Постановка смешанной задачи

Глава 5 посвящена контактным задачам механики растущих тел. Здесь дается постановка смешанной задачи для вязкоупругого стареющего тела в процессе его кусочно-непрерывного наращивания. Предлагается метод исследования получаемых смешанных краевых и начально-краевых задач. Рассматриваются контактные задачи. Выводятся их интегральные уравнения. Строятся решения уравнений и [c.8]

Постановка смешанной задачи [c.192]

В постановке смешанной задачи (2. не указаны условия в точках х = /, что вносит некоторый произвол в определение ф(х) как обобщенной функции - предела аналитической функции ф(г) при Z X + /0. Этот произвол устраняется требованием непрерывности перемещения берега трещины. Кроме того, чтобы доопределить задачу, необходимо указать условие на бесконечности . Учитывая, что вне трещины перемещение непрерывно и что при удалении от нее оно должно исчезать, положим [c.37]

Основная смешанная задача в такой постановке соответствует случаю п жестко соединенных штампов. [c.158]

Если S = Su, следовательно, на всей поверхности тела заданы перемещения, соответствующая задача называется первой основной задачей теории упругости. Если S = St и на всей поверхности заданы усилия Т , мы будем говорить о второй основной задаче. Сформулированная выше постановка относится к смешанной задаче. [c.245]

Рассмотрим теперь задачу об опре-Постановка смешанной делении напряженного состояния стерж- [c.469]

Если в краевой задаче присутствуют и нал., и граничные условия, то такая задача наз. смешанной задачей. Для ур-ния (1) смешанная задача (1), (9), (11) ставится так найти ф-цию и х, t), удовлетворяющую ур-нию (1) в цилиндре G X (0, оо), вал. условиям (9) на его ниж. основании G и граничному условию (11) на его боковой поверхности S X [О, оо). Аналогично ставится смешанная задача (3), (10), (И) для ур-ния диффузии (3). Существуют и др. постановки краевых задач. [c.64]

Для уравнения (4.36) возможны постановки различных задач, классическими примерами которых являются задачи Коши, смешанная и Гурса. [c.108]

Сама граница упругого тела рассматривается как поверхность в чисто геометрическом смысле. На такой поверхности считается возможным задавать самые различные условия для выходящих на нее компонентов тензора напряжений, вектора смещений или их комбинации При этом здесь сразу могут проявляться противоречия между столь общими свойствами границы и свойствами ограниченного ею идеально упругого тела при условии малости деформаций. В частности, можно указать на постановку смешанных граничных задач (2.4) с резко выраженной линией раздела между областями Si и Sj. При этом, как правило, в решении задачи возникают особенности, т. е. наблюдается неограниченный рост некоторых [c.25]

В случае, когда плоскости Pi и Р2 начинают выдвигаться по произвольному закону, решение задачи можно искать в классе двойных волн. В работе [1] была решена задача о движении двух взаимно перпендикулярных поршней по произвольному закону в изотермическом газе в классе двойных волн. Там же была сформулирована задача Гурса для уравнения двойных волн для случая движения двух поршней в политропном газе. Однако решение только одной задачи Гурса не позволяет, вообще говоря, построить полную картину движения даже в случае простейших законов движения поршней. Это происходит из-за того, что области определения решения задачи Гурса, как правило, не совпадают с естественными областями определения течений ни в физическом пространстве х , Х2, t, ни в плоскости годографа и составляют лишь часть их. Необходимо поэтому ставить дополнительные задачи, чтобы заполнить всю область определения течения. Предлагаемая работа посвящена как раз постановке таких дополнительных задач и исследованию возможных конфигураций течений, возникающих вследствие специфического распада разрыва, когда поршни начинают двигаться с постоянными скоростями. Область течения при этом составляется из областей двойных автомодельных волн, простых волн и областей постоянного движения, причем задача Гурса и смешанные задачи для уравнения двойных волн решаются численно методом характеристик, пока уравнение двойных волн имеет гиперболический тип. [c.100]

Параграф 5.1 посвящен развитию метода однородных решений в контактных задачах для тел конечных размеров сложной неканонической формы. Дается общая постановка задач, приводится описание схемы метода. Показывается, что метод однородных решений может быть с успехом применен к широкому классу существенно смешанных задач для тел, часть границы которых совпадает с парой координатных поверхностей канонической системы координат, на которой задаются смешанные граничные условия, а другая часть границы задается достаточно произвольно, и на ней ставятся несмешанные граничные условия. Дается сравнительная характеристика эффективности и границ применимости различных численных методов для удовлетворения краевым условиям при помощи однородных решений, отмечаются трудности, возникающие при использовании методов коллокации и наименьших квадратов, показываются преимущества использования методов Ремеза первого и второго рода. [c.18]

