Ранг тензора

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Тензором называют физический или геометрический объект, который в трехмерном пространстве аналитически определяется системой 3 чис л — компонент тензора. Число п определяет ранг тензора. Так, например, вектор аналитически определяется системой трех чисел — проекций вектора на оси координат или компонент вектора, а потому он является тензором первого ранга, так как 3" = 3 п /1=1. [c.110]

Степень п однородности этих форм называется рангом тензора. [c.45]

Сумма —результат действия свертывания по индексам а и Р, выполненного над тензором Т а.]. Покажем, что действие свертывания по одной паре индексов понижает ранг тензора на две единицы, т, е. величины являются компонентами тензора первого ранга, т. е. компонентами вектора. Чтобы это доказать, надо рассмотреть закон преобразования величии Та ,. На основании формул преобразования (1.71) имеем [c.57]

Соотношение (Ь) — формула преобразования компонент вектора. Итак, действительно, видим, что в результате свертывания тензора второго ранга мы получили вектор. Ранг тензора снизился на две единицы. [c.58]

Как пример рассмотрим мультипликативный тензор с компонентами а б . Умножая этот тензор на метрический тензор получим смешанный тензор четвертого ранга, дважды ковариантный и дважды контравариантный. Произведем свертывание по двум парам индексов. Ранг тензора снизится на четыре единицы, и мы получим тензор нулевого ранга, или скаляр [c.58]

В дальнейшем нам придется иметь дело с тензорами только второго ранга, в связи с чем указание ранга тензора будет опускаться. [c.116]

Итак, напряженное состояние в точке характеризуется девятью величинами ац, которые являются компонентами тензора второго ранга — тензора механических напряжений [c.117]

Девять величин ец образуют тензор второго ранга — тензор деформации. [c.120]

Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины (укт составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор о называется контравариантным тензором напряжений. [c.36]

РАНГ ТЕНЗОРА. Тензор нулевого ранга — скаляр — величина, не зависящая от преобразования координат. [c.41]

X,-./ Тензор второго ранга Тензор второго ранга Тензор четвертого ранга [c.42]

Иногда для тензора используется обозначение его компонент, например bij — тензор третьего ранга (ранг тензора совпадает с числом свободных индексов при его компонентах). [c.393]

Умножение тензоров. Перемножать можно любые тензоры (любого ранга и любого строения) в заданном порядке. Ранг тензора-произведения равен сумме рангов тензоров-сомножителей Например, в результате тензорного умножения тензора второго ранга XA .j) на тензор третьего ранга получим тензор пятого ранга, компоненты которого определяются равенством [c.411]

Свертывание тензора возможно только по индексам, один из которых верхний (контравариантный), а другой нижний (ковариантный). Свертывание по паре индексов приводит к снижению ранга тензора на две единицы. [c.411]

Правая часть этого равенства представляет собой функцию нулевой степени относительно направляющих косинусов 1 , mi,. .., Итак, ранг тензора совпадает со степенью относительно направляющих косинусов Lx, nil, . 3. функции, представляющей собой правую часть формул преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы ортогональных координатных осей к другой аналогичной системе. [c.772]

На диаграмме цифра в круглых скобках показывает ранг тензора, коим является соответствующая величина, цифра в квад- [c.468]

Здесь цифры, показанные справа и снизу от матриц, обозначают размеры блоков матриц. В соответствии с рис. 15.6 коэффициенты упругости — тензор четвертого ранга. Ранг тензора, компонентами которого являются элементы в блоках квадратной матрицы в (15.51), равняется сумме рангов тензоров, входящих в соответствующие зависимости, где эти элементы суть коэффициенты. Вследствие симметрии тензоров напряжений и деформаций, порядок матрицы С коэффициентов упругости (см. (7.3)) получается не девятый, а шестой. [c.469]

Умножение тензоров удобнее всего привести к умножению их матриц. При этом все операции и свойства произведения тензоров имеют те же особенности, что и произведения матриц (см. гл. 4 стр. 24) и, в частности, произведение тензоров некоммутативно т. е. если Р w Q два каких-либо тензора, то PQ QP. Ранг тен зора-произведения равен сумме рангов тензоров сомножителей [c.61]

Заметим, что в более общем случае анизотропной среды величина у (г) есть симметричный тензор второго ранга (тензор электрической проводимости [42]) [c.140]

Эффекты распространения монохроматич, эл.-магн. волн в условиях М. п. удобно описывать с помощью тензора нелинейной восприимчивости и) (ранг тензора — 2т см. Нелинейная оптика). Мнимая часть этого тензора ответственна [c.166]

Из свойств преобразований Лоренца следует, что ранг тензора может быть понижен на 2 (т—V) [c.498]

Отсюда следует, что компоненты напряжения являются компонентами симметричного тензора второго ранга - тензора напряжения [c.29]

Складывать и вычитать можно тензоры одного ранга, компоненты которых имеют одинаковое строение индексов. При этом получается тензор того же ранга, компоненты которого равны сумме (разности) соответствующих компонент заданных тензоров. Тензорным, или внешним произведением тензоров является тензор, компоненты которого равны произведениям компонент тензоров-сомножителей. Индексы в обозначении компонент тензора-произведения повторяют индексы в обозначении компонент первого, а затем второго сомножителя. Поэтому умножать можно тензоры любого ранга с любым строением индексов. Ранг тензора-произведения равен сумме рангов тензоров-сомножителей. На- [c.39]

