Уравнения Пуассона обобщенные

Функция тока Р (х, у) этого движения должна удовлетворять обобщенному уравнению Пуассона относительно функции тока Т [c.343]

Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуассона (И), можем составить решение уравнения (16) в форме векторного обобщения ньютонова потенциала (9) [c.275]

Общая схема термодинамического описания плотного газа при высоких температурах в рамках модели Томаса — Ферми была изложена в начале предыдущего параграфа. Обобщение уравнений модели холодной атомной ячейки на случай отличной от нуля температуры производится элементарно. В основе лежит уравнение Пуассона (3.97) для электростатического потенциала в ячейке ф (г) ), который по-прежнему удовлетворяет граничным условиям (3.99) и (3.100), а также полагается равным нулю на границе ячейки для целесообразного отсчета потенциальной энергии. Однако вместо простого соотношения (3.96), связывающего электронную плотность п (г) с потенциалом, теперь появляется интегральное соотношение (3.93) с функцией распределения / р), зависящей от температуры по формуле (3.91), где энергия электрона выражается, как и раньше, формулой (3.95). [c.198]

И обобщенного уравнения Пуассона, связывающего градиент электрического поля объемного заряда с плотностью объемного заряда электронной жидкости [c.156]

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

Сопоставление уравнений двух случаев плоской задачи теории упругости. Сопоставление уравнений, полученных выше для двух случаев плоской задачи теории упругости, показывает, что все группы соответствуюш,их уравнений в сравниваемых задачах идентичны, за исключением уравнений закона Гука, в которых различие состоит лишь в величинах упругих постоянных — в случае плоского обобщенного напряженного состояния имеют место обычные модуль упругости Е и коэффициент Пуассона [i, в случае же плоской деформации вместо этих величин в уравнениях фигурируют ) i = /(l —ц ) и Hi = [i/(1—ц). Полная идентичность уравнений, за исключением только что отмеченной [c.661]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

В 1782 г. он вывел для потенциала дифференциальное уравнение в частных производных Уф = 0. Д. Пуассон видоизменил уравнение Лапласа, придав ему вид Уф = 4яр. Дифференциальное уравнение Лапласа — Пуассона есть обобщенное выражение ньютоновского закона тяготения. Стремление объяснить тяготение близкодействующими силами временами возобновлялось. [c.363]

В некоторых работах [7, 92] соотношения (99) приравниваются к коэффициенту пропорциональности 2G, где G — модуль деформации второго рода (величина переменная), равный одной трети модуля деформации первого рода Е. Это аналогично тому, как и в области упругих деформаций, где модуль упругости второго рода G связан с модулем упругости первого рода (модуль Юнга) Е зависимостью G = Е 2 (1 + ц,о), который при коэффициенте Пуассона [Хо = 0,5 становится равным одной трети Е. Наряду с интенсивностью напряжения ст,-, определяемой уравнением (96), существует и характеристика интенсивность деформации Б , или обобщенной деформации, которая определяется из зависимости [c.111]

При составлении системы уравнений, определяющей напряженно-деформированное состояние армированного пластика при поперечном нагружении, используется ряд исходных гипотез и граничных условий. Основным является требование совместности деформирования всех элементарных слоев, из которого следует условие постоянства напряжений в каждом элементарном слое в направлении нагружения и равновесие между напряжениями в компонентах пластика в остальных двух направлениях. В качестве закона деформирования отдельных компонентов используется обобщенный закон Гука. Совместное решение уравнений, соответствующих названным условиям, в результате интегрального перехода к средним напряжениям и деформациям всего пластика дает возможность определить коэффициенты Пуассона в плоскости армирования vm и в плоскости, перпендикулярной направлению армирования vxi, а также модуль поперечной упругости Задача сводится к аналитическому решению [12], однако аналитические зависимости получаются очень громоздкими. В результате ряда преобразований получаем [c.48]

Особенно интересны предельные случаи р = оо (твердая неподвижная сфера) и р = 0 последний соответствует электрическому проводнику в однородном поле. Вообще условия (11.17а) и (11.176) определяют краевую задачу теории потенциала, возникшую впервые в теории магнитной поляризации (магнитной индукции) Пуассона, в теории электростатической индукции Фарадея, в теории электро- и теплопроводности и в теории фильтрации 8). Легко видеть, что обобщенный поляризационный потенциал А — определен во всем пространстве, регулярен на бесконечности и является гармонической функцией всюду, кроме 5, где дА/дп = дА /дп. Следовательно, он представляет собой [42, стр. 286] потенциал двойного слоя плотности ф(у) на 5. Далее, если имеем Х,= (р — р )/(р+рО. то Ф(у) является решением интегрального уравнения типа Фредгольма [c.317]