Некоторые типы систем интегральных уравнений. Изложенная выше схема решения систем (6.4.1) позволяет в самой общей постановке исследовать пространственные связанные смешанные задачи анизотропной теории упругости и электроупругости. В то же время, ряд реальных проблем [c.132]

Изложим МФП на примере одномерного интегрального уравнения, являющегося типичным для многих динамических смешанных задач в плоской постановке. Рассмотрим интегральное уравнение вида [c.84]

Осесимметричные контактные задачи. Наибольший теоретический и прикладной интерес представляют основные смешанные задачи (ОСЗ) теории упругости в обобщенной постановке, когда краевые условия на внешней поверхности многослойного полупространства разделяются на совокупности произвольного четного 2п или нечетного числа 2п - 1 (п= 1,2,...) концентрических окружностей. Частными случаями этих задач являются контактные задачи для п концентрических кольцевых штампов или одного кругового и п - 1 концентрических кольцевых штампов с учетом сцепления в области контакта. Математический аппарат исследования ОСЗ непосредственно распространяется и на аналогичные контактные задачи для круговых и кольцевых штампов с учетом и без учета трения, а также на родственные смешанные задачи для многослойного полупространства с круговыми и концентрическими кольцевыми трещинами на границах раздела слоев. Иными словами, ОСЗ имеют общетеоретическое значение и, в свою очередь, являются базовыми для построения и исследования решений обширного класса контактных и других смешанных задач теории упругости для многослойного полупространства. Учитывая это положение, изложим подробнее математическую постановку и методику аналитического и численного решения ОСЗ. [c.218]

Плоские контактные задачи. В условиях плоской деформации многослойного полупространства наибольший теоретический и прикладной интерес представляют основные смешанные задачи в обобщенной постановке, аналогичных осесимметричным ОСЗ (п. 4). В случае плоских ОСЗ краевые условия на внешней поверхности многослойного полупространства разделяются на совокупности произвольного числа 4п или 2(2п - 1) (п = 1,2,...) прямых = =Ь д. (к = 1,2п или = 1,2п - 1). Частными случаями этих задач являются контактные задачи для четного 2п или нечетного числа 2п - 1 (п = 1,2,...) полосовых в плане штампов с учетом сцепления, трения и без трения в областях контакта. Кроме того, математический аппарат исследования плоских ОСЗ непосредственно распространяется и на родственные смешанные задачи для многослойного полупространства с полосовыми трещинами на границах раздела слоев. [c.224]

Расчет конструкций на многослойном грунтовом основании приводит к постановке и решению сложной специальной задачи теории упругости определению контактных давлений под конструкцией при известной ее осадке. Такие задачи, в которых область раздела граничных условий соизмерима с размерами взаимодействующих в контакте тел, относятся к области неклассических смешанных задач. [c.256]

Результаты 1°-4° были позже учтены многими авторами при постановке и исследовании соответствующих смешанных задач [11, 19, 57, 59]. [c.476]

В постановке, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим смешанную задачу о передаче нагрузки от накладки (стрингера) конечной длины и переменной жесткости на растяжение к упругой полуплоскости и плоскости. [c.106]

Постановки краевых задач. Задачи для волнового уравнения с начальными и краевыми условиями обычно в литературе называются смешанными задачами (см., например, [83]). В дальнейшем будем пользоваться следующей терминологией краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qi p с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и ж = / одного рода, а смешанной краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qu с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и х = I разных родов. [c.24]

В смешанных задачах динамики мы встречаемся с другой ситуацией. В постановке этих задач, кроме уравнения состояния, задаются граничные и начальные данные, которые предполагаются согласованными естественным образом однако, как мы видели, этого, вообще говоря, недостаточно для доказательства теоремы существования следует добавить, на первый взгляд неожиданное, предположение о существовании некоторых количе- [c.342]

Г. П. Черепанов [1], используя граничные задачи линейного сопряжения, решил в общей постановке основную смешанную задачу плоской теории упругости для плоскости с разрезами, расположенными на одной прямой (ср. 120 настоящей книги). Им же (Черепанов [2]) дано решение основных граничных задач плоской теории упругости в неоднородной бесконечной пластинке с разрезами вдоль одной прямой или окружности. [c.601]

Возможна постановка и других смешанных задач [17], например различных контактных задач . [c.54]

