Постановка задач теории упругости в перемещениях

Постановка задачи теории упругости в перемещениях [c.338]

Наиболее удобно использовать постановку задачи теории упругости в перемещениях, если на границе тела заданы непосредственно перемещения. Если же граничные условия записаны в напряжениях, то эти условия с помощью закона Гука (16.3, а) и соотношений Коши (16.2) следует преобразовать к такому виду, что они будут включать в себя перемещения. При заданных на границах нагрузках с учетом указанных преобразований граничные условия имеют вид [c.339]

Постановка задач теории упругости в перемещениях 57 [c.57]

Постановка задачи теории упругости в перемещениях при граничных условиях состоит в том, чтобы найти три функции перемещений, которые удовлетворяют внутри области К, занимаемой телом, дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях (2.25), а на границе области — граничным условиям (2.26). Динамическая задача ставится аналогично, однако перемещения зависят не только от координат, но и от времени т. е. функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, граничным и начальным условиям. [c.76]

Несмотря на то, что общий план решения задач теории упругости в перемещениях или напряжениях достаточно ясен, реализация этого плана представляет весьма большие трудности, и в общем виде решить эти уравнения пока не представляется возможным. Лишь для простейших случаев удается получить решение задачи теории упругости, однако эти решения задач в самой общей постановке представляют очень большую ценность. Точные решения задач теории упругости являются своеобразным эталоном, с которым можно сравнивать приближенные решения, полученные в результате введения определенных дополнительных деформационных гипотез. [c.56]

Если объемные силы и температура как функции координат известны и на границе заданы перемещения, то из уравнений (5.1) с известными начальными данными можно найти перемещения внутренних точек тела и таким образом решить задачу теории упругости в перемещениях. Напряжения после этого вычисляются с помощью закона Гука. Уравнения совместности деформаций при такой постановке задачи удовлетворяются автоматически, так как формулы, выражающие деформации через перемещения, представляют собой, как известно, общее решение уравнений совместности. [c.343]

Согласно постановке краевой задачи необходимо найти в трехмерной области У, ограниченной замкнутой поверхностью S, тензорное поле Q (г), где г — радиус-вектор, определяющий положение произвольной точки внутри области V в глобальной криволинейной системе координат <7, где = 1, 2, 3 (рис. 2.26). При решении задачи теплопроводности Q = t тензор ранга О, температура, скаляр при решении задачи теории упругости в перемещениях Q- и - тензор ранга 1, вектор перемещений при решении этой же задачи в напряжениях Q = = о - тензор ранга 2, тензор напряжений. [c.48]

Вариационная постановка линейной задачи теории упругости в перемещениях. Для определения НДС элемента конструкции, работающего при термомеханическом малоцикловом нагружении, необходимо найти для объема V элемента, ограниченного поверхностью S = = + Sjj, поле перемещений и, которое должно удовлетворять [ 15 ] уравнениям равновесия [c.62]

Во многих случаях удобно переформулировать конечноэлементные постановки задач теории упругости в терминах полной потенциальной энергии каждого конечного элемента. Возвращаясь к нелинейному жесткостному соотношению (16.4) для гиперупругих элементов, заметим, что если обе его стороны умножить на произвольную вариацию 0и узловых перемещений, то получим [c.280]

Описанный алгоритм решения реализуется для самых разнообразных задач, включая задачи теории упругости и теплопроводности. Метод конечных элементов в обычной постановке предполагает решение задачи теории упругости в перемещениях, при этом неизвестными, подлежащими, определению, являются перемещения узловых точек. Уравнения равновесия разбитой на элементы конструкции под действием внутренних и внешних сил представляют собой систему линейных алгебраических уравнений, причем все силы приводятся к узловым точкам, а соотношение между узловыми силами и перемещениями представляется матрицей жесткости. [c.10]

