Элементы Пуанкаре

Две системы канонических элементов Пуанкаре. Для многих приложений (например, связанных с исследованием движения планет) целесообразно иметь канонически сопряженные переменные, среди которых есть такие, которые малы для малых значений эксцентриситетов и наклонений орбит. Пуанкаре ввел две системы таких переменных. Их называют элементами Пуанкаре. [c.387]

Первая система элементов Пуанкаре Л, Г, Z, Л, 7, 2 связана с элементами Делонэ при помощи унивалентного канонического преобразования вида [c.387]

Во второй системе элементов Пуанкаре величины Л, Л — те же канонически сопряженные переменные, что и в первой системе, а остальные четыре элемента определяются формулами ( , р — импульсы, q [c.387]

И для первой, и для второй систем канонических элементов Пуанкаре функция Гамильтона задачи двух тел имеет вид [c.387]

Рассмотрим, наконец, формулы (4.6.2) и (4.6.3). При е = О элементы С , С -, С , с , с , Сд образуют первую систему канонических элементов Пуанкаре, а элементы и представляют собой вторую систему канонических элементов Пуанкаре. [c.144]

Эти новые элементы, образующие первую систему канониче-] I ских элементов Пуанкаре, определяются соотношениями [c.694]

При помощи формул (13.57 ) мы выразим без труда элементы Пуанкаре через обычные кеплеровские элементы эллиптического движения формулами [c.695]

Наконец, рассмотрим еще одну систему канонических элементов, также введенную в курсе Пуанкаре и называемую второй канонической системой Пуанкаре. Эти элементы Пуанкаре обозначаются буквами [c.695]

При помощи формул (13.59") и формул преобразования (13.60 ) мы легко получим следующие соотношения между элементами Пуанкаре и кеплеровскими элементами эллиптического движения [c.696]

Элементы Пуанкаре (13.60) оказываются наиболее удобными из всех возможных систем канонических элементов (которых можно придумать, конечно, еще сколько угодно) для всех тех задач, в которых оскулирующие эксцентриситет и наклонность сохраняют всегда, или по крайней мере длительное время, весьма малые значения. Такими задачами являются почти все задачи классической небесной механики, т. е. задачи о движении больших планет солнечной системы, многих малых планет, [c.696]

Для приближенного интегрирования уравнений возмущенного движения в элементах Делонэ или в элементах Пуанкаре нужно прежде всего выразить характеристическую функцию Р через время и сами элементы, что можно сделать, как мы уже знаем, только при помощи разложений характеристической функции в бесконечный ряд. [c.697]

Так как характеристическая функция Р состоит из двух слагаемых, второе из которых есть возмущающая функция Я, задаваемая как функция от координат х, у, г, то прежде всего нужно выразить эти координаты через переменные Делонэ или элементы Пуанкаре. [c.697]

Рассмотрим сначала некоторые зависимости между элементами Пуанкаре и привычными кеплеровскими элементами эллиптического движения. [c.697]

Тогда правые части уравнений (13.96) сделаются известными постоянными, численно равными начальным значениям производных от элементов Пуанкаре по времени, т. е. скоростям изменений этих элементов в момент /о- Полагая поэтому [c.717]

Тогда правые части уравнений (13.96) сделаются, очевидно, бесконечными рядами, расположенными по целым возрастающим степеням — (о, коэффициенты которых будут некоторыми постоянными, которые нетрудно вычислить. Интегрируя полученные равенства, мы получим второе приближение, п котором элементы Пуанкаре представятся бесконечными рядами, рас -положенными по степеням t — /о- [c.718]

Следуя Лагранжу, назовем функцин, удовлетворяющие этим уравнениям, вековыми возмущениями элементов Пуанкаре r]s, Ps, Qs, и поставим своей задачей приближенное определение этих функций по способу Ляпунова — Пуанкаре. [c.720]

Две системы канонических элементов Пуанкаре [c.340]

Первая система канонических элементов Пуанкаре-. 1 л/ 1а, X = l- -n = nt- -z, [c.340]

Замечание 1. Канонические элементы Пуанкаре могут применяться только для описания движений эллиптического типа. [c.341]

В заключение укажем на связь между переменными Лагранжа Л, к, р, д и каноническими элементами Пуанкаре (4.3.23) и (4.3.25). С точностью до первых степеней эксцентриситета е [c.344]

В случае малых эксцентриситетов или малых наклонов, вместо элементов Делонэ, следует пользоваться каноническими элементами Пуанкаре. Первая система элементов Пуанкаре определяется формулами [c.564]

Дифференциальные уравнения для элементов Пуанкаре даны в 3.08 ч. IV. [c.564]

Обобщение теоремы Пуанкаре о ранге для переменных, являющихся ограниченными по времени и аналитическими функциями первой системы канонических элементов Пуанкаре, дано в [142]. [c.825]

Исследуем более подробно зависимость между приведенными выше элементами Пуанкаре и эллиптическими элементами. Из (13) следует, что [c.234]

Выполняя эти подстановки, находим, что получаются только Следующие две комбинации, а именно, либо os (г — 1) л, либо y 7 sin(i — 1) л, которые можно представить согласно (6) в виде степенных рядов относительно г и s. Это доказывает, что координаты можно разложить в ряды по степеням величин и, V, г, S, а следовательно, также по степеням элементов Пуанкаре [c.239]

