Интегралы канонической системы уравнений

Теорема Остроградского — Якоби, на которой основывается предложенный ими метод, формулируется так если известен полный интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то 2s независимых интегралов канонической системы уравнений (132.5) имеют следующий вид [c.382]

Соотношения (139.3) и (139.4) показывают, что интегралы канонической системы уравнений получаются дифференцированием полного интеграла по обобщенным координатам и произвольным постоянным. [c.383]

Каким способом по двум известным интегралам канонической системы уравнений можно найти третий интеграл [c.390]

Будут ли скобки Пуассона (ф, Н) интегралом канонической системы уравнений в том случае, если функция ф не зависит явно от времени [c.390]

Как по методу Остроградского—Якоби получаются интегралы канонической системы уравнений [c.390]

Если функция / и (р являются первыми интегралами канонической системы уравнений Гамильтона, то скобки [c.225]

Соотношение (46) является первым интегралом канонической системы уравнений и выражает закон сохранения механической энергии. [c.515]

Пуассон доказал при помощи скобок следующую весьма важную теорему об отыскании первых интегралов канонической системы уравнений (74). Если [c.528]

Будучи постоянными, эти выражения представляют все 2м интегралов канонической системы уравнений (1). Поэтому, согласно теореме Пуассона, любая из скобок Пуассона [c.533]

Теперь предположим, что нами взята не любая система 2м независимых интегралов канонической системы уравнений (1), а ее полный интеграл Коши. Это значит, что постоянные и определены как значения обобщенных координат и импульсов в некоторый момент времени t = t [c.533]

Уравнение (6.98) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных. Если известны интегралы канонической системы, то определяется и общее решение уравнения (6.98). Произвольная функция независимых интегралов канонической системы уравнений, имеющая непрерывные производные, является общим решением уравнения (6.98). [c.174]

М. В. Остроградский и независимо от него Якоби рг работали метод, применение которого к нахождению интегралов канонической системы уравнений (133.5) во многих случаях оказывается проще непосредственного интегрирования этой системы уравнений. [c.569]

Какое свойство интегралов канонической системы уравнений устанавливается теоремой Пуассона [c.575]

Предположим, что интегралом канонической системы дифференциальных уравнений (132.5) является функция вида [c.374]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Напомним, что первым интегралом канонической системы дифференциальных уравнений движения называется функция времени и канонических переменных, превращающаяся в постоянную величину на основании дифференциальных уравнений движения, т. е. после замены q, . ... р, . ... pN функциями [c.366]

Следовательно, каждый первый интеграл системы канонических уравнений удовлетворяет уравнению (11.363). Справедливо и обратное утверждение каждая функция, удовлетворяющая уравнению (11.363), является первым интегралом канонической системы. Чтобы доказать это утверждение, достаточно произвести приведенные выше вычисления в обратном порядке, исходя из уравнения (11.363). Рекомендуем читателю это выполнить самостоятельно. [c.367]

Эти соотношения представляют собой к первых интегралов канонической системы. Значения р, которые находим из этих уравнений, обращают в полный дифференциал выражение [c.251]

Эта теорема является почти непосредственным следствием тождества Пуассона—Якоби. Действительно, предположение, что функции /и /2 являются интегралами канонической системы (5), выражается уравнениями (п. 21) [c.275]

Задача интегрирования системы (74) состоит в нахождении канонических переменных р2,. .ps, йи Яъ > s, в функции времени и 25 произвольных постоянных. Первым интегралом канонической системы дифференциальных уравнений назЫ вают соотношение вида [c.517]

Применяя теорему Остроградского, мы можем 2з первых интегралов канонической системы представить в виде уравнений [c.523]

Найдем связь между решением уравнения (6.98) и полным интегралом уравнения Остроградского — Г амильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона имеет структуру (6.76), т. е. является функцией времени, координат и постоянных интегрирования. Согласно теореме Остроградского— Гамильтона — Якоби, по полному интегралу определя-ём общее решение канонической системы уравнений, зависящее от постоянных т] и [c.175]

Займемся исследованием пластического состояния материала вблизи отверстий и вырезов, ограниченных кусочно-гладкими контурами. Решение этих задач приводит к комбинациям краевых задач для канонической системы уравнений или достигается в замкнутом виде при помощи интегралов уравнений пластичности. [c.375]

Основываясь на теореме Пуассона, можно было бы считать, что по двум известным первым интегралам канонических уравнений можно последовательно найти все 2s первых интегралов этих уравнений. В действительности найти общее решение системы канонических уравнений при помощи этой теоремы не всегда удается. [c.380]

Примечание. Предположим, что известна система интегралов канонических уравнений фь ф2,. .., фт- Если скобки Пуассона (ф,-, фй) для произвольной пары интегралов тождественно равны нулю, то система интегралов фь , Фт находится в инволюции. Если скобки Пуассона для произвольной пары интегралов из системы фь. .., фт определяются через интегралы этой же системы, то система интегралов фь Ф21 .. > фт образует группу. Существование систем интегралов, образующих группу. [c.367]

Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно, и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка) интегралом называется соотношение вида [c.244]

Благодаря наличию этих трех интегралов согласно п. 12 можно понизить число степеней свободы канонической системы на три или, что одно и то же, понизить число переменных на шесть. Вследствие этого мы придем к так называемой канонической форме Пуанкаре для уравнений относительного движения (относительно центрального тела) в задаче и -f-1 тел. Мы знаем (п. 42), что когда проинтегрированы эти уравнения, то игнорируемые координаты Sq i oi центрального тела определяются простыми квадратурами. [c.317]

Так как уравнения (124 ), помимо произвольных постоянных, содержат аргументы р, q, то их можно рассматривать как п интегралов канонических уравнений, между тем как уравнения (124") вместе с q содержат q и потому представляют собой п первых квадратичных интегралов для первоначальных динамических уравнений Лагранжа, эквивалентных канонической системе. [c.342]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

Покажем, что интегралы канонической системы дифференциальных уравнений движения можно определить через главную функцию Х. Для этого рассмотрим вариацию функции W, предполагая, что из.иенение этой функции вызвано изменением начальных условий движения. Этот способ варьирования принадлежит М. В. Остроградскому. [c.369]

Так как здесь на основании предположения, что V есть интеграл (полный) уравнения (72), эта характеристическая функция тождественно равна нулю, то преобразованная каноническая система, принимающая в данном случае вид тс = 0, = О, будет иметь общим интегралом Тс , = onst, х = onst (А = 1, 2,. .., ), откуда, возвращаясь к первоначальной системе (5), мы и заключаем, что ее общий интефал определяется уравнениями (75) или эквивалентными им уравнениями (71), (74), если тс, х рассматриваются в них как произвольные постоянные. [c.298]

Как мы уже знаем (п. 38), общее решение канонической системы мы найдем из равенств (74 ), (74б) что касается аналитической природы переменных q, как функций от (и от и — 1 постоянных /j. Ха,. .., x j), то имеют место соображения, аналогичные тем, которые были приведены в предыдущем пункте. Здесь, как и раньше, успех применения способа разделения переменных тесно связан с существованием п квадратичных интегралов относительно q для ла-гранжевых уравнений движения эти интегралы определяются здесь уравнениями (129), в которые вместо должны быть под- [c.344]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...