Уравнения канонические динамики

Существенные результаты для случая га = 3, но при ограничительном предположении, что система дифференциальных уравнений есть система уравнений классической динамики (каноническая система) и, следовательно, обладает интегральным инвариантом, получил Ж. Адамар Он дал классификацию возможных в этом случае траекторий, которые совпадают с геодезическими линиями поверхности отрицательной кривизны. Эти геодезические линии, как оказалось, могут быть трех категорий. Первую составляют замкнутые линии, иначе говоря, периодические орбиты, и геодезические, асимптотические к замкнутым геодезическим. Вторую составляют линии бесконечного удаления или, если угодно, отбрасывания на бесконечность. Они расположены на бесконечных полах поверхности. Третью и последнюю категорию образуют геодезические, которые остаются целиком в конечной области, и таких линий заведомо существует бесконечно много. [c.136]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Уравнения (4.12), (4.13) по форме аналогичны классическим каноническим уравнениям аналитической динамики, но по существу отличаются от них тем, что в правых частях этих уравнений сохранены производные Если исключить эти производные, то уравнения (4.13) заменяются уравнениями (4.15) или (4.16), не определяющими производные от обобщенных импульсов в отдельности, т. е., по существу также не являющимися каноническими уравнениями. [c.96]

Всякий раз, когда говорят о гамильтоновой структуре уравнений, описывающих динамику какой-либо непрерывной (бесконечномерной) системы, по существу имеют в виду специальный способ записи этих уравнений. Наиболее известна классическая или каноническая форма записи. В этом случае система описывается четным числом уравнений [c.182]

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ [c.374]

Это выражение называется скобками Пуассона. Применяя это обозначение скобок Пуассона, получаем следующее условие, которому должна удовлетворять функция /, являющаяся интегралом канонических уравнении динамики [c.375]

Канонические уравнения применяются, главным образом, при исследовании теоретических проблем аналитической механики,в особенности при изучении общих методов интегрирования уравнений динамики. Широко применяются канонические уравнения и в небесной механике. С другой стороны, их применение к простейшим конкретным задачам не приводит к большей эффективности по сравнению с решением, основанным на уравнениях Лагранжа второго рода. [c.149]

Таким образом, вопрос об интегрировании системы канонических уравнений динамики приведен к интегрированию дифференциального уравнения (11.350) в частных производных первого порядка. Дифференциальное уравнение (11.350) далее будем называть уравнением Остроградского — Гамильтона — Якоби ) [c.356]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Предположим, что система уравнений (11.379)—каноническая система уравнений динамики [c.388]

Доказанная теорема позволяет сделать вывод, аналогичный приведенному в 127. Переход от одной точки в многообразии изображающих точек, соответствующих системе канонических уравнений динамики, к другой точке Этого многообразия можно рассматривать как результат бесконечной последовательности бесконечно малых канонических преобразований, определенных формулами (II. 388). [c.388]

После этих замечаний можно прийти к заключению, что построение одной дифференциальной формы, инвариантной относительно систе.иы уравнений (II. 379) ила относительно канонической системы дифференциальных уравнений динамики, позволяет построить ряд инвариантных дифференциальных форм. [c.389]

Касательные, или канонические, преобразования обладают одним весьма полезным свойством, облегчающим интегрирование уравнений динамики. Вместо прежних переменных р.- введем новые переменные i, Pi, удовлетворяющие условию касательного преобразования [c.278]

Приложение к каноническим уравнениям. Теория множителя находит в уравнениях динамики одно из своих главных приложений. [c.405]

Мы показали, что интегрирование системы канонических уравнений сводится к нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Это положение имеет не только теоретический интерес. Оказалось, что многие задачи динамики и в том числе задачи, представляющие интерес для теоретической физики, получают на этом пути свое удобное практическое решение. [c.162]

Движение фазовой жидкости как непрерывное выполнение канонических преобразований. Результаты предыдущего пункта пролили новый свет на природу уравнений динамики. Если разделить левые и правые части уравнений (7.7.12) на At, а затем устремить At к нулю, то в пределе мы получим дифференциальные уравнения [c.253]

Вторая часть этого тома содержит динамику твердого тела, канонические уравнения, вариационные принципы и теорию удара. Первый том курса будет выпущен вслед за вторым. [c.4]