Здесь элементам Пуанкаре, которые мы применим при исследовании вековых возмущений малых планет, мы придадим несколько другое значение, отбросив множитель р, пропорциональный исчезающе малой массе планеты. Итак, положим [c.322]

Канонические элементы a , и аналогичны каноническим элементам Якоби в кеплеровом движении. Известно, что элементы Якоби не являются удобными переменными при решении уравнений возмущенного движения. Их недостаток заключается в том, что в правых частях дифференциальных уравнений появляются смешанные члены, т. е. члены вида t sin yt, где у — постоянная ). По аналогичным причинам элементы и р необходимо заменить другими, более удобными каноническими элементами. В теории кеплерова движения такими элементами служат элементы Делоне и элементы Пуанкаре. Здесь мы введем аналогичные системы элементов. Заметим, однако, что в данном случае задача существенно осложняется тем обстоятельством, что рассматриваемая промежуточная орбита характеризуется тремя частотами, [c.111]

Будем рассматривать, как основные переменные, элементы Пуанкаре (13.60) и предположим для простоты, что возмущающая функция / не зависит от времени. Тогда, если движение рассматриваемой точки принадлежит к эллиптическому типу, то Я, как это уже неоднократно отмечалось, будет периодической функцией от средней аномалии I, или от средней долготы X, 1 может быть разложена в ряд Фурье, расположенный по синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии. Коэффициенты этого разложения будут некоторыми функциями от остальных элементов Пуанкаре, т. е. от Л, эксцентрических элементов т] и облических элементов р, д. Мы покажем те перь, что эти коэффициенты разложимы по целым, положительным степеням величин [c.697]

Перейдем теперь к рассмотрению разложения характеристической функции канонических дифференциальных уравнений возмущенного движения. Так как наиболее удобными канони ческими элементами являются величины (13.87)—вторая си стема канонических элементов Пуанкаре, — то рассмотри функцию Р, входящую в уравнения (13.87 ). [c.710]

Замечание 3. Элементы ь тц имеют величину порядка оскулирующего эксцентриситета (для малых эксцентриситетов), а переменные 112 — величину порядка наклона оскулирующей орбиты (для малых наклонов), поэтому вторая система канонических элементов Пуанкаре удобна для получения явного разложения возмущающей функции в задачах астрономии. [c.341]

Наряду с каноническими элементами Якоби и Делоне в задачах небесной механики (при малых эксцентриситетах и наклонах) применяются канонические элементы Пуанкаре. [c.353]

В заключение укажем, что и в случае многих материальнык точек связь между каноническими элементами Пуанкаре (4.4.16) и (4.4.17) и переменными Лагранжа Аа, р , Чв выражается приближенными равенствами (4.3.32). [c.358]

Обычно система 2) называется системой элементов Делоне. Системы 3) и 4), как правило, называют первой и второй системой канонических элементов Пуанкаре. (Прим. перев.) [c.72]

Если подставить в (6) элементы Пуанкаре ii, р и т. д. и рассмотреть систему пз п илаиет ( -f- 1 тел), то дифференциальные уравнения для вековых возмущений будут следующими [c.269]

Пусть в случае п планет имеем массы тп , т , . . , тПп, причем используется якобиева система координат ( 4 гл. V). Пусть соответствующие элементы Пуанкаре ( 1 гл. VI) суть i, tii и т. д. (i = 1, 2,. .., п). Введем теперь обозначения [c.272]

Пример 13. (Теорема Лагранжа —Лапласа об устойчивости Солнечной системы). Рассмотрим задачу п тел в предположении, что масса одного тела (Солнца) много больше масс остальных тел (планет). Невозмущенной будем называть систему, в которой планеты не взаимодействуют друг с другом, а Солнце неподвижно. Невозмущенная система распадается иа п—1 задач Кеплера. Предположим, что невозмущеиные орбиты планет —кеплеровские эллипсы, и введем для описания каждого из них канонические элементы Пуанкаре [24]. В ре- [c.185]

Это канонические переменные, в которых задача регулярна прн малых эксцентриситетах и наклонениях. Элементы Пуанкаре Л, , р, X, Т1, q связаны с элементами Делоне L, G, 0, I, g, соотношениями [c.185]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

Анализ выпучивания и устойчивости идеальных упругих и неупругих систем не является общим при решении вопроса об устойчивости конструкций и их элементов, поскольку последние обладают различного рода несовершенствами. Неустойчивость реальных конструкций и их элементов с несовершенствами наступает в предельных точках или точках бифуркации Пуанкаре точно так же, как и для идеальных систем с устойчивым послебифуркационным поведением, В связи с этим все начальные несовершенства формы и приложения нагрузок принимаются за возмущающие факторы с наложенными на них ограничениями, и об устойчивости исходного процесса нагружения идеальной системы судят по пребыванию системы с возмущенной формой в окрестности основного процесса. Следовательно, на процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами, так же как на послебифуркационный процесс выпучивания идеальной системы, следует смотреть как на возмущенный процесс, с помощью которого исследуются устойчивость конструкции, которую стремятся всегда создавать как совершенную. Этот докритический процесс завершается потерей устойчивости в предельной точке (точке бифуркации Пуанкаре) и послекритиче-ским выпучиванием. [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...