Таким образом, для заданной силовой функции IV (г, г) распределение перемещений и напряжений полностью определяется комплексными потенциалами ф(г), ф(2) с помощью уравнений (32.15), (32.16) и (32.17). В 27 было показано, что решения, справедливые для плоского деформированного состояния, имеют место также и для обобщенного плоского напряженного состояния, если вместо коэффициента V ввести приведенный коэффициент Пуассона a = v/(l-fv). Здесь, как показывает Стивенсон ), необходимо наложить дополнительное условие, а именно, что потенциал массовых сил V (х, у) должен удовлетворять бигармоническому уравнению [c.90]

Основы учения о движении вязкой жидкости были заложены в 1821 г. французским ученым Навье и получили свое завершение в 1845 г. в работах Стокса (1819—1903), который сформулировал закон линейной зависимости напряжений от скоростей деформаций, представляющий обобщение простейшего закона Ньютона, и дал в окончательной форме уравнения пространственного движения вязкой жидкости, получившие наименование уравнений Навье — Стокса. Используя специальные молекулярные гипотезы относительно свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили в 1821 г. Навье, в 1831 г. Пуассон (1781—1846) и в 1843 г. Сен-Венаи (1797—1866). Урав " нения Навье —Стокса в криволинейных координатах в 1873 г. вывел Д. К- Бобылев. [c.26]

Наиболее естественные и удобные для исследований формы уравнений движения твердого тела могут быть получены из общих уравнений динамики в квазикоординатах. Лагранжева форма этих уравнений была установлена А. Пуанкаре [255], а гамильтонова — П. Г. Четаевым [181]. Их возможные обобщения для неголономной ситуации рассматривались в [91, 154]. В динамике твердого тела уравнения Пуанкаре-Четаева приводят к гамильтоновым уравнениям с линейным структурным тензором, т. е. к только что рассматривавшейся структуре Ли-Пуассона (см. 1). Приведем здесь свой вывод уравнений Пуанкаре и Пуанкаре-Четаева, т.к. их обсуждение отсутствует в доступной литературе. [c.33]

По этой же причине не получили дальнейшего развития его соображения относительно обобщений теоремы Рауса, связанных с наличием циклического интеграла и понижением порядка. Для уравнений Пуанкаре - Четаева при наличии первых интегралов (типа циклических) в гл. 4, 1,2 предложена новая процедура редукции, позволяющая получить уравнения приведенной системы в наиболее простой алгебраической форме и приводящая в некоторых случаях к нелинейным скобкам Пуассона. [c.36]

Для уравнений Эйлера-Пуассона (1.6), которые, при задании постоянной площадей, определяют динамику точки на сфере Пуассона в обобщенно-потенциальном поле (см. 1 гл. 4), известны несколько семейств периодических и асимптотических решений. Почти все эти решения, многие из [c.91]

Громоздкие условия, приведенные в таблице 3.1, с геометрической точки зрения имеют простой смысл. Воспользовавшись аналогией с уравнением Эйлера-Пуассона, будем считать, что динамически несимметричное твердое тело движется в обобщенно потенциальном поле, т.е. 7 — некоторые позиционные переменные. Тогда условием существования соотношения (1.16) является симметрия потенциала и обобщенного потенциала системы (1.2) относительно вращений вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида (ср. с 6 гл. 2). [c.176]

B 7 гл. 5 приведено более общее семейство частных интегрируемых случаев на пучке скобок частными случаями которого являются случай Ковалевской уравнений Эйлера-Пуассона, случай Чаплыгина (I) уравнений Кирхгофа и случай Богоявленского (I) уравнений Пуанкаре-Жуковского, а также различные гиростатические обобщения. [c.196]

Обобщенные уравнения Эйлера-Пуассона [c.207]

Этот результат Пуассона (обобщенный им в той же работе на другие виды линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами) был наиболее крупным достижением теории колебаний и волн, полученным после XVIII в. ведь даже Лагранж должен был признать (например, в Аналитической механике ), что у него нет подхода к интегрированию волнового уравнения в дву- и трехмерном случаях. Но в 1819 г. Пуассон не располагал еще общими уравнениями теории упругости и не искал применений своих математических результатов в этом направлении. [c.274]

Выполняя интегрирование по г, снова получим равенство (33). Объединяя результат первого порядка (47) с уравнением Пуассона, найдем правильное обобщение уравнения Мотта (34), которое определяет самосогласуе-мую потенциальную энергию V(r) вследствие применения точечных ионов в Ферми-газе, т. е. [c.27]

Ковариантное относительно произвольных преобразований координат обобщение теории тяготения Ньютона должно содержать, прежде всего, обобщение уравнения Пуассона (П2.36). Это достигается путем введения в рассмотрение фундаментального метрического тензора призванного служить обобщением ньютонова потенциала тяготения. Следовательно, тензор должен удовлетворять общековариантной системе уравнений, одно из которых в ньютоновом пределе должно давать уравнение Пуассона (П2.36) для потенциала и. [c.447]

Общековариантным обобщением левой части уравнения (П2.36) может служить тензор, в который линейно входят вторые производные от Таким тензором является тензор кривизны 2-го ранга. Тензорным обобщением плотности масс р является тензор массы. Таким образом, логика обобщения уравнения Пуассона приводит к выводу о наличии некоторого соотношения между тензором кривизны 2-го ранга и тензором массы. [c.447]