Следовательно, развивая метод характеристической функции, мы вновь получили уравнения, имеющие форму уравнений динамики, с той лишь разницей, что раньше были получены уравнения, имеющие форму уравнений Лагранжа, теперь же — канонические уравнения, введенные в динамику Гамильтоном. [c.813]

Таким образом, канонические уравнения Гамильтона применимы к задаче движения заряда в электромагнитном поле, но, в отличие от динамики, Н уже не является однородной квадратичной функцией моментов, даже в нерелятивистском приближении. [c.857]

В уравнении Гамильтона переменными, которые определяют движение механической системы, являются обобщенные координаты q и обобщенные моменты р. Гамильтонова функция W(p, q), которая входит в гамильтоновы уравнения, обычно является функцией обеих этих переменных. Если мы преобразуем переменные q и р в новые переменные q и р посредством какого-либо произвольного преобразования, общая форма гамильтоновых уравнений изменится. Однако Якоби показал, что существует некоторое преобразование, отличающееся тем свойством, что оно оставляет форму этих уравнений неизменной. Так как уравнения Гамильтона часто называются каноническими уравнениями динамики, то указанным преобразованиям было дано наименование канонических преобразований. Канонические преобразования представляют собой специальный случай касательного преобразования. Касательное преобразование в трехмерном пространстве определяется так [c.915]

Интерпретация динамики в пространстве Q. Лучи и волны в когерентной системе ). Пространство конфигураций Q, в котором координатами изображающей точки являются N обобщенных координат qp динамической системы, дает ее наиболее естественное геометрическое представление. Если система состоит из одной частицы, то изображающая точка в пространстве Q совпадает с положением частицы в обычном пространстве. Всему, что сказано в гл. Д II о динамике в пространстве QT, можно дать интерпретацию и в Луч или траектория (которые были некоторой кривой QT) появляются в Q как движущаяся точка время t здесь является только параметром, но не координатой координаты qp и сопряженные им импульсы Рр удовлетворяют каноническим уравнениям [c.268]

В первой серии исследовалось влияние начальных и параметрических возмущений на качество неадаптивного стабилизирующего управления КИР. Управление формировалось по формуле (8.13), где вместо неизвестных параметров использовались некоторые их оценки, а в качестве матрицы коэффициентов усиления Го была взята устойчивая (4x4) матрица канонического вида с собственными числами = —11, = —12, .3 = —13, 4 = = --14. Длина такта управления и шаг интегрирования уравнений динамики равнялись 0,005 с. [c.302]

В названном мемуаре Остроградский рассматривает вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного числа неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, и доказывает, что задача может быть сведена к интегрированию канонических уравнений Гамильтона, которые можно рассматривать как такую форму, в которую можно преобразовать любые уравнения, возникающие в вариационной задаче. Это преобразование не требует никаких операций, кроме дифференцирования и алгебраических действий. Заслуга такого обобщения задачи динамики принадлежит М. В. Остроградскому. [c.216]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Следуя традициям русских ученых, советские механики стремились на основе анализа экспериментальных данных построить физическую модель течений с большими дозвуковыми скоростями и найти адекватный ей математический аппарат. В такой общей постановке задача об обтекании тел со скоростями, близкими к скорости звука, была решена С. А. Христиановичем В 1939 г. он поставил серию опытов в ЦАГИ и показал, что при числах М, близких к Мкр, необходимо исходить из точных уравнений газовой динамики Чаплыгина. Решение их Христианович получил, использовав преобразование Чаплыгина — Лейбензона, а также новый, предложенный им способ преобразования газодинамических уравнений. Затем он ввел некоторую функцию от скорости, однозначно связанную с приведенной скоростью % = wla и получил канонические уравнения, описываюп ие фиктивный поток несжимаемой жидкости около заданного контура. Это дало возможность свести уравнения Чаплыгина к линейным и найти течение сжимаемой жидкости около контура, близкого к соответствуюш ему заданному контуру. Такой метод позволял определять подъемную силу, ее момент, поле скоростей около профиля, находящегося в потоке сжимаемой жидкости под небольшим углом атаки. [c.321]

