Системы координат . 4. Уравнения для

В случае осесимметричного начального напряженного состояния круглой пластины, когда S = О, а начальные усилия Т° = = Т г) и Г е=П(г) являются функциями только радиуса г, интегрирование общего уравнения (4.33) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В полярной системе координат основное линеаризованное уравнение для пластины, нагруженной контурными внешними усилиями, принимает вид (см. 20) [c.163]

Учитывая (4.71а), а также инвариантность матриц масс [mi и демпфирования [о] к системе координат, конечно-элементное уравнение равновесия (1.47) для /-го элемента трещины можно представить в виде [c.244]

В п. 2.4 выведено уравнение неразрывности для произвольной ортогональной системы координат. Далее установим выражения для основных операторов в такой же системе. [c.269]

Преобразование линеаризованного уравнения (4.33) при переходе к новой системе координат производится аналогично тому, как это делается для уравнения поперечного изгиба пластин [17]. Например, при переходе к цилиндрической системе координат (рис. 4.7, а) внешний вид уравнения (4.33) сохраняется [c.149]

Уравнение энергии для течения в прямоугольных и треугольных трубах удобно записать в декартовой системе координат (рис. 4-11) [c.57]

Если материал изотропный, то уравнение (3.37) применяется для соотношений напряжения—дес рмации в прямоугольной декартовой системе координат тогда (4.76) приводится к виду [c.114]

Для решения квазистатической задачи линейной теории вязкоупругости для регулярных (непериодических) структур запишем уравнения равновесия в криволинейной системе координат (см. (4.5.12)) [c.273]

Если поток является симметрично осевым, а ось х—осью симметрии, то, исходя из уравнения неразрывности движения в цилиндрической системе координат (глава II, уравнение (10)) и выполняя вычисления, проведенные здесь для декартовой системы координат (или делая замену переменных в уравнении (4)), можно показать, что потенциал скоростей должен удовлетворять уравнению [c.357]

Рассмотрим осесимметричное состояние идеального изотропного несжимаемого жесткопластического тела в цилиндрической системе координат р, О, г. Опуская промежуточные выкладки, отметим, что в случае гладкого условия текучести (1.4) уравнение для определения характеристических направлений будет иметь вид [c.88]

Если зависимости, определяемые уравнениями (4-4) и (4-5), выразить графически, отложив в определенном масштабе по оси абсцисс значения температуры, а по оси ординат значения соответствующих им теплоемкостей (система координат t — с), то для уравнения (4-4) получим кривую, пересекающую ось ординат на расстоянии а от оси абсцисс (рис. 4-2), а для уравнения (4-5) —прямую, пересекающую ось ординат на расстоянии Я) от оси абсцисс и наклоненную к ней под углом а, тангенс которого равен величине 1 (рис. 4-3). Эти линии дают возможность для любого значения температуры найти по величине ординаты соответствующее значение теплоемкости, которая называется истинной теплоемкостью данного газа для данной температуры. [c.41]

Для численного моделирования определяющая система уравнений записывается в ортогональной криволинейной системе координат т] [4-7]. При решении задачи полностью неявным методом система дифференциальных уравнений замыкалась следующими граничными условиями. [c.135]

Выбирая координатную систему, можно найти соотношение между компонентами тензора Va и вектора а. Это соотношение оказывается более сложным, чем соотношение для градиента скалярной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, компоненты тензора Va вовсе не являются производными по координатам компонент вектора а, как это можно было бы предположить на основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1). Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда система координат является декартовой. [c.32]

Использовав уравнение (4.19) для анализа деформирования при разгрузке в системе координат S, — е , получим [c.211]

Для стационарного потока в сферической системе координат уравнение (4. 7. 31) запишется в виде [c.165]

Чтобы охарактеризовать теплообмен, а также температуры твердых частиц и жидкой среды, необходимо записать два уравнения энергии — одно для частиц, а другое для их смеси с жидкостью. Система координат, в которой рассматривается поле течения, изображена на фиг. 4.12. [c.169]

Для системы координат, принятой на рис. VII.2. б. имеем разные знаки для в" и Л4. Следовательно, в этом случае следует пользоваться уравнением (VII.4) в виде [c.165]

Примечание. Система уравнений (1.4) незамкнутая. Для решения ее следует доопределить с помощью уравнения неразрывности, которое в декартовой системе координат имеет вид [c.9]

