Тензор кривизны

Тензор кривизны. Тензор Эйнштейна [c.505]

Тензор четвертого ранга Rik.a- называется тензором кривизны или тензором Римана — Кристоффеля. [c.505]

Итак, компоненты смешанного тензора кривизны выражаются формулами [c.505]

Тензор кривизны антисимметричен относительно первой пары индексов К и V. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (IV.84). [c.507]

Рассмотрим ковариантный тензор кривизны [c.508]

Из формулы (IV. 89) видно, что ковариантный тензор кривизны антисимметричен относительно индексов XV и ра [c.508]

Тензор кривизны симметричен относительно пар индексов [c.508]

Возвратимся к смешанному тензору кривизны. Произведя циклические перестановки ковариантных индексов и сложив результаты, получим тождество Риччи [c.508]

Свертывая тензор кривизны, находим [c.508]

Найдем, (стр. 59 т. I) линейный инвариант тензора кривизны. Получим [c.509]

Из дифференциальной геометрии известно, что необходимыми и достаточными условиями существования такого преобразования является обращение в нуль компонент тензора кривизны ). [c.509]

Эти условия в трехмерном пространстве можно заменить условиями обращения в нуль компонент тензора Эйнштейна, так как в трехмерном пространстве число существенно различных компонент тензора кривизны и тензора Эйнштейна совпадает. [c.509]

Выразив компоненты тензора кривизны через компоненты тензора g , или суммы + 6,- и приравняв их нулю, получим шесть условий, обеспечивающих возможность перехода к евклидовой метрике в пространстве, неизменно связанном с деформируемой средой. [c.509]

Тензор с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора, известен. Это — тензор кривизны (IV. 89). Но тензор кривизны — тензор четвертого ранга. Однако посредством операции свертывания из тензора кривизны можно построить симметричный тензор второго ранга определенный равенствами (IV. 93). [c.530]

Гравитационное поле зависит от распределения и движения материи и определяется уравнениями Гильберта — Эйнштейна для тензора кривизны [c.158]

Риман показал, как при помощи дифференцирования можно получить характеристическую величину — тензор кривизны , определяющий вид геометрии. Если все компоненты тензора кривизны равны нулю, то геометрия евклидова, в противном случае — неевклидова. [c.43]

В системе координат, связанной с главными осями тензора кривизны, [c.75]

Пространственное метрическое тензорное поле будем обозначать gij. Оно не зависит от времени (эффектами, рассматриваемыми в общей теории относительности, пренебрегаем) и удовлетворяет условию равенства нулю всюду риманова тензора кривизны, построенного на ga, так как рассматривается евклидово пространство. Расстояние между парой соседних точек дается формулой (12.9). [c.390]

Поскольку доказательство достаточности значительно длиннее, оно здесь не приводится. Интересующихся отсылаем к книгам по тензорному анализу или теории упругости. В этой связи отметим, что ковариантный тензор кривизны Rx vm, определяемый в виде [c.109]

Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507]

Наконец, заметим, что, принимая во внимание условия (IV. 90) и (IV. 91), можно найти количество существенно различных ко.мпонент тензора кривизны оно определяется формулой [c.509]

Добавление 1.4. Для нелинейных тензоров деформации е - и efj аналога формулы Чезаро не установлено Условия совместности в случае конечных деформаций представляют собой условия сохранения евклидовости пространства как известно из геометрии, для того чтобы область Q пространства после деформации также была областью евклидова пространства, необходимо и достаточно, чтобы тензор кривизны деформированного пространства был нулем. Тензор кривизны — тензор четвертого ранга компоненты которого в произвольной криволинейной системе имеют вид [c.15]

Вернемся теперь к формуле (68) и предположим, что величины = gsr являются произвольными функциями координат xi). Спрашивается, можно ли найти такое преобразование координат (67), чтобы выражение для ds приняло вид (66) сразу во всем пространстве Ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен. Требуемое преобразование существует не для любых тензоров (grs), а лишь для тех из них, для которых обращается в нуль некоторый вспомогательный тензор, называемый тензором кривизны. Этот тензор, в частности, равен нулю для цилиндрической поверхностгг (71) и отличен от нуля для поверхности сферы (72). В общем случае возможно тольг.о локальное преобразование (68) к виду (66). [c.476]

Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта) системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести при этом в новых координатах квадрат интервала ds представляется в форме (68). Основополагающая идея Эйнштейна заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора rs ) от brs объясняется полем тяготения, которое, таким образом, делает геометрию иространственно-временного континуума римановой геометрией. Если ири этом тензор grs) таков, что вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в протяженной области иространственно-временного континуума, то в этой области существуют такие координаты (л -), в которых квадрат интервала допускает представление (66). В исходной системе координат (x,j составляющие тензора (grs) характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не обращается в нуль в протяженной области пространственно-временного континуума, — в этом случае составляющие тензора (grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле тяготения нельзя устранить во всей области никаким преобразованием координат, которого в этом случае попросту не существует. В этом заключается фундаментальное отличие истинных полей тяготения от полей сил инерции эти поля эквивалентны только локально ( в малом ), но отнюдь не глобально ( в большом ). [c.477]

К. п.-в. под горизонтом событий (при г<г+ в области, невидимой для удалённого наблюдателя) песта-циопарно и имеет истинную сингулярность на кольцо г —О, д=д/2, где тензор кривизны Римана расходится. Вблизи этого кольца в К. н.-в. существуют замкнутые времениподобные линии. Однако часть К. и,-в. внутри поверхности г г —М— (г — [c.348]

Фундам. проблемой физики Ч. д. является проблема сингулярности внутри Ч. д. Качественно это означает, что в конце коллапса всё коллапсировавшее вещество (массой от 10 Mq до 10 Mq) сжимается в точку (г=0), в к-рой, следовательно, плотность становится бесконечной. Математически, при г- 0 все инварианты тензора кривизны стремятся к бесконечности. Поэтому само понятие пространства-времени теряет смысл в сингулярности. . [c.457]

Структура этого выражения показывает, что величины Rrsq представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам srq и контравариантные по индексу t. Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2)—евклидово Ez. [c.888]

Коэффициенты f fj, s 2 представляют собой компоненты симметричного тензора кривизны, причем кривизна нормального сечения, [c.74]

Ограничиваясь теорией малых перемещений, докажите, что тензор кривизны Римана—Крнстоффеля сводится к виду [c.122]

Смотреть страницы где упоминается термин Тензор кривизны : [c.505] [c.507] [c.508] [c.539] [c.31] [c.601] [c.282] [c.23] [c.24] [c.535] [c.584] [c.231] [c.475] [c.125] [c.396] [c.397] [c.472] [c.460] [c.528] [c.109] [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...