Эти девять кинематических уравнений (они называются обобщенными уравнениями Пуассона) вместе с тремя динамическими уравнениями Эйлера (14.60) составляют полную систему дифференциальных уравнений движения ИСЗ относительно центра масс. В этих уравнениях 1х> 1у, г и ц — известные постоянные величины, R и со — в общем случае известные функции времени, определяемые из кеплерова движения центра масс спутника, Q . Р > Yft (k=, 2, 3) —искомые функции времени. Не останавливаясь на методах решения этих уравнений (в общем виде они решаются только для частных случаев), заметим, что шесть первых интегралов нам известны —это равенства (14.56). [c.339]

Прн равновесии ИСЗ относительно осей Xi, у , zi все направляющие косинусы ail, р и Y будут постоянными числами при этом девять обобщенных уравнений Пуассона обращаются в тождества (читатель без труда может проверить это самостоятельно). Кроме того, при относительном покое абсолютная угловая скорость спутника О будет равна угловой скорости о вращения орбитальной системы xiyiZi, т. е. Й=а>, или, учитывая равенство (14.61), [c.339]

Из (4.10), (4.11) видно, что эта обобщенная задача имеет решение (и, if), в котором и - решение задачи Дирихле (4.1) для уравнения Пуассона (4.3), а f = —д и на Г. В работе [104] показано, что оно будет единственным. [c.118]

Прн равновесии ИСЗ относительно осей jt,, у,. Zj все направляющие косшгусм ft. Pk Vh будут постоянными числами прм этом девять обобщенных уравнений Пуассона обращаются и тождества (читатель беа труда может проверить это само-стоятельно). Кроме того, при относнтельном покое абсолютная угловая скорость спутнике О будет равна угловой скоростн м вращения орбитальной системы СжхУ ц, т. е. Q = <й, влн, учитывая равенство (14.61), [c.534]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Уравнениё (4.56) имеет/ более высокий порядок по сравнению с уравнением (4.54). Наличие третьего слагаемого в левой части позволяет удовлетворить условию равенства нулю реакции q при Jf=0, I. Это слагаемое, согласно (4.52) и формулы (4,19), связано с учетом изменения прогиба по толщине пластины, т. е. с учетом поперечного обжатия. Второе слагаемое в левой части уравнения (4.56) (если отвлечься от влияния коэффициента Пуассона v) характеризует вклад в перемещение ыо от касательных напряжений т.-сг, но учтенный аккуратно, согласно формуле (4.19), а не в обобщенном смысле от перерезывающей силы Q. Если даже отбросить третье слагаемое в (4.56) и оставить только второе, то получим [c.203]

Для установления дифференциальных уравнений равновесия воспользуемся принципом возможных перемещений [207]. Вариационные принципы открывают естественный путь для сведения трехмерных задач механики сплошных сред к двумерным задачам теории пластин и оболочек. Их использование позволяет установить систему обобщенных внутренних усилий, соответствующую независимым обобщенным кинематическим параметрам конечносдвиговой слоистой оболочечной системы и получить корректные уравнения ее равновесия. Вместе с ними устанавливаются кинематические и естественные граничные условия задачи. Дифференциальные уравнения и краевые условия получаются из вариационного принципа путем применения формальной математической процедуры, что важно, поскольку корректное использование формального аналитического метода позволяет избежать ошибочных формулировок, которые могли бы возникнуть при составлении уравнений равновесия и краевых условий методами элементарной статики. Анализ публикаций, посвященных неклассическим моделям деформирования многослойных оболочек, выявляет многочистенные примеры таких формулировок [8, 9, 215, 250, 253 и др.]. Укажем также и на известный [301 ] классический пример такого рода — условие Пуассона на свободном крае. [c.47]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Чаплыгин, Сергей Алексеевич (5.4.1869-8.10.1942) — русский математик и механик, один из основоположников современной гидроаэромеханики. Указал частный случай интегрируемости при нулевой постоянной площадей уравнений Эйлера-Пуассона, обобщив при этом более частное решение Д. П. Горячева, а также более частные решения, характеризуемые системой линейных инвариантных соотношений. Для уравнений Кирхгофа также нашел аналогичный случай частной интегрируемости и его обобщения, исследовал винтовые движения, дал геометрическую интерпретацию различных движений, в частности, для случая Клебша). Вывел уравнения движения тяжелого твердого тела в жидкости и более подробно исследовал случай плоского и осесимметричного движения. [c.25]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

При помощи (4.5) и (4.7) интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в случае Делоне может быть установлена и без использования интеграла Рг (4.4). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий Р, гг, 22, -Рз уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля д = др = = 0) кубичный по моментам интеграл (4.6) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева-Чаплыгина для уравнений Эйлера-Пуассона (см. 5 гл. 2). [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...