Интенсивность деформаций и интенсивность деформаций сдвига. Как и любой симметричный тензор второго ранга, тензор бесконечно малых деформаций Tt. можно разложить на шаровой тензор Ре и девиатор D = Ре. Л- De, или в матричной форме в прямоугольной декартовой системе координат [c.91]

Как видно, ранг тензора имеет двойственное определение. С одной стороны, ранг равен показяте.дю степени, в которую надо [c.45]

II вообще осреднение по фазам не меняет тензорного характера и тензорного ранга осредняемых величин, а именно скаляр остается скаляром, вектор — вектором, тензор 2-го ранга — тензором 2-го ранга, симметричный (антисимметричный) тензор остается соответственно симметричным (аитисиммет-ричиым). [c.50]

При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования. Следовательно, скаляр является тензором нулевого ранга. Тензор первого ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству [c.167]

Тензоры различаются по валентности или по рангу, под которыми понимают измерения входящих в полиадные произведения векторов или количество индексов в обозначении компонентов тензора. Так, например, ранг тензора, составленного из полиадных произведений (1), равен п. Таким образом, очевидно, что векторы являются тензорами первого ранга и скалярные величины — нулевого ранга. [c.58]

Термодинамические силы Х и Хт являются тензорами первого ранга (векторами) поэтому между ними возможно сочетание. Это сочетание дают налагающие явления переноса эффект Соре при молекулярном переносе тепла я эффект Дюфо при диффузии вещества. Одна1КО сочетания теплопроводности или диффузии с химическими и фазовыми превращениями быть не может, так как разница в рангах между силами А и и Ai или между Х . и Ai равна единице (нечетное число). Так же не может быть сочетания между молекулярными переносами тепла и количества движения или между диффузией и внутренним трением, так как термодинамические силы молекулярного переноса тепла и массы являются тензорами первого ра нга, а термодинамические силы молекулярного переноса количества движения — тензоры второго ранга (разница в рангах тензоров выражается нечетным числом). Однако в некоторых частных случаях внутреннее трение можно рассматривать как молекулярный перенос кинетической энергии движения потока жидкости, который происходит под действ ием термодинам1ической силы — кинетической энергии движения (градиент от скаляра). В этом случае возможно сочетание между молекулярными переносами тепла, массы вещества И энергии движения жидкости, так как все они описываются действием термодинамических сил, которые являются тензорами одинакового ранга (векторами). На основании принципа Кюри возможно сочетание между молекулярным переносом количества движения (объ-емиая вязкость) и процессами химических и фазовых превращений, так как в первом случае силы Л,- являются тензором нулевого ранга, а во втором случае — тензором второго ранга. Следовательно, разница в рангах тензоров равна двум (четное число), и поэтому сочетание между ними возможно. [c.13]

Операция перехода к Д, т. используется для ковари-антного обобщения дивергенцин б/ (понижающей ранг тензора) 6,-== ( t)(3/9а ) (=. Для тензора Т - - тина к, 0) имеем [c.23]

Симметрия макроскопич. свойств кристалла определяется точечной группой его симметрии (G) и не может быть ниже последней Неймана принцип). Иными словами, группа собств. симметрии G материального тензора, описывающего то или иное физ. свойство такой среды (кристалла), включает элементы симметрии G, т, е. является надгруиной G (G G). Собств. симметрия тензоров часто описывается иродсльиыми группами точечной симметрии. Нек-рые величины, характеризующие свойства кристаллов (плотность, теплоёмкость), являются скалярными. Взаимосвязь между двумя векторными полями (напр., между поляризацией 1 и напряжённостью электрич. поля JS, плотностью тока. и Ш) или псевдовекториыми величинами (наир., между магн. индукцией В и напряжённостью маго. поля Н) описывается тензором 2-го ранга (тензоры ды-алектрической восприимчивости, электропроводности, [c.514]

Операции дифференцирования и интегрирования в частной О, т. могут быть представлены в ковариант-ном виде. Взятие частной производной по дЮх повышает ранг тензора на единицу с появлением ковариант-ного индекса ц (простейший пример — вектор йф/ х , где ф — скаляр). [c.499]

На каждой координатной площадке три состав1Ляющих образуют вектор полного напряжения на плои1адке с нормалью. v — вектор Рх, на площадке с нормалью у Ри и на площадке с нормалью г — р,. Совокупность трех векторов Рх, Рь ч Рг- определяемых девятью со ставляющими, которые при перемене координатных осей преобразуются по формуле (1,4), называется аффинным ортогональным тензором второго ранга Тензором первого ранга является вектор В дальнейшем изложении сокращенно будем называть его просто тензором, а девять составляющих компонентами тензора. [c.21]

Формула (1.1.16) показьшает, что компоненты деформации е - являются компонентами симметричного тензора второго ранга - тензора деформации [c.22]

Ранг тензора г равен числу индексов в обозначении его компонент. Число компонент тензора с каким-либо определенным строением индексов равно 3 , т, е, числу управляющих полиадных произведений векторов базиса. Тензор называется нулевым, если все его компоненты равны нулю. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...