Сравнивая (4) и (5), видим, что эти уравнения полностью аналогичны. Только в уравнение для системы вместо координаты х входит обобщенная координата д, вместо массы — коэффициент инерции о, а вместо жесткости Со следует взять коэффициент жесткости с. [c.416]

Интегрирование уравнений равновесия нулевого приближения. В 1.4 были получены общие уравнения равновесия стержня нулевого приближения в связанной [уравнения (1.112) — (1.115)] и в декартовой [уравнения (1.130) — (1.133)] системах координат, справедливые для любых внешних нагрузок. Рассмотрим решение уравнений равновесия для различных случаев поведения внешней нагрузки. [c.61]

Наряду с прямолинейными декартовыми для записи уравнений и их решений используются ортогональные криволинейные координаты цилиндрические, сферические и т. п. Например, при движении гибкого стержня по цилиндрической поверхности наиболее удобными координатами для записи уравнений являются цилиндрические координаты. На рис. П.4 показаны цилиндрическая система координат и соответствующий базис е,)(ег, е,, еу). Более подробно о криволинейных осях сказано в п. 2.8. [c.291]

В отличие от ламинарного течения, для которого связь между коэффициентом сопротивления (или перепадом давления) и расходом жидкости определяется теоретически из решения уравнений Навье — Стокса, при турбулентном режиме такая связь может быть найдена только в том случае, если профиль скорости известен из эксперимента. Как уже указывалось в 4, профиль скорости в пограничном слое на плоской пластине при Ri= 10 —10 (Ra=2- 10 —10 ) хорошо описывается степенной формулой с показателем 1/7, которая в выбранной системе координат имеет вид [c.351]

Случаи, когда жидкость покоится относительно стенок резервуаров, движущихся с ускорением относительно Земли, называют обычно относительным покоем. Выбирая систему координат, жестко связанную со стенками резервуара, мы приходим к статической задаче, основой для решения которой служат уравнения Эйлера (4-1). В соответствии с известным принципом механики при пользовании уравнениями равновесия в системе координат, которая движется с ускорением, мы должны в число действующих массовых сил включить также силы инерции. Имея это в виду, рассмотрим два случая относительного равновесия. [c.74]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Применим метод разделения переменных к решению задач для кругового конуса (0 < г < сю, 0 0 а, —я ф я). Будем исходить, естественно, из сферической системы координат, в которых система уравнений (4.4) гл. II допускает разделение переменных. Будем исходить лишь из достаточно частного класса решений, когда все смещения пропорциональны 1/г и, кроме того, смещения щ и ив пропорциональны os пф, а Мф — — sin пф (п — произвольное целое, неотрицательное число). [c.341]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Сферическая стенка. Представим уравнение (2.54) в сферической системе координат. Для этого используем следующие соотношения между декартовыми и сферическими координатами (рис. 4.5) [c.49]

В дальнейшем будем использовать уравнение Бо,1ЬЦ-мана (1.7.7), записанное для системы координат, движущейся со среднемассовой скоростью. Левую часть уравнения (3.4.4) можно переписать в виде [c.108]

Фурье-преобразование координат, описанное в разд. 8.4, часто рассматривают вместе с обобщенным анализом Флоке линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Действительно, эти направления анализа связаны между собой общим фактором — вращением системы. Однако, поскольку любое из них может потребоваться при анализе несущего винта без использования другого, они различны по существу. Например, фурье-преобразование координат необходимо для представления движения лопасти несущего винта в осевом потоке при возникновении связи с невращающейся системой (движение вала или отклонение управления), но несущий винт при этом остается стационарной системой. С другой стороны, при полете вперед и неподвижном вале винта приемлемо представление движения лопасти во вращающейся системе координат, однако в уравнениях движения появляются периодические коэффициенты, и для оценки устойчивости системы требуется применение анализа Флоке. [c.350]

Уравнения (2.37) являются уравнениями Гамильтона на алгебре во(4) в стандартном матричном представлении (см. 2). При выборе системы координат, связанной с телом, для которой Л = с11а (Ао, А1, Аг, Аз), функция Гамильтона свободного твердого тела в переменных М,р получается при [c.276]

