Метод характеристических функци

Термодинамическое исследование физических явлений основывается на использовании начал термодинамики. Само применение начал термодинамики для решения физических задач осуществляется двумя способами. В соответствии с этим различают два метода термодинамики метод циклов (круговых процессов) и метод термодинамических потенциалов (или метод характеристических функций). [c.99]

Метод термодинамических потенциалов, или метод характеристических функций, был развит Гиббсом. Исходным в этом методе является основное уравнение термодинамики [c.101]

Таким образом, для нелинейных операторов не разработано универсальных точных методов исследования, подобных методу характеристических функций, который используется при исследовании линейных операторов. Существуют лишь частные методы исследования специальных видов нелинейных операторов. Эти методы, как правило, очень сложны и поэтому здесь рассматриваться не будут. [c.78]

Следовательно, развивая метод характеристической функции, мы вновь получили уравнения, имеющие форму уравнений динамики, с той лишь разницей, что раньше были получены уравнения, имеющие форму уравнений Лагранжа, теперь же — канонические уравнения, введенные в динамику Гамильтоном. [c.813]

В основе его главных достижений в механике лежал разработанный им в связи с оптическими исследованиями метод характеристической функции . В рамках этого метода Гамильтон наше.и простой способ получения законов сохранения, который можно назвать гамильтоновым вариантом взаимосвязи симметрия — сохранение . Кстати говоря, одно из главных преимуществ раз- [c.230]

Метод характеристических функций позволяет очень просто доказать, что лю- ые линейные комбинации случайных величин. . ., Мл/, имеющих нормальное распределение вероятности, также будут иметь нормальное распределение. Поэтому для задания распределения вероятности таких линейных комбинаций надо только определить их моменты первых двух порядков, которые без труда находятся по моментам первых двух порядков величин ь > л/. [c.191]

Метод характеристических функций [c.248]

Альтернативным подходом является метод характеристических функций [16, 20]. Хотя основная идея этого метода более трудна для понимания, он изящнее метода траекторий и аберрационные коэффициенты появляются в этом методе более естественно. [c.255]

В этой фундаментальной главе была дана простая, но полная теория аберраций аксиально-симметричных фокусирующих систем, включая геометрические аберрации третьего порядка, хроматическую аберрацию и другие источники ошибок. Вначале был введен метод характеристических функций, который образует основу теории. Уравнения (5.65) — (5.67) определяют геометрические аберрации третьего порядка. Значительное внимание уделено сферической аберрации. Разный вид ее коэффициентов дается формулами (5.111), (5.121) и (5.132). Уравнения (5.79) и (5.82) определяют диск сферической аберрации. Уравнение [c.353]

Рассматривая геометрические аберрации третьего порядка как малые возмущения параксиальных траекторий, замечаем,, что аберрационные члены будут зависеть от различных факторов. Члены, обусловленные наклоном траектории, присутствуют всегда и растут с возбуждением линзы. Дополнительные-члены возникают из-за контурных полей, мультипольных компонент и изменений осевого электростатического потенциала. Мультипольные аберрации можно разделить на те же классы,, что и аберрации осесимметричных линз. Однако число коэффициентов аберрации больше вследствие более сложной природы распределений полей. Определение этих коэффициентов аберрации различно в разных публикациях в зависимости от предположений, принимаемых в конкретных ситуациях [37, 362]. К примеру, астигматизм первого порядка квадрупольных систем можно применить в ускорителях частиц, что в свою очередь требует отдельного рассмотрения для стигматических астигматических систем в первом случае определение подобно тому, которое используют для круглых линз, а во втором отклонение оценивается из линейности изображения. Чтобы в общем обеспечить единое представление электронно-ионных оптических свойств мультипольных линз, [363], можно применить метод характеристических функций (разд. 5.1). [c.575]

Введем хроматическую аберрацию мультипольных линз аналогично тому, как для осесимметричных линз (см. разд. 5.3). Как и прежде, коэффициенты хроматической аберрации могут быть выведены с помощью метода характеристических функций. Однако здесь мы воспользуемся гораздо более простым подходом. [c.577]