В данном параграфе будет рассмотрена приближенная постановка задачи теории упругости, описанная в 1.6. Принципиальное отличие данной постановки от рассмотренных в предыдущих параграфах состоит в том, что характер деформации в данной точке пластинки нельзя описать заданием значения единственного имеющегося в нашем распоряжении компонента перемещения — прогиба W, здесь необходимо вводить в качестве искомых неизвестных производные от w, имеющие смысл углов поворота окрестности рассматриваемой точки. [c.146]

Решение задачи теории упругости в обратной постановке значительно проще. Особенно просто эта задача решается, если задано внутреннее поле перемещений. В самом деле, если перемещения и, V, ш заданы как функции координат точек тела (включая и точки на поверхности тела), то, используя уравнения Коши, находим деформации, а затем [c.53]

В рассматриваемой постановке при = s G S представление (3.9) выражает собой преобразование вектора напряжений на L в вектор перемещений на S. При известных векторах ы (i) иы°(5) и ядре интегрального оператора система уравнений (3,5) является системой интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно неизвестного вектора напряжений Р/с(х) на L. Решение этой системы представляет собой обратную задачу теории упругости, в которой искомый вектор напряжений недоступен для прямого исследования, а изучается его косвенное проявление в виде вектора перемещений на доступном для измерений участке поверхности. [c.65]

Располагая вариационными уравнениями Лагранжа и Кастильяно, можем теперь дать вариационную постановку задачи теории упругости если задача решается в п е р е м е -щ е н и я X, то требуется найти такие перемещения и, которые непрерывны внутри тела, удовлетворяют геометрическим граничным условиям и минимизируют полную потенциальную энергию системы V если задача решается в напряже-н и я X, то требуется найти такие напряжения а, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям и минимизируют полную дополнительную энергию системы У, [c.43]

Возможна также постановка обратной задачи теории упругости. В этом случае задаются напряжения, деформации или перемещения для всех внутренних точек тела как функции координат. Требуется определить условия на границах тела, которым соответствует заданное напряженно-деформированное состояние. [c.35]

Ранее, в первой главе, были приведены общие статические уравнения теории упругости и соответствующие граничные условия. Там же была сформулирована постановка задачи теории упругости. Однако многие воздействия на сооружения носят ярко выраженный динамический характер. Хотя при этом перемещения оказываются обычно небольшими, однако скорости [c.119]

Эта система четырех уравнений относительно четырех неизвестных функций щ г, ), (, (г), т)д (г), (г) является аналогом уравнений равновесия теории упругости в перемещениях. В нее входят все вторые частные производные по г и х от функции ю и первые и вторые полные производные по г от остальных трех функций. Таким образом система (47—50) является смешанной системой интегро-дифференциальных уравнений, содержащей как обыкновенные, так и частные производные. Нетрудно сообразить число и характер граничных условий, которые должны быть добавлены к этой системе для полной постановки задачи. [c.34]

Прямой метод решения задач теории упругости, заключающийся в интегрировании основных уравнений при заданных граничных условиях, не всегда возможен. Обратный метод, примененный в гл. 7 для плоских задач, часто не соответствует практической постановке задачи. Сен-Венаном был предложен так называемый полуобратный метод решения задач теории упругости, который заключается в том, что часть перемещений и напряжений задается, а остальные неизвестные определяются из уравнений теории упругости при заданных граничных условиях. Полуобратный метод не является общим. Однако он оказался одним из самых эффективных методов решения задач теории упругости. [c.172]

Аналогично можно построить алгоритм метода упругих решений при постановке задачи теории малых упругопластических деформаций в перемещениях. [c.274]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

Разработку каждой такой программы проводят в несколько однотипных этапов подготовка и ввод исходных данных вычисление матриц и векторов, характеризующих поведение отдельных конечных элементов компоновка разрешающей системы уравнений вычисление компонент узловых перемещений (при применении метода перемещений) вычисление компонент НДС конструкции вывод результирующей информации. Использование инвариантной части программного обеспечения (см. гл. 3 и 5) позволяет достаточно просто компоновать проблемно-ориентированные программы в зависимости от принятой постановки задачи. Разработку такой программы рассмотрим на примере осесимметричной задачи теории упругости. [c.114]

