Переменные Пуанкаре

В дальнейшем мы будем пользоваться каноническими переменными Пуанкаре [4]. L = ту/Мл/а, а — большая полуось, т — масса пла- [c.368]

Эти переменные известны как переменные Пуанкаре. [c.462]

Таким образом, полная система переменных Пуанкаре будет такова [c.231]

Если возмущающую функцию разложить в ряд по переменным Пуанкаре, то она примет вид ) [c.231]

Пример 9.5.2. В интеграле Пуанкаре-Картана функция Гамильтона Н входит на правах импульса. Введем новую переменную Рп+1 = —Я. Тогда можно выразить, например, р1 как функцию остальных переменных [c.667]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Так как преобразование фазовых переменных не вырождено, мы можем в правой и левой части заменить р,-, д,- их выражениями через, т) . Поэтому в новых переменных справедлив интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Осталось воспользоваться теоремой 9.5.4. [c.681]

Предположим сначала, соответственно теории А. Пуанкаре, что Ы = 0. Затем проинтегрируем правую и левую части равенства (б ) по замкнутому контуру в области шо, которой принадлежит многообразие изображающих точек с координатами и где и — начальные значения канонических переменных. [c.383]

Таким образом, и в новых переменных интеграл / имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, но только теперь роль времени играет переменная q , а вместо прежней энергии Н стоит импульс pi, взятый с противоположным знаком, т. е. К-Поэтому, согласно доказанному ранее, в новых переменных движение системы должно описываться следующей гамильтоновой [c.120]

Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины и pj (/ = 2, я), а переменная играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см. 18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка 2я — 2 [c.128]

Таким образом (замечание Пуанкаре), в задаче п- - тел за сопряженные переменные можно принять, наряду с относительными координатами и тел по отношению к центральному телу и проекциями соответствующих количеств движения, абсолютные координаты центрального тела и проекции количества движения центра инерции. [c.316]

Благодаря наличию этих трех интегралов согласно п. 12 можно понизить число степеней свободы канонической системы на три или, что одно и то же, понизить число переменных на шесть. Вследствие этого мы придем к так называемой канонической форме Пуанкаре для уравнений относительного движения (относительно центрального тела) в задаче и -f-1 тел. Мы знаем (п. 42), что когда проинтегрированы эти уравнения, то игнорируемые координаты Sq i oi центрального тела определяются простыми квадратурами. [c.317]

Две системы канонических элементов Пуанкаре. Для многих приложений (например, связанных с исследованием движения планет) целесообразно иметь канонически сопряженные переменные, среди которых есть такие, которые малы для малых значений эксцентриситетов и наклонений орбит. Пуанкаре ввел две системы таких переменных. Их называют элементами Пуанкаре. [c.387]

Во второй системе элементов Пуанкаре величины Л, Л — те же канонически сопряженные переменные, что и в первой системе, а остальные четыре элемента определяются формулами ( , р — импульсы, q [c.387]

Функции Хг предполагаются регулярными в некоторой области изменения (комплексных) переменных Xi, Х2, , [д.. Пуанкаре поставил следующий вопрос Предположим, что для некоторого значения параметра [Iq периодическое решение существует. Можно ли тогда утверждать, что периодические решения существуют для значений fi, достаточно близких к Без потери общности можно считать значение [Ло равным нулю, тогда задача Пуанкаре принимает следующую формулировку Предположим, что при = О существует периодическое решение. Существуют ли тогда периодические решения при достаточно малых значениях [х [c.613]

Термин первообразная канонической замены переменных в настоящих лекциях введен впервые. По всей видимости, это понятие до сих пор не выделялось, хотя инкогнито первообразные функции и появлялись в литературе, начиная с работ Пуанкаре. [c.261]

В уравнении (32) переменные разделяются, и его решение Q(0 находится в квадратурах. При периодических колебаниях (которые могут быть определены также методом Пуанкаре) частоту определяют из уравнения [c.205]

Так ii в (38) следует считать функцией Ф, г з, i, определяемой соотношением (37). Периодические решения системы (38) могут быть найдены методом Пуанкаре В первом приближении получаются выражения для законов изменения во времени искомых переменных [c.207]