Третья часть дисциплин учебного плана относится непосредственно к теоретической механике. Здесь изучаются аналитическая динамика и дополнительные главы теоретической механики, куда рходят, например, вопросы устойчивости равновесия и движения механических систем, вариационные принципы механики, канонические уравнения, канонические преобразования, механика тел переменной массы и др. В этой же части изучается курс по методике преподавания математики и теоретической механики. На семинарах по этому предмету все слушатели выступают с дою1адами по предложенным самими слушателями темам. Такие семинары проходят с повышенной активностью слушателей, ибо они затрагивают наиболее интересные дискуссионные и близкие для преподавателей вопросы преподавания курса теоретической механики и смежных ДИС1ЩПЛИН. [c.65]

Для решения задач динамики механических систем со многими степенями свободы методы, принятые в классической теории механизмов и машин, оказываются несостоятельными. Эти задачи требуют более мощного аппарата общей механики и математики, в частности применения дифференциальных уравнений движения механических систем в лагранжевых и канонических 1еременных, а также теории линейных и нелинейных колебаний. [c.53]

Докажем теорему Пуассона ссла известны два интеграла системы канонических уравнений динамики [c.379]

Относительная краткость курса потребовала щателыюго отбора теоретического материала и примеров, поясняющих основные разделы курса. В курс включен ряд дополнительных разделов, В динамике достаточно полно изложена общая теория малых колебании механических систем с одной н двумя степенями свободы. В аналитическом динамике даны канонические уравнения Гамильтона и принцип Остроградского—Гамильтона. Расширена глава Динамика твердого тела с одной закрепленной точкой . Наряду с приближенной теорией гироскопа дополнительно изложена точная теория гироскопического момента при регулярной прецессии. В специальных главах изложены также элементы теории искусственных спутников и основные сведения по движению точки переменной массы. [c.3]

Центральное место в книге принадлежит аналитической механике, включающей различные формы уравнений движения, механику неголономных систем, теорию колебаний и устойчивости, классические методы интегрирования канонических уравнений динамики, включающие теорию интегральных инвариантов. В иеголономной механике получили дальнейшее развитие основные представления тензорного исчп-сления. Эти представления перенесены далее в механику сплошной среды. [c.2]

Каждому первому интегралу уравнений (II. 379) соответствует частное решение уравнений в вариациях (П.381Ь), если уравнения (11.379)—канонические уравнения динамики. [c.387]

Одной из привлекательных сторон этой упрощенной системы уравнений, основанной на нолитроничности газа и несжимаемости жидкости, является то, что в рамках такой схемы анализ слабых возмущений сводится к анализу канонических уравнений, используемых и изученных в различных разделах волновой динамики (см. ниже 3 и 6 гл. 6). [c.105]

Вторая часть второго тома Курса теоретической механики Т. Леви-Чивита и У. Амальди. посвященного изложению динамики систем с конечным числом степеней свободы, содержит динамику твердого тела, канонические уравнения динамики, общие принципы динамики и теорию удара. [c.4]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Уравнения (15) имеют форму канонических уравнений динамики и выражают распространение поверхности V = onst как касательное преобразование вдоль луча. [c.813]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Это — система 2N уравнений. Если положить в основу динамики поверхность энергии в пространстве QTPH, то уравнения движения можно свести к системе 2N уравнений с сохранением канонической формы, если при этом [c.317]

При изучении гамильтоиовой динамики в нужно рассматривать время i как параметр, а гамильтониан — как заданную функцию Я (д, t, р) переменных (q, р) и этого параметра. Канонические уравнения [c.334]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли (1842—1899), и вся теория приняла удивительно стройный и красивый вид в механику вошли новые идеи, характерные для математики конца XIX в. Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равносильно интегрированию уравнения в частных производных так называемого уравнения Гамильтона — Якоби. [c.217]

Основополагающими работами в области аналитической механики являются исследования советских ученых по уравнениям динамики в групповых переменных. В 1927— 1928 гг. Четаев вывел уравнения Пуанкаре в новой, канонической форме и обобщил их на случай нестащюнар-лых связей. Эти результаты были им развиты в 1941 г. Было показано, писал Четаев, что весьма интересная мысль Пуанкаре о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна . [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...