Главное, что будет излагаться в этой книге, по существу, состоит из трех основных частей 1) основные понятия о перемещениях, внутренних напряжениях, деформациях и работе внутренних сил, а также о процессе нагружения малого элемента твердого тела 2) основные механические свойства твердых тел, такие, как упругость и идеальная пластичность, текучесть, ползучесть и релаксация, вязкость и динамическое сопротивление, усталость и разрушение 3) основные кинематические и геометрические гипотезы, упрощающие математическую постановку задач о напряжениях, деформациях, перемещениях и разрушениях твердых тел при различных внешних воздействиях, а также основные уравнения и методы решения задач о деформации и прочности тел. Методы сопротивления материалов отличаются от более строгих методов теории упругости и пластичности в основном введением ряда упрощающих предположений кинематического и геометрического характера и, тем не менее, в большинстве случаев оказываются достаточно точными. [c.12]

Во всех этих случаях массовые силы предполагались известными. В зависимости от постановки при решении задачи теории упругости искомыми функциями являются либо перемещения, либо напряжения. [c.35]

Математическая постановка задачи анализа упругого формоизменения твердого тела приводит к девяти уравнениям в частных производных с девятью неизвестными (напряжения, действующие на различно ориентированные сечения и составляющие вектора перемещения). Граничные условия задачи классической теории упругости определяются данными любого рассматриваемого конкретного случая (форма напряженного тела, приложенная к нему внешняя нагрузка). [c.14]

В зависимости от постановки для решения задач теории упругости могут применяться различные интегральные преобразования. При этом получаются точные решения для напряжений и перемещений в форме несобственных интегралов, сходимость которых обеспечена. Обычно они оцениваются численно, в замкнутой форме обратное преобразование возможно лишь в частных случаях. Некоторые примеры обсуждаются в последующих параграфах 8.6 и 9.6. [c.127]

Прямая задача теории упругости, т. е. определение перемещений и напряжений упругого тела по заданным внешним силам и условиям закрепления, даже в линейной ее постановке, весьма трудна, и в настоящее время нет эффективного общего метода ее аналитического решения. Иными словами, сформулировав какую-либо конкретную задачу этой теории математически, мы часто не имеем достаточных математических средств, для того чтобы ее решить, если не говорить о приближенных методах интегрирования или об использовании вычислительных машин. Однако поскольку всякая задача теории упругости является по существу физической задачей, уместно привлекать к ее решению не только математические, но и физические соображения. Именно этим путем и было решено большинство задач теории упругости, представляющих наибольший практический интерес. [c.236]

Мы будем называть эту формулировку задачи теории упругости моделью или постановкой в перемещениях и будем называть основной задачей соответствующую задачу минимизации или вариационную задачу. [c.395]

Не менее успешным оказывается применение начала возможных перемещений и в теории упругости, и, как будет показано позже, в теории пластических деформаций и в теории ползучести, как в условиях равновесия, так и в условиях движения и даже в случае реологической постановки задачи в относительно широком смысле. [c.69]

Перекрытия, в плоскости которых передаются усилия при выстреле, представляют собой тонкие пластины больших размеров (например, настил палубы), подкрепленные ребрами (бимсами). Силы, действующие при выстреле, передаются на них через несколько болтов или заклепок, связывающих тумбу орудия с палубным настилом, что позволяет считать, что подобные силы сосредоточены в центрах поперечных сечений болтов (заклепок). Такова постановка задачи. Ее решение для случая одной сосредоточенной силы находится методами теории упругости. С их помощью исследуется и действие на пластину сосредоточенного крутящего момента. Затем полученные результаты применяются к расчету прочности палубного настила, воспринимающего в своей плоскости сосредоточенные воздействия от болтов, крепящих штыревое основание (тумбу) орудия к палубе. Параллельно выводятся формулы, которые определяют перемещения палубы в место установки орудий и позволяют судить о степени динамичности нагрузки, действующей при выстреле из орудия. Нет надобности подчеркивать, что все формулы просты в практическом применении. [c.149]