Плоские контактные задачи теории упругости. Развитие изложенного выше математического аппарата, связанного с постановкой и решением смешанных задач теории функции комплексного переменного, послужило достаточной основой для получения решений огромного класса плоских и пространственных контактных задач теории упругости. Мы остановимся здесь лишь на наиболее существенных достижениях, относящихся к плоским контактным задачам теории упругости, опубликованным до 1969 г. При этом задачи для слоистой и неоднородной полуплоскости и линейно-деформируемого основания не рассматриваются. Частично излагаемый ниже материал содержится в обзорах Д. И. Шермана [379], Г. Я. Попова и Н. А. Ростовцева [286]. [c.13]

При использовании функциональных методов в смешанных задачах существенное значение имеет постановка краевых задач. При малейшей некорректности мы можем здесь столкнуться со случаями неоднозначной разрешимости, о чем наглядно будут свидетельствовать примеры, которые мы приведем ииже. [c.88]

Задача ставится следующим образом. Необходимо найти такую оптимальную совокуиность X = (Х , Хд) G R, которая минимизирует функцию суммарных расчетных затрат по пароперегревателю 3 -Хд). При этом множество допустимых решений задачи, т, е. область R, в соответствии с постановкой смешанной задачи (2.7) — (2.10) описывается системой условий (для удобства записи ограничения в виде неравенств приводятся для одного из пакетов пароперегревателя) [c.38]

В главе дается постановка смешанной задачи для вязкоупругого стаг реющего тела в процессе его кусочно-непрерывного наращивания. Предлагается метод исследования получаемых смешанных краевых и начально-краевых задач. Рассматриваются конкретные контактные задачи. Выводятся их интегральные уравнения. Строятся решения уравнений и приводятся численные примеры. Обсуждаются качественные и количественные эффекты, в частности, влияние способа и скорости наращивания тел на контактные характеристики [27,40]. [c.189]

Метод численного решения. При численном решении контактной задачи область, занимаемая контактирующими телами, расчленяется по поверхности контакта на подобласти, и для них последовательно решаются краевые задачи с известными граничными условиями на Г и Г (4.1), (4.2) и смешанными граничными условиями на Г , уточняемыми в процессе итераций. Процесс решения, в свою очередь, расчленяется на два чередующихся этапа а - поиск границы площадки контакта к б - уточнение ее конфигурации в пространстве. На каждом из этих этапов используется двойственная вариационная постановка контактной задачи (см. табл. 4.4). При решении вариационной задачи считаются выполненными предварительные условия экстремальности соответствующего функционала, однако в процессе итерации могут нарушаться естественные условия экстремальности. Так как истинное решение задачи (й, ст) принадлежит произведению множеств VXKk имеет место равенство [c.144]

При формулировке задач механики контактного взаимодействия трение (сопротивление относительному перемещению контактирующих точек) учитывается феноменологически заданием некоторого соотношения между нормальными р и тангенциальными г напряжениями, действующими в зоне контакта. Наиболее часто используется закон трения Амонтона вида г = р. Методы исследования плоских контактных задач с трением, основанные на сведении их к решению смешанных задач теории функций комплексного переменного, разработаны Н.И. Мусхели-швили [107], Л.А. Галиным [23], А.И. Каландия [74]. Эти методы нашли применение при решении задач для тел с различной макроформой. Контактные задачи с законом трения в форме Амонтона в пространственной постановке рассмотрены в работах [29, 86, 87, 106] и т.д. [c.134]

Подобное исследование приводит к необходимости решения краевой задачи теории упругости в сложной области, которое может быть осуществлено в точной постановке лишь для некоторых идеализированных случаев. Одной из традиционных идеализаций является предположение о неограниченности области, в которой расположены дефекты. Методы определения напряжённого состояния упругих тел вблизи внутренних концентраторов напряжений в виде систем трещин, разрезов и тонких включений изложены в монографиях Н.И. Мусхелишвили [107], Г.Я. Попова [115], Т.Н. Савина [125]. Случаи, когда дефекты расположены вблизи границы упругого тела, не могут рассматриваться в рамках упомянутой выше идеализации. В.В.Можаров-ским и В.Е. Старжинским [104] предложен метод решения плоской контактной задачи для полосы, дискретно спаянной с основанием (имеющей конечное число разрезов на границе их раздела). Система круговых отверстий, расположенных вблизи границы полуплоскости, рассмотрена в [125]. Однако алгоритмы решения задач, развитые в [104, 125] и некоторых других работах, достаточно сложны для конкретных реализаций (особенно в случае исследования смешанных задач теории упругости) и, кроме того, [c.205]