Язык второго уровня — это язык внутреннего предетавления в ЭВМ информационной модели детали. Деталь представляется находящейся в размерном двухкоординатном поле. Уровни нулевого потенциала совпадают с осями основной системы координат детали. Образующая каждого ГО описывается одним — тремя уравнениями. Геометрическая информация о детали хранится в памяти ЭВМ в виде массива, в котором, кроме уравнений, характеризующих ГО, занесены параметры опорных точек контура, номер и код ГО. Параметры опорных точек рассчитывают автоматически с учетом уравнений, образующих ГО, например, для кода ГО-003 уравнение имеет вид =RRI (3)/2+В1. Параметр В1 вычисляется для конкретного ГО на основе нривя-зо шого размера (Г4, рис. 4.10), и в зависимости от того, в какой системе координат задан ГО, 4 — опорная точка контура детали. [c.173]

Сравнивая (4) и (5), видим, что тти уравнения полностью аналогичны. Только в уравнение для системы вместо координаты Л входит обобщенная координата q, вместо массы ко )ф(1)и-циент инерции а, а вместо жесгкосчи следует взять ко )ффи[1иент жесткости с. [c.429]

Модель Ньюмена, учитывающая чисто диффузионный механизм массоперепоса в газовой фазе, может быть применена только для очень маленьких газовых пузырьков, диаметр которых не превышает 0.3 мм. Согласно эксперимента.льным данным [841, в пузырьках газа диаметром более 0.3 мм существует развитое течение газа, представляющее собой вихрь Хилла (см. рис. 6). Рассмотрим модель массопереноса, учитывающую наличие циркуляционного течения внутри газовых пузырьков [82 ( (модель Кронига — Бринк). Будем считать, что Ре со. Перейдем в уравнении (6. 1. 1) с краевыми условиями (6. 1. 2) —(6.1.4) и замыкающими соотношениями (6. 1. 5), (6. 1.6) к криволинейной системе координат (рис. 74). Семейство координатных линий I здесь выбрано таким образом, чтобы оно с точностью до постоянного множителя совпадало с линиями тока [)р=соп81. Второе семейство координат ортогонально первому [c.239]

Основой для решения задачи о движении тела вокруг непо движной точки являются динамические и кинематические уравнения Эйлера (III. 4) и (III. 5). Общее начало неподвижной системы координат Oxyz и подвижной выберем в закрепленной точке. [c.412]

Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138]

Здесь Л, Jy, 1г, Jx,j, Jxz, Jyz — компоненты тензора инерции тела для центра масс и системе координат xyz. Если оси Сх, Су, z — главные оси инерции тела для центра масс, то уравнения (3) упрощаются и принимают вид динамических уравнений Эйлера (4) п. 87. [c.180]

В качестве второго примера рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.2. Сте(ржень нагружен следящими силой Ро и моментом М.О. постоянны.ми во времени. Равновесная форма осевой линии стержня (например, прямолинейного до нагружения) есть пространственная кривая. На конце стержня имеется сосредоточенная масса т. Примем приближенно, что точка О (центр масс) совпадает с центром то рцового сечения стержня. Для следящих сил уравнения малых колебаний стержня в связанной системе координат будут однородными, так как проекции следящих сил и моментов в уравнения движения в связанной системе координат не входят. В данном примере имеем следующие краевые условия 1) е=-0, ио(0)=0,до(0)=0 2) в—1, АМ(1)- М =0, АО( 1) + Л = 0, где М , — соответственно момент инерции и сила инерции, дей- [c.80]

В неподвижной системе координат при и = onst температура покрытия в фиксированной точке изменяется во времени. Поэтому для отыскания температурного поля в покрытии при одномерной постановке задачи необходимо исходить из уравнения (4.10). Введем подвижную систему координат, которая перемещается в глубь покрытия со скоростью уноса и. В этой системе нормальная к поверхности координата определяется выражением [c.471]

Линеаризованные уравнения движения и состояния. Для случая плоского одномерного движения линеаризованные уравнения 4 гл. 1 для газовзвесей в системе координат, относительно которой иевозмущенпая равновесная газовзвесь покоится (ию = = V20 = Vi = 0), имеют вид [c.319]

Структура стационарных волн детонации. Рассмотрим плоское одномерное стационарное движение монодиспсрсной горючей аэровзвеси в системе координат, связанной с детонационным фронтом. При высоких скоростях движения, характерных для детонационных волн, влияние излучения и процессов переноса ( диффузии, теплопроводности) пренебрежимо мало. Уравнения (5.1.1) в стационарном случае имеют интегралы, представляющие собой законы сохранения массы, импульса и энергии (см. (4.4.5)) [c.425]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...