Пуанкаре — Хопфа теорема

Замечание. При отсутствии центров можно получить оценки нак- -1. Простейшая оценка получается в результате подсчета числа входящих сепаратрис, использующего формулу Пуанкаре — Хопфа (теорема об индексе 8.6.6) более тонкая оценка состоит в том, что f -Ь 2 не превосходит рода М. [c.483]

V с конечным числом неподвижных точек. Тогда формула индекса Пуанкаре — Хопфа (теорема 8.6.6) утверждает, что сумма индексов неподвижных точек v равна х- Наконец, пусть [c.713]

Замечание. Заметим, что если А =М, то М компактно и поток не имеет неподвижных точек, так что согласно классификации компактных поверхностей и теореме Пуанкаре — Хопфа 8.6.6 М является либо тором, либо бутылкой Клейна. Упражнение 14.2.3 исключает последнюю возможность, и, таким образом, М = Т . [c.463]

Теорема 8.6.6 (теорема Хопфа — Пуанкаре об индексе). Для гладкого потока <р М— М с изолированными неподвижными точками имеет место следуюи ее равенство [c.335]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое известно сейчас как эргодическая теория . Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э.Хопфу и П.Р. Халмошу, да и то в тридцатых годах нашего столетия. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай изучался Ада-маром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны. Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, принадлежит также к этому классу, что доказывает эргодическую гипотезу . [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...