В классической линейной теории упругости принята следующая постановка задачи уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния, компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями, а материал подчиняется закону Гука, т. е. напряжения и деформации связаны между собой линейными зависимостями. В этом случае задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Нетрудно показать, что напряженно-деформированное состояние, соответствующее этому единственному решению, является устойчивым. [c.77]

При решении задач термоупругости в качестве основных неизвестных удобно принимать перемещения или напряжения. В соответствии с этим различают, как и в изотермической теории упругости, постановку задачи термоупругости в перемещениях и постановку задачи термоупругости в напряжениях. [c.406]

В основу метода положена постановка задачи в перемещениях. Прежде чем перейти к выводу разрешающих уравнений, аналогичных уравнениям Ляме в теории упругости ( 16.5), введем еще одну функцию , характеризующую степень упрочнения материала (рис. 22.13) [c.511]

В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17). В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т. е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии. [c.24]

Наряду с двумя pa MOi репными постановками задач теории упругости (в перемещениях и в напряжениях) известны и другие подходы, когда в качестве искомых функций используются одновременно и перемещения и напряжения (смешанная постановка задачи) или другие, искусственно вводимые функции. Один из таких подходов будет рассмотрен в следующей главе. [c.341]

Из постановки задачи теории упругости в перемеш вниях [3, 4] получаются следующие результаты, используемые при таком моделировании. Деформирование сплошного тела с приложением нагрузок по внешней поверхности тела или внутренним сечениям, реализуемое с соблюдением условий равновесия, и замораживание полученных деформаций приводит после размораживания незакрепленного тела к освобождению всех деформаций, имевших место при нагружении и замораживании [1]. Деформирование двух частей модели, разделенных поверхностью /5", вызывающее одинаковые перемещения по этой поверхности, или деформирование одной части при нулевых перемещениях поверхности 8, приводит после замораживания и склейки этих частей по поверхности 8 и размораживания модели к освобождению всех деформа-щй имевшг х место при замораживании ее частей. Эти рвзуль [c.61]

Обозначим множество полиномов от п переменных степени k по совокупности переменных через Р , множество полиномов от н переменных степени k по каждой переменной в отдепьности — через Q / . Как было выяснено, для треугольных и тетраэдральных элементов в обычной постановке задач теории упругости подходят полиномиальные аппроксимации перемещений полиномами из P k, для четырехугольных и параллелепипедов — аппроксимации полиномами из Ql- В рассматриваемом случае ни один из этих типов полиномов не может быть использован, тем не менее попытаемся аппроксимировать прогиб w полиномом, вид которого будем выбирать из тех соображений, чтобы обеспечить непрерывность w при переходе через границы конечных элементов. Так как величины прогибов и поворотов в узлах (вершинах) являются общими для соседних элементов, то в случае непрерывности прогибов форма прогиба на границах рассматриваемого элемента будет определяться четырьмя параметрами (по два в каждом узле) —ш и 6 на границе л-2 = onst, 02р—на границе Xi = onst. [c.147]

Как уже отмечалось, решение задач теории упругости в прямой постановке (в перемещениях либо напряжениях) представляет очень большие сложности и общих методов решеипя задач в такой постановке пока не существует, Обратная постановка задач часто не соответствует потребностям практики, так как жизнь обычно ставит задачи в прямой постановке. Прп этом известны граничные условия, и требуется определить поло напряжений, деформаций п перемещений, соответствующих заданным граничным условиям. [c.58]