Рассмотрим комбинацию электростатических и магнитных мультипольных линз дефлекторов [377]. Для этого используем метод характеристических функций, представленный в разд. 5.1. [c.588]

Теперь имеем обе комбинированные функции электростатического и магнитного скалярного потенциалов. Однако для метода характеристических функций необходимы компоненты магнитного векторного потенциала Ах, Ау, Аг. В пространстве, свободном от токов, отношение векторного потенциала А к магнитному скалярному потенциалу о дается уравнениями (1.12) и [c.588]

Метод характеристических функций позволяет просто доказать, что любые линейные комбинации случайных величин, имеющих нормальное распределение вероятности, также будут иметь нормальное распределение. В самом N [c.193]

Пусть г представляет собой сумму п статистически независимых случайных величин в виде у, = sin в,, где 0, имеет равномерное распределение в интервале [О, 2я] Используя метод характеристических функции, покажите, что функция плотности распределения приближается к гауссовой [c.256]

Формальный смысл введения электрохимических и других полных потенциалов — исключение из фундаментальных уравнений зависимых переменных. В сложных системах целесообразнее, однако, пользоваться более общим методом решения, сводя расчет равновесия, как и ранее (см. 16), к задаче на условный экстремум какой-либо характеристической функции, а любые соотношения (уравнения и неравенства), существующие между термодинамическими величинами, рассматривать как дополнительные условия и ограничения, которым должны удовлетворять условно независимые переменные. Покажем еще раз возможности этого подхода на примере расчета электрохимических равновесий, хотя в данном случае он не является кратчайшим путем к решению задачи. [c.148]

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [c.107]

Мы рассмотрели два метода решения задач механики один с помощью главной функции Гамильтона, другой с помощью характеристической функции Гамильтона. Полученные результаты можно записать теперь в виде следующей сравнительной схемы. [c.310]

График функции 5l/ix=o представлен на рис. 1.19 и показывает, что при к < 1 методическая погрешность расчета потенциала рассматриваемой системы методом характеристических поверхностей в точке Х = 0 не пре- [c.50]

Наиболее замечательными случаями, в которых действительно удается указать такой полный интеграл, являются те, к которым приложим метод разделения переменных. Этим мы хотим сказать, что при характеристической функции, не зависящей от t, уравнению Гамильтона — Якоби (п. 38) [c.339]

О системах из трех точек вообще и об их характеристических функциях 212 Общий метод усовершенствования приближенного выражения характеристической функции движения системы в любой задаче дина [c.175]

Этим двум уравнениям в частных производных, начальному и конечному, первого порядка, но второй степени, должна тождественно удовлетворять характеристическая функция V они дают (как мы увидим далее) основное средство для раскрытия формы этой функции V и имеют существенное значение для ее теории. Если бы форма этой функции была известна, то мы могли бы исключить Зп — 1 начальных координат из Зп уравнений (С), и хотя мы еще не можем фактически осуществить процесс этого исключения, мы вправе утверждать, что оно удалит наряду с другими и остающуюся начальную координату и приведет к уравнению (б) конечной живой силы, которое затем могло бы быть преобразовано в уравнение (Р). Подобным же образом мы можем заключить, что все Зп конечных координат могут быть совместно исключены из Зп уравнений (О) и что результатом этого будет начальное уравнение живой силы (7) или преобразованное уравнение (О). Поэтому мы можем рассматривать закон живой силы, который помог нам раскрыть свойства нашей характеристической функции V, как включенный в эти свойства и получающийся в каждом частном случае путем исключения из систем (С) и (О) при рассмотрении любой из этих систем или при проведении любого другого динамического исследования методом этой характеристической функции мы вправе использовать уравнения в частных производных (Р) и (О), которым эта функция необходимо должна удовлетворять. [c.181]

Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было выражено уравнениями в частных производных (Р)], также всегда может быть выражен в относительных координатах он поможет нам раскрыть форму характеристической функции V,, показав, что эта функция включает только такие внутренние координаты (числом бл — 9), которые не меняются при любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как неподвижное, а величина Н, как постоянная. Таким образом, общая задача динамики, касающаяся движений свободной системы п точек, притягивающих или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию функции V,, зависящей от бл — 9 внутренних или относительных координат [ ] и от величины Н, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения, а именно в момент, когда t = О, конечные или переменные координаты были равны их начальным значениям, причем ду, гг [c.199]

Форма (Н2) для характеристической функции бинарной системы может рассматриваться как главное или радикальное соотношение, которое включает всю теорию движения такой системы и все детали этого движения могут быть выведены из него при помощи нашего метода. Однако ввиду того, что теория бинарных систем трудами более ранних авторов доведена до большого совершенства, нам достаточно будет здесь дать вкратце несколько примеров такого вывода. [c.202]

В данном случае мы не станем вдаваться в какие-нибудь подробности такого приложения, но можем отметить, что то обстоятельство, что характеристическая функция включает только эллиптическую хорду и сумму крайних радиусов (кроме среднего расстояния и суммы масс), представляет при помощи нашего общего метода новое доказательство хорошо известной теоремы, заключающейся в том, что эллиптическое время также зависит от той же хорды и суммы радиусов и дает новое выражение для закона этой зависимости, а именно [c.211]

Можно отметить также, что та же форма характеристической функции эллиптического движения при помощи нашего общего метода приводит к следующим любопытным, но не новым свойствам эллипса, заключающимся в том, что если провести к такой кривой две касательные из какой-либо общей внешней точки, то эти касательные стягивают равные углы в одном фокусе, а также стягивают равные углы и в другом. И обратно, если какая-нибудь плоская кривая обладает этим свойством, будучи отнесена к неподвижной точке в своей собственной плоскости, которая может быть принята за начало полярных координат г, в, то эта кривая должна удовлетворять следующему уравнению [c.211]

Тот же закон переменного действия подсказывает еще один метод исследования формы этой характеристической функции, не требующий предварительного интегрирования известных уравнений движения, а именно, интегрирование двух уравнений в частных производных, связанных с законом живой силы [c.215]

Величина Н, в V, и аналогичная величина Н в V,,, действительно, независимы от времени и не меняются в ходе движения, но дух нашего метода требует того, чтобы при выведении абсолютного действия или первоначальной характеристической функции V из двух частей V, и V,, мы рассматривали эти две части Н, и Н первоначальной величины Н как функции, каждая из которых включает девять начальных и девять конечных интегралов точек тройной системы при этом формы этих двух функций восемнадцати координат и Н определяются двумя условиями [c.216]

Общий метод усовершенствования приближенного выражения характеристической функции движения системы в любой задаче динамики [c.220]

Мы можем считать еще одним подтверждением наших собственных общих интегральных уравнений (т. е. уравнений движения в методе характеристической функции .— В. В.) доказательство того, что они заключают в себе не только известный закон живой силы, но также шесть других известных интегралов первого порядка закон движения центра тяжестЕ и закон площадей. Для этой цели необходимо только отметить, что из концепции нашей характеристической функции V с очевидностью сл дует, что эта функция зависит от начальных и конечных положений притягивающихся или отталкивающихся точек системы, не как отнесенных к какому-либо внешнему стандарту, а только как сравниваемых друг с другом следовательно, эта функция не будет меняться, если мы, не делая никаких реальных изменений ни в начальной, ни в конечной конфигурации, ни в их отношении друг к другу, сразу изменим все начальные и все конечные положения точек системы при помош и какого-нибудь общего движения, будь то перенос или 231 вращение . [c.231]

Второй закон термодинамики, как видно из изложенного выше, может быть применен к решению разнообразных конкретных задач. Однако он оказывается также плодотворным и при аналитическом методе исследований, основываюш,емся на рассмотрегши особых функций состояния, называемых термодинамическими, или характеристическими функциями. [c.140]

