Коранг критической точки

Определение. Корангом критической точки функции называется размерность ядра ее второго дифференциала в критической точке. [c.12]

Коранг критической точки 12 Корин квазиоднородной алгебры 45 Кратность критической точки 14, 159 [c.254]

В типичных двупараметрических семействах (или прв или вообще для особенностей А ) коранг критических точек не превосходит 1, поэтому теорема сведения редуцирует задачу к задаче о функциях на прямой. Таким образом теорема сведения обосновывает утверждение Тома для типичных одно- и двупараметрических семейств функций. [c.126]

Вообще, коранг критической точки равен размерности векторного пространства решений (ai) уравнений (L). [c.17]

Отсюда же видно, что коранг критической точки совпадает с размерностью векторного пространства (а- ) решений уравнения (Ь). [c.111]

Предложение 3. Точка р 9 0 является критической для 9 (к) тогда и только тогда, когда существует система не обращающихся одновременно в нуль фейнмановских параметров (аО, удовлетворяющих уравнениям Ландау. Возможные системы фейнмановских параметров образуют векторное пространство, размерность которого равна корангу критической точки в пространстве-образе). [c.151]

Очевидно, что коранги эквивалентных критических точек совпадают, поэтому коранг является простейшим инвариантом особенности. [c.13]

Строение главных особенностей. Доказав в п. 2.3 выпуклость особенностей Ландау, мы убедились в том, что в этих точках не может быть слишком заметных неприятностей (таких, как точка возврата, и др.), по крайней мере вне массовой поверхности. В главе I мы докажем значительно более точный результат, справедливый как на массовой поверхности, так и вне ее, и относящийся к строению главных особенностей графов. Рассмотрим критическую точку коранга 1, т. е. точку, в которой уравнения (L) удовлетворяются единственной системой параметров ai (с точностью до общего множителя) ). Мы назовем такую критическую точку главной, если все параметры а,- строго положительны ). Образ главной критической точки мы будем называть главной точкой Ландау (рассматриваемого графа) . В главе I мы докажем, что все главные особенности являются особенностями типа Si в классификации Тома это означает (ср. приложение I), что ситуацию в окрестности критической точки можно описать следующим образом [c.17]

Изучение критических точек коранга 1. Критическими точками коранга 1 являются такие точки, для которых векторное пространство решений (а ) уравнений (Ь) имеет размерность 1. Поставим перед собой задачу выяснить характер этих критических [c.51]

Получаются также очень сильные ограничения на критические точки коранга > 1. Если существует решение ( г > 0) уравнений Ландау, то всякое достаточно близкое решение также будет положительным, и, применяя предыдущее рассуждение, мы для критической точки коранга г получим [г— )-параметрическое семейство гиперплоскостей, опорных по отношению к видимому контуру. Итак, всякая особенность коранга >1 имеет вид клина (ср., например, рис. 23). Но это совсем не тот вид, который имеют особенности общего положения по Тому (определение которых мы напоминаем в приложении I). Следовательно, особенности коранга >1 для графов мно- [c.56]

Чтобы отыскать причину этого своеобразия, забудем о треугольной диаграмме, приведенной вначале этого параграфа, и рассмотрим одно стягивание О - Со, имеющее строго эффективную критическую точку х коранга 2, т. е. такую, в которой урав- [c.63]

Все эти рассуждения позволяют понять, почему топологическая классификация треугольных диаграмм отображений, предпринятая в приложении И, неприменима к нашей проблеме исследования критических точек коранга 2 скорее нужно было бы изучать топологические типы квадратных и даже более сложных коммутативных диаграмм. В случае когда плоскость векторов а. пересекает еще и другие [c.64]

Упражнение. Квадратная диаграмма, изображенная на рис. 24, принадлежит к числу самых простых диаграмм, допускающих критические точки коранга 2. Исследуйте их множества Ландау (обратите [c.65]

Ясно, что результаты А. I. 1 можно сформулировать следующим образом точка у является критической точкой коранга г тогда и только тогда, когда 5 (у) е Рг- [c.112]

Множество трансверсально критических точек коранга г является подмногообразием 5г размерности р — т — г(п — т + а) ). [c.112]

А. 1.3.1. Замечание. В случае, когда коранг равен 1 (г = 1), пара уравнений (Ехс) идентична паре (Тр) с точностью до того, что дифференцирование по yj заменяется дифференцированием только по Х). Следовательно, если уравнения (Ехс) не удовлетворяются, то и уравнения (Т 5) тем более не удовлетворяются. Это означает, что мы имеем обыкновенную трансверсально критическую точку коранга 1, т. е. особенность типа 51. [c.118]

Во второй части мы увидим, что фейнмановские параметры допускают физическую интерпретацию с точностью до множителя, как отрезки времени между моментами рождения и уничтожения соответствующих частиц. Таким образом, критические точки, в которых фейнмановские параметры могут быть выбраны неотрицательными, будут играть привилегированную роль. Мы назовем их эффективными критическими точками. Если, более того, коранг равен 1 (т. е. фейнмановские параметры определены однозначно с точностью до множителя пропорциональности), [c.151]