Следует отметить, что в случае некорректных контактных задач, когда незначительные изменения в исходных данных ведут к значительному изменению результатов, возможны различные решения упругопластических задач в зависимости от алгоритма поиска контактных зон и последовательности вычислений во вложенных итерационных процессах. Обычно в этих случаях задача чувствительна к степени дискретизации на конечные элементы, диаграммам деформирования, уровням нагрузок и легко обнаруживается потребность дополнительных исследований, в результате которых обычно вскрывается причина ее некорректности. На практике такие задачи встречаются редко, поэтому оставим их без внимания. В задачах с трением возможны случаи, когда фрикционные силы не могут уравновесить действующую нагрузку и решение в статической постановке отсутствует, что легко обнаруживается в ходе расходяш,егося итерационного процесса. Будем считать, что корректность постановки задачи должна обеспечиваться надлежащими входными данными. В данной реализации решение поставленной задачи получено путем последовательного решения ряда смешанных задач в итерационном процессе, на каждом шаге которого границы контактных площадок, условия взаимодействия на них полагаются фиксированными и изменяются в соответствии с выполнением условий (II.2) — (II.3). При этом материальные константы упругой системы выбираются исходя из удовлетворения определяющих уравнений задачи. [c.20]

В монографии дано систематическое изложение постановки и методов решения динамических смешанных задач для предварительно напряженных тел. Особое внимание уделено постановочной части проблемы контактного взаимодействия преднапряженных тел с учетом того обстоятельства, что литература в данной области почти отсутствует. [c.8]

Графические методы (метод характеристик) расчета сверхзвуковых плоских и осесимметричных обтеканий тел обязаны своим развитием главным образом усилиям двух советских ученых—И. А. Ки-беля и Ф. И. Франкля. Им, а также В. В. Татаренчику, удалось построить ряд точных решений уравнений газодинамики. Ф. И. Франкль добился значительных результатов в постановке и разрешении смешанной задачи газодинамики о газовом потоке с до- и сверхзвуковыми областями. Теория стационарного и нестационарного движения крыла в сверхзвуковом потоке достигла своего расцвета в исследованиях группы советских ученых Л. А. Галина, М. И. Гуревича, Е. А. Красильщиковой, С. В. Фальковича, Ф. И. Франкля и М. Д. Хаскинда. [c.35]

Никишин В. С. Корректная постановка и численное решение основных и смешанных задач теории упругости для многослойных и непрерывнонеоднородных сред. Автореф. дисс. на соискание ученой степени докт. физ. мат. наук. М. 1982. 36 с. [c.232]

В теоретическом аспекте эти вопросы непосредственно связаны с важной проблемой контактного взаимодействия тел в широком смысле, одно из которых в данном случае является тонкостенным телом. Учет тонкостенпости в рамках различных допущений и теорий приводит, вообще говоря, к новым постановкам задачи контакта деформируемых тел, существенно отличным от постановок классических контактных задач теории упругости. В результате возникает класс новых задач механики сплошных сред со смешанными краевыми условиями. Несмотря на своеобразие указанных задач, они по своей физической природе и структуре описывающих их уравнений родственны обычным контактным и смешанным задачам. Поэтому для их изучения могут быть использованы многие фундаментальные результаты и методы, изложенные в обзорной монографии [1], подытожившей развитие в СССР (до 1975 г.) проблемы контактного взаимодействия тел. [c.9]

В четвертой главе рассматриваются пространственные смешанные задачи для упругих тел, усиленных накладками. Здесь дается постановка и решение задачи о контакте узкой прямоугольной накладки конечной длины с упругим полупространством. Обсуждается контактная задача о напряженном состоянии упругого полупространства, усиленного узкой прямоугольной накладкой бесконечнбй или полубесконечной длины. Рассматривается осесимметричная контактная задача о передаче нагрузки от круглой накладки к упругому полупространству. Решается задача о взаимодействии цилиндрической накладки конечной длины с упругим бесконечным сплошным цилиндром или с бесконечным пространством нри наличии в нем цилиндрической полости. Наконец, рассматривается равновесие тяжелого упругого шара, усиленного симметрично относительно экватора сферической поясо-вой накладкой и подвешенного при помощи нерастяжимых лент к одной неподвижной точке. Обсуждаются различные постановки этой задачи. [c.12]

Манжиров A.B. О действии произвольной системы жестких штампов на основания со сложной реологией постановки, методы, расчеты // Смешанные задачи механики деформируемого тела. П1 Всесоюзная конференция. Харьков, 3-6 июня 1985 г. -Харьков, 1985. [c.305]