При расчетах конкретных равновесий этот рассмотренный выше академический этап общего термодинамического исследования с выводом аналитических зависимостей для свбйств систем является промежуточным между формулировкой задачи н получением конечных численных результатов. Он необходим для понимания смысла всей проводимой работы, для дальнейшего использования, корректировки ее результатов, сопоставления их с другими данными, однако он не яаляется обязательным для выполнения самого расчета равновесия. Такие расчеты могут основываться не на равенствах химических потенциалов или иных формулах, получающихся при детализации исходных принципов термодинамики, а на самих этих принципах непосредственно. Возможность исключить излишнюю с точки зрения получения конечного результата аналитическую разработку проблемы появляется благодаря использованию числеиш.ьч методов решеиия термодинамических задач. Последние могут при этом формулироваться в самом общем виде, как задачи на поиск условного экстремума определенной (характеристической) функции при заданных ограничениях на переменные. С одной стороны, такая формулировка следует непосредственно из критериев термодинамического равновесия, с другой — она соответствует формулировкам задач математического программирования. [c.166]

Сложность записи в явном виде (20.10) или лодобных выражений для других характеристических функций заключается в необходимости учесть все возможные в этой системе в принципе фазы и составляющие вещества, причем их свойства yJ должны быть заданы во всем интересующем интервале изменения переменных, поскольку заранее, до решения задачи, не ясно, какие части системы из всего виртуального набора их будут при данных условиях устойчивыми, а какие неустойчивыми. При последующем расчете эта исходная максимально сложная модель внутреннего строения системы может только упрощаться. Если же какая-либо из возможных фаз или составляющее не учтены в начале расчетов, то они не будут лредставленньши и в конечном результате, что может явиться причиной плохого соответствия между реальной равновесной системой и ее термодинамическим образом. Значения термодинамических функций составляющих (обычно требуются энтальпии ь энтропии их образования) находят в справочной литературе, в периодических изданиях, оценивают приближенными методами или получают в результате специально поставленных экспериментов. [c.172]

Поскольку функции Wuip) и Wii p) из-за их сложного вида неудобны для исследования действия функционального оператора объекта на различные входные функции Uux(0 (и, кроме того, трудно непосредственно осуществить обратное преобразование Лапласа, необходимое для отыскания весовой и передаточной функции), часто после получения точного аналитического выражения для передаточных функций используют различные методы, позволяющие найти приближенные выражения для двух других характеристических функций. [c.107]

Исключив из двух последних уравнений энтропию 5, получим термодинамическое уравнение состояния f(p, V, 7") =0. Поскольку д и1дЗ )у= дТ1д5)у, то с учетом уравнения (3.24), имеем Су = = дU дS)v д U дS )v = y S, V). Зная Су и используя уравнение состояния, можно по ураинению (4.54) найти Ср. Легко найти II остальные параметры Н, Р, О и др. Таким образом, для произвольного состояния, определяемого значениями 5 и У, по выражению и=и 8, )/) могут быть рассчитаны все остальные термодинамические параметры. Конкретный вид той или иной характеристической функции для определенной системы методами термодинамики определить, конечно, нельзя это положение уже обсуждалось ранее применительно к уравнению состояния. Нахождение характеристических функций возможно, например, экспериментальным путем. [c.247]

Следовательно, таким путем мы можем вывести из свойств нашей характеристической функции шесть других известных интегралов, злюмянутых выше, помимо того седьмого, который содержится в законе живой силы и который помог нам открыть наш метод. [c.185]

Свойство нашей характеристической функции, выражающееся в том, что она зависит только от внутренних или взаимных отношений между начальными и конечными положениями точек притягивающейся или отталкивающейся системы, свидетельствует о преимуществе применения внутренних или относительных координат. По аналогии с другими применениями алгебраических методов к исследованиям геометрического типа можно предполагать, что полярные и другие отметки положения могут также зачастую оказаться полезньши. Предполагая, следовательно, что Зп конечных координат х-у, Уу, Ху,, х , у , выражены как 3/г функций других переменных г]у,. .., и что Зл начальных координат подобным же образом выражены как функции аналогичных Ъп величин, которые мы обозначим бу, 2 > зп) перейдем к определению общего метода для введения этих новых отметок положения в выражения наших основных зависимостей. [c.185]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...