Рассматриваемая в данной главе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статистической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга [160] применительно к поликристаллам, в дальнейшем многочисленные результаты были обобщены в монографиях [62, 130, 162, 172, 247, 296, 320 и др.]. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задачи, связанной с представлением упругих модулей микронеоднородной среды как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функции 1 ина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для оценки полей напряжений и деформаций в компонентах композитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности, его структуре. [c.39]

Вариационные принципы при учете температурных слагаемых. Уравнение теплопроводности рассматривается в его классической форме Фурье (3.6.8) гл. III, а в задаче теории упругости сохраняется статическая постановка, то есть пренебрегают изменениями во времени напряженного состояния, вызываемыми нестационарностью температурного поля. Это позволяет рассматривать температуру как неварьируемый при варьировании напряженного состояния внешний фактор и в соответствии со сказанным в п. 1.14 формально трактовать наличие температурного поля как поля объемных сил с потенциалом (1.14.5) и поверхностных сил (1.14.6). Учитывается действие этих сил и реактивных сил на Oj, создаваемых связями, обеспечивающими заданные перемещения на этой части поверхности тела. [c.161]

Третья глава посвящена построению нового приближенного решения стохастической задачи теории упругости мнкронеоднородных сред, названного полным корреляционным приближением, в перемещениях с учетом реального вида моментных функций упругих свойств. Рассматривается единая для большинства работ в зтом направлении постановка статистически нелинейной краевой задачи в перемещениях с граничными условиями, обеспечивающими однородность маг [c.9]

Возможна также другая постановка нестационарных динамических задач теории упругости, когда вектор перемещений, вектор объемных сил и дифференциальное уравнение (1.1) рассматриваются на всей временной оси (—оо, -foo), а начальные условия не ставятся. Это соответствует, например, случаю, когда за от-счетный момент времени to, при котором тело находится в неде-формированном состоянии, принимают U=—се. [c.88]

Указанная выше задача об определении упругого равновесия тела по заданным внешним нагрузкам, приложеннымк поверхности, называется первой контурной задачей теории упругости. Теория упругости рассматривает также и вторую контурную задачу в такой постановке найти упругое равновесие тела, если заданы перемещения точек его поверхности. И, наконец, в ряде случаев ставится смешанная контурная задача, когда заданы смещения на одной части поверхности, а на остальной— внешние нагрузки. [c.121]

Возможен случай, когда механическая система является системой с распределенными пара,метрами. К тако.му случаю относятся задачи о деформировании упругих тел магнитным полем. Эти задачи могут быть нелинейными, даже если упругие перемещения малы и справедливы уравнения линейной теории упругости. Нелинейность при этом обусловливается зависимостью пондеромоторных сил от перемещений. К указанному классу относятся два типа задач- о равновесии ферромагнитных тел, расположенных на расстояниях, сравнимых с малыми упругими перемещениями, и о равновесии близко расположенных проводящих стержней с токами. Постановка этих задач и некоторые результаты их исследования приведены в работе [16]. Математически аналогичная задача о равновесии электростатически заряженных капель рассмотрена в работе [181. [c.340]

Задание закона состояния приводит к замкнутой системе дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе- мое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача определения формы и размеров упругого тела в конечном состоянии отодвигается на второй план—их находят после того, как задача решена в предполон<ении неизменности начальной формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состояние приходится разыскивать в 1/-объеме — в теле с неизвестной наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что при решении задач нелинейной теории упругости методом последовательных приближений, например в форме ряда по степеням параметра ма.пости, характеризующего малость градиента вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной форме его границы. [c.102]

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2,2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение Сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели на торце дополнительным ребром, работающим только иа изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметрнчиом загруженин ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случа.я, когда поперечное перемещение панелн равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с полубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена, путем срав неиня решения на основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкачевым [5]. В этой работе дана также общая постановка задач включения на основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубесконечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, нагруженной на торце постоянной распределенной нормальной нагрузкой. [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...