В самой общей постановке вариационная задача сопряженной термоупругости для неоднородного и анизотропного тела сформулирована в работе [17а]. Начальные условия заданы для перемещений, скоростей перемещений и температуры, граничные условия носят смешанный характер и заданы на различных частях поверхности тела для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока. При помощи операции свертки со специальными функциями в уравнениях сопряженной термоупру-гости исключены производные по времени, и вариационные принципы сформулированы для произвольного момента времени. Сформулированы общий вариационный принцип, эквивалентный [c.240]

Смешанные задачи, которые имеются здесь в виду, могут быть двоякого рода. Во-первых, это динамические задачи о действии штампа на упругое тело. В простейших постановках под телом понимается упругое полупространство, а штамп рассматривается либо в виде бесконечной полосы (плоская задача), либо круговой в плане (Л. М. Флитман, 1959 Н. М. Бородачев, 1960). Задачи такого типа решались аналитически, но для завершения требовали расчета последовательных типов дифракции на краях штампа или обращения к длинноволновой асимптотике. Предполагалось, что касательное напряжение на подошве штампа отсутствуют (свободное проскальзывание). [c.300]

Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распределению смещений соответствует случай так называемой антиплоской деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле, возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова (1961). В отличие от трещин нормального разрыва и трепщн поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь возможно непосредственное применение широко развитых методов и результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидродинамики. В указанной работе были получены точные решения задач для бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами, нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением (аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном. в 1961 г.). Здесь же исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин, расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига, а также трепщн, форма которых мало отличается от прямолинейной или круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь- [c.386]

Трансзвуковая газодинамика использует в качестве математического аппарата теорию уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа— как в процессе постановки математических задач, так и при качественных исследованиях. [c.10]

Вопрос о постановке корректной задачи в М-области относится к компетенции теории нелинейных уравнений смешанного типа. Наиболее существенным образом нелинейность уравнений проявляется вблизи звуковой линии — линии изменения типа уравнения. Действительно, если предположить, что коэффициенты квазилинейного уравнения, которые на самом деле зависят от решения краевой задачи, известны, то полученное таким образом линейное уравнение может быть приведено к одной из канонических форм. Тип канонической формы и определяет характер вырождения уравнения вблизи звуковой линии, который проявляется наиболее существенным образом в вопросе о правильной постановке основных краевых задач. Так, теорема М. В. Келдыша (см. гл. 1, 18) в зависимости от типа канонической формы устанавливает корректность либо задачи Дирихле, либо задачи Е в области эллиптичности, примыкающей к линии вырождения. [c.223]

Графические методы (метод характеристик) расчета сверхзвуковых обтеканий тел в случае плоского движения, разработанные А. Буземаном, для случая осесимметричных течений обязаны своим развитием главным образом двум советским ученым И. А. Кибелю и Ф. И. Франклю. Ф. И. Франкль в целом ряде работ, начало которых восходит к 1944 г., продвинул вперед постановку и решение труднейшей задачи современной газовой динамики — смешанной задачи о газовом потоке с до- и сверхзвуковыми областями, за рубежом составившей предмет фундаментальных исследований Трикоми, Гудерлея и др. В исследованиях советских ученых Л. А. Галина, М. И. Гуревича, Е. А. Красильщиковой, С. В. Фальковича, Ф. И. Франкля и М. Д. Хаскинда теория стационарного и нестационарного движения крыла в сверхзвуковом потоке получила свое дальнейшее развитие. [c.36]

С использованием разработанных Н. И. Мусхелишвили методов и указанной выше формулы Келдыш а — Седова, А. И. Бегиашвили [86] получил решение для произвольного числа штампов. Только к этому моменту намечается оживление исследований в этом разделе науки за рубежом. Смешанная задача в постановке В. И. Абрамова была рассмотрена X. Окубо [434]. Однако решение с использованием специальных функций было получено в рядах. [c.15]

Изложенные выше исследования, охватывающие смешанные задачи теории функции комплексного переменного и их приложения к плоским контактным задачам теории упругости, позволяют сделать вывод о том, что к началу 50-х годов разработка методов решения таких задач для однородной области была в основном закончена. Дальнейшие исследования в этом направлении были связаны как с постановкой физически новых задач, так и с решениями смешанных задач для областей гораздо более сложной геометрии, что, в свою очередь, привело к разработке таких математических методов решения этих задач, как интегральные преобразования и парные интегральные уравнения, парные тригонометрические ряды, интегральные и иитегро-дифференциальные уравнения и системы уравнений и др. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...