Канонические системы (1) являются частным случаем систем с медленными и быстрыми переменными, поэтому изложенные в гл. I результаты, естественно, применимы и к ним. Если при этом мы хотим, чтобы преобразование х, у) (х, у ) было каноническим, необходимо строить замену переменных таким образом, чтобы выполнялось условие Якоби—Пуанкаре (соотношения (6), (8), (9)). [c.204]

Для построения полной теории интегральных инвариантов Пуанкаре встретился с необходимостью обобщения понятия о кратном интеграле. Обычно в интегральном исчислении рассматривают при наличии п переменных Ж2,..., Хп два вида интегралов [c.36]

С таким вопросом Пуанкаре встретился при построении теории функций двух комплексных переменных, рассматривая задачу о вычетах двойных интегралов [c.36]

В дальнейшем будем предполагать, что в начальный момент С(0) = Ь(0), и возмуш,енное движение, описываемое уравнениями (7,9), принадлежит классу круговых орбит центра масс деформированного шара. Поскольку переменные Делоне вырождаются в случае нулевого эксцентриситета, то удобно в этой ситуации использовать канонические переменные Пуанкаре Л, Г, Л, 7 определяемые соотношениями [c.393]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

Спецкурс Уравнения Пуанкаре читался П. Г. Четаевым в 1955 г. В нем наряду с развитием идеи Пуанкаре об использовании так называемых групповых переменных для написания уравнений движения рассматривается вопрос интегрируемости уравнений связей, т. е. условий голопомности связей, на чем обычно в механике не останавливаются. [c.7]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Вернемся к исходной задаче. Непосредственно формулы (2) проинтегрировать мы не можем. В том ли только дело, что мы пока что не научились удачно вводить некоторые углы поворота Ф, с тем, чтобы получить Юу = (р, Шл = ф Нет. Никаких подобных переменных ввести невозможно, ибо ничто нам (вслед за Пуанкаре) не мешает нарисовать на поверхности шара кривую P1P2 длины IQ1Q2I, прокатить шар, опираясь о плоскость точками этой дуги, а когда точки Р-2 и Q2 совместятся, довернуть тело до нужного положения, враш,ая его вокруг вертикали. [c.219]

Топология возникла совсем недавно. Если отдельные мысли и положения, которые мы сейчас отнесли бы к топологии, можно проследить еще в античной геометрии, среди идей Леонардо да Винчи, у Декарта и конечно у Эйлера, то формироваться и приобретать собственные очертания геометрия положения начала еще позже, чем учение о механизмах и машинах. В 1858 г. астроном одной из небольших немецких обсерваторий А. Ф. Мёбиус (1790—1868) представил Парижской академии наук ме-муар об односторонних поверхностях. Несколько раньше, в 1847 г., независимо от Мёбиуса гёттингенский астроном И. Листинг (1808—1882) под влиянием Гаусса опубликовал Введение в топологию . В то же самое время подобные идеи начал исследовать Бернгард Риман (1826—1866), который в них нашел соответствие с возникавшей тогда теорией функций комплексного переменного. Оказалось, что изучение топологических свойств некоторых поверхностей, получивших название римановых, эквивалентно изучению аналитических функций комплексного переменного. Дальнейшее развитие этих идей было выполнено в трудах выдающегося французского математика Анри Пуанкаре (1854—1912) и в Геттингене Феликсом Клейном (1849-1925). [c.113]

Для теорий, обладающих суперсимметрией, независимыми переменны ш при выводе Н. т. будут наряду с X и антикоммутирующие координаты 6а (а — спинорный индекс). Это приводит к обобщению фундам. сохраняющихся величин, а также к появлению новых со-храняющи.хся величин спин-векторных токов и соответствующих им суперзарядов, образующих представление супералгебры Пуанкаре. [c.341]

Основополагающими работами в области аналитической механики являются исследования советских ученых по уравнениям динамики в групповых переменных. В 1927— 1928 гг. Четаев вывел уравнения Пуанкаре в новой, канонической форме и обобщил их на случай нестащюнар-лых связей. Эти результаты были им развиты в 1941 г. Было показано, писал Четаев, что весьма интересная мысль Пуанкаре о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна . [c.289]

Использование метода Пуанкаре и представление решения через коэффициеты влияния возможно во всех тех задачах о взаимодействии, когда уравнения при каком-либо выборе искомых переменных записывают в виде [c.208]

При нахождении замены переменных (81) мы непосредствеп-по не проверяли выполнение условий каноничности Якоби — Пуанкаре они здесь могут быть записаны в виде [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...