизи экватора), изображенное на рис. 2.31. Наличие устойчивых положений равновесия [c.73]

С ,. . . Справедливость симметрий 1—4 означает, что наряду с последовательностью (С) законы природы допускают существование бесконечного числа др. последовательностей (С), к-рые получаются из С) соответствующим преобразованием и различаются положением событий в пр-ве и времени, но имеют одинаковую с (С) внутр. структуру. Напр., в случае симметрии 4 можно наглядно описать процесс (С) как происходящий в стоящем на земле самолёте, а процесс С) как такой же процесс, происходящий в самолёте, летящем с пост, скоростью (относительно земли) разл. скоростям и направлениям движения соответствуют разл. последовательности (С). Преобразования, переводящие одну последовательность событий в другую, наз. активными (в отличие от пассивных преобразований, к-рые связывают координаты одного и того же события в двух системах координат см. ниже). Совокупность всех возможных преобразований (1—4) с матем. точки зрения должны составлять группу она наз. группой Пуанкаре. Преобразования группы Пуанкаре носят универс. хар-р они действуют одинаково на события любого типа. Это позволяет считать, что они описывают св-ва пространства-времени, а не св-ва конкретных процессов. Преобразования Пуанкаре могут быть описаны разл. способами (так же, как можно описывать разл. способами движения в трёхмерном пр-ве) наиб, простое описание получается при использовании инерциалъных систем отсчёта (и. с. о.) и связанных с ними часов. Роль и. с. о. в О. т. такая же, как роль прямоугольных декартовых координат в геометрии Евклида. [c.508]

С матем. точки зрения частная О. т. есть геометрия пространства-времени Минковского. (Если вместо ж ввести мнимую координату a =ix i t, то произвольное преобразование Пуанкаре можно записать в виде, полностью аналогичном ф-ле, описывающей вращения и сдвиги в трёхмерном пр-ве.) Вследствие того, что квадраты разностей временных и пространств, координат входят в (6) с разными знаками, знак может быть различным, геометрия такого пр-ва отличается от евклидовой и наз. псевдоевк-л и д о в о й. [c.510]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...