Набросок доказательства. Особенность Морса функции характеризуется невырожденностью квадратичной формы — гессиана функции, определенного матрицей вторых частных производных. Аналогично, в случае отображения, имеющего критическую точку коранга 1, на ядре касательного отображения можно определить квадратичную форму, называемую трансверсальным гессианом (определенную с точностью до умножения на ненулевое число), невырожденность которого будет характеризовать тип 51 особенности. Тип 51 с нулевым трансверсальным индексом будет характеризоваться положительной определенностью (или отрицательной определенностью) трансверсального гессиана. Я не имею возможности дать здесь формальное определение трансверсального гессиана, а просто укажу, как он вычисляется в настоящей ситуации это квадратичная форма [c.153]

Предложение 4 дает лишь локальную информацию. Но некоторая глобальная информация легко может быть получена следующим образом. Пусть (Ог)—эффективная критическая точка произвольного коранга выберем систему (а ) неотрицательных фейнмановских параметров, удовлетворяющих уравнениям Ландау в р<=. На евклидовом пространстве Ш (Ог) рассмотрим линейную функцию [c.154]

Было бы интересно исследовать возможные топологические типы критических точек коранга > 1. В противоположность случаю коранга 1, они, по-видимому, не являются точками общего положения. [c.155]

Пример. Коранг морсовской критической точки равен нулю коранг критической точки функции f=xl +x +... равен единице. [c.12]

Особеиности коранга один. Для критических точек кратности ц З, т. е. для всех, встречающихся в типичных одно- и двупараметрических семействах функций (и, более общим образом, для всех критических точек Л ), утверждения а), Ь) и с) верны. Это следует из того, что они, очевидно, верны на прямой. Градиентная система с особенностью типа Л , вместе со своей версальной деформацией, сводится к одномерной градиентной системе по общей тесюеме сведения, доказанной в 1971 г. А. И. Шошитайшвили [96], [97]. Исследование градиентных систем (и их бифуркаций) с точностью до гомеоморфизмов эта теорема сводит для критических точек ко- [c.125]

Для всех особенностей коранга. 2, упоминаемых в таблиг цах п. 2.2, локальные лакуны либо описаны в п. 2.1, либо конструируются следующим образом. Вначале строится подходящее шевеление ф( функции q>(Xl,X2), которое имеет ровно х(/) вещественных морсовских критических точек (где (X (/) = (X (ф) — число Милнора функций ф), причем все седла имеют критическое значение О (то есть соответствуют трансверсальным самопересечениям кривой Ф=0), минимумы имеют отрицательные критические значения, максимумы — положительные. (Такие шевеления играют ключевую роль в вычислении диаграммы Дынкина особенностей коранга 2, см. 56], [103].) Эти шевеления изображены на рисунках 126—134, при этом отмечены знаки функции ф в различных компонентах дополнения к множеству нулёвого уровня. Конечно, такое шевеление лежит на дискриминанте, однако его можно дополнительно сколь угодно мало пошевелить так, чтобы критические значения в минимумах и максимумах сохранили свой знак, а значения в седлах сдвинулись с нуля в сторону, предписанную заранее для каждого седла. На рисунках 12 —134 те седла, критические значения в которых надо сдвинуть вверх (вниз), изображены белым (соответственно, черным) кружком. [c.229]

Б. Остро стоит задача о вычислении начальных данных для особенностей коранга 3. Пусть / — вещественная особенность. Нужно предъявить произвольную ее морсификацию и набор параметров а)—г) из п. 3.2 для этой морсификацин, вычисленный, в базисе исчезающих циклов, определенном описанной выше системой путей и правилами ориентации. В случае, если все критические точки этой морсификацин — вещественные, циклы Петровского вычисляются через остальные, показатели с помощью формул (1), (2). [c.239]

В. Существуют ли вещественные изолированные особенности, не имеющие морсификаций, все критические точки которых вещественны В [ЮЗ] доказано, что таких особенностей коранга 2 нет. [c.239]

Поставим первый вопрос удовлетворяется ли условие трансверсальности из приложения I Согласно формулам этого прилолсения, нетрансверсальность для критической точки коранга 1 эквивалентна существованию четырехмерных векторов Vu, не всех равных нулю, и скаляров р,, таких, что [c.52]

Определение (Р. Том). Критическая точка у коранга г называется трансверсально критической, если отображение 8 трансверсально в точке у над Рг, т. е. если график отображения 5 пересекает 8ХРг трансверсально в точке 5 (у) (рис. 41). [c.112]

Пусть дана функция и 5 К. Критическая точка — это точка, в которой градиент д1/д1 обращается в нуль (через мы обозначили локальную систему координат на 5) очевидно, что всякая критическая точка имеет коранг 1. Если эта точка трансверсально критическая, то она является изолированной критической точкой, и мы имеем ситуацию типа 51. Условие трансверсальности в этом случае выражается необращеннем в нуль гессиана (определителя из вторых производных) функции В этом случае всегда можно выбрать координаты таким образом, чтобы < записывалась в следующем виде [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...