Уравнения Пуассона си. Пуассона уравнение

При этом интеграл берется по всему объему U, заполненному вихрями. Вне области, занятой вихрями, со = О и уравнения Пуассона становятся уравнениями Лапласа. [c.58]

Более точный расчет, основанный на решении уравнения Пуассона и уравнения непрерывности тока, дает вместо (10.13) следую щее выражение [c.280]

Пуассон в одном из своих мемуаров изложил весьма общую теорему, на которой он основал новый метод изложения теО рии вариации произвольных постоянных. Хотя эта теу>ема сама по себе представлялась чрезвычайно интересной, Пуассон удовольствовался применением ее к специальной цели, которую он себе поставил, не отметив даже того обстоятельства, что ее можно применить и в других случаях. Спустя больше чем тридцать лет после этого, уже в момент смерти Пуассона, внимание математиков снова было привлечено к этому вопросу знаменитым Якоби, который указал на теорему Пуассона как на замечательное достижение, по его мнению, — наиболее важное во всей науке о движении. Впрочем, Якоби не подкрепил какими-либо выводами своего утверждения, относительно которого, быть может, мы найдем более подробные указания в его посмертных трудах. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы изложить теорему Пуассона и указать ту пользу, какая может быть из нее извлечена для интегрирования дифференциальных уравнений механики. [c.566]

Для жидкостей строго теоретически обоснованного уравнения состояния нет. В практике сжимаемость жидкости учитывается так же, как и в идеальном газе, для чего используется эмпирическое уравнение Пуассона, аналогичное уравнению адиабаты [c.14]

Таким образом, вопрос о нелинейных параметрах более высокого порядка эквивалентен вопросу о том, следуют ли реальные газы и жидкости соответственно уравнению Пуассона и уравнению Тэта. Для газов этот вопрос в достаточной мере изучен при температурах, высоких по сравнению с температурой кипения, и не очень больших давлениях все реальные газы вполне удовлетворительно подчиняются уравнению идеального газа (и, следовательно, в адиабатическом процессе — уравнению [c.162]

Эти уравнения называются уравнениями Пуассона. Динамические уравнения Эйлера вместе с уравнениями Пуассона представляют полную систему дифференциальных уравнений движения твердого тела, и задача определения движения твердого тела сводится к интегрированию этой системы дифференциальных уравнений. [c.402]

Обозначим через E Ii, I2) совместные уровни четырех интегралов (2.1) в шестимерном фазовом пространстве уравнений Эйлера-Пуассона. Всюду ниже рассматриваются только такие постоянные интегралов Ii и I2, при которых функции (2.1) независимы на E Ii, I2). В частности, исключаются случаи, когда = I2 = 0. Остальные постоянные образуют множество нулевой меры. Если интегралы (2.1) независимы, то — гладкое двумерное многообразие. На Е естественным образом возникает классическая динамическая система [6] Е, gE, сг), где — сужение на многообразие Е однопараметрической группы сдвигов по траекториям уравнений Эйлера-Пуассона, [c.152]

Уравнение (5.22) и называется уравнением адиабаты с постоянным показателем к или уравнением адиабаты Пуассона. Уравнение (5.22) устанавливает связь между р и о в обратимом адиабатном процессе. [c.55]

Первое уравнение системы (4.13) совпадает с уравнением (4.11) и является непосредственным следствием преобразования Лежандра (оно фактически было получено Пуассоном). Второе уравнение (4.13) получается из уравнения Лагранжа (4.7) после замены дЬ/дх на импульс у и использования соотношения (4.12). Если воспользоваться соотношением (4.11) и преобразованием Лежандра Н Ь, то уравнения Гамильтона (4.13) перейдут в уравнение Лагранжа. [c.47]

Для того чтобы отразить эллиптический тип исходных дифференциальных уравнений, давление в (м, и. Я)-системе необходимо определять, решая уравнение Пуассона так же, как это делалось в разд. 3.5. Методы, разработанные для анализа устойчивости решения (г , С)-системы, можно непосредственно применять и для исследования устойчивости решения (ы, и, Я)-системы. При линеаризации уравнений (3.509) члены с градиентом давления исчезают, а члены типа и ди/дх) приводятся к виду й ди/дх), где й — постоянный коэффициент. Тогда линеаризированное уравнение количества движения будет совпадать по виду с линеаризированным уравнением переноса вихря, и, следовательно, для исследования их устойчивости можно использовать одни и те же методы, получая при этом одни и те же условия устойчивости. Решать уравнение Пуассона для давления можно любым из методов, рассмотренных в разд. 3.1 и справедливых также в рассматриваемом случае по крайней мере с точки зрения линейного анализа устойчивости. Уравнениям количества движения можно придать простую консервативную форму, если, как и в случае уравнения переноса вихря, член У-Уи заменить на У-( У). Но применение идеи консервативности в отношении сохранения массы в этом случае осложняется. При решении уравнения Пуассона потребуется отказаться от консервативной формы уравнения неразрывности, в чем мы сейчас и убедимся. [c.294]

Итерационные методы решения. Дискретизация уравнения Пуассона и уравнения непрерывности приводит к двум системам уравнений, которые нужно решить для определения потенциала и концентраций носителей. Существует два подхода к решению уравнений один состоит в реше- [c.371]

В табл. 14.2 приводятся типичные примеры сходимости для МОП-транзисторов в подпороговом режиме число итераций внешнего цикла последовательного алгоритма, величины ошибки на каждой итерации внутреннего цикла (итерации Ньютона в уравнении Пуассона), а также ошибки на каждой итерации внешнего цикла. Ошибка на внутреннем цикле определяется как среднее от абсолютных значений (т. е. норма в численном анализе) приращений потенциала в узлах, полученного из решения уравнения Пуассона, Мерой ошибки на внешнем цикле является такая же норма вектора прира- [c.373]

Здесь подразумевается, что канал целиком расположен в полупроводниковой области 0, < 0 < 02, < о->2. Теперь, чтобы получить ток с помощью рещения уравнения Пуассона, к уравнениям (14.24) и (14.26) можно применить приближение малого падения напряжения в канале или малых концентраций свободных носителей. [c.379]

Для вычисления тока/ из (14.31) нужно знать плотность электронов п (г, в, о ) в трехмерном пространстве. Для определения можно было бы решить трехмерное уравнение Пуассона, однако требуемые для этого затраты памяти и времени счета будут недопустимо большими. Альтернативой указанному неэкономному подходу могло бы стать построение такого приближения к уравнению (14.31), которое позволило бы определять из решений двумерного уравнения Пуассона. Подобные решения эффективно вычисляются и при = О дают точные распределения электронов. Затем предполагаем, что для малых значений распределение электронов не зависит от Кис- Распределение электронов, полученное при = О, подставляем в (14.31) для вычисления при малых значениях [c.380]

В следующем пункте обсуждается определенный способ дискретизации квазигармонического уравнения это необходимо, так как и линеаризованное уравнение Пуассона, и уравнения непрерывности относятся к данному важному классу дифференциальных уравнений. На эту тему было опубликовано много работ, например [15.58, 15.59]. [c.405]

НИИ соответствующих кинематических уравнений (уравнений Эйлера, Пуассона, уравнений для параметров Родрига-Гамильтона), [c.218]

Тогда, применяя уравнение Пуассона d V 4ле [c.51]

Электрические процессы в современных полупроводниковых приборах с достаточной точностью удается описать с помощью уравнений непрерывности и Пуассона. Уравнения непрерывности выражают ско- [c.155]

Когда проводящая сфера радиусом а помещена в однородное электрическое поле с первоначально однородной униполярной ионной плотностью По, распределение потенциала V определяется по уравнению Пуассона [c.436]

Другая интересная проблема, связанная с накоплением зарядов, возникает при взаимодействии космического корабля с ионосферой. Дэвис и Харрис [1501 рассчитали траектории ионов около имеющего электрический заряд спутника в ионосфере без учета магнитного поля Земли путем решения уравнения Пуассона для спутников, размеры которых представлены в калибрах (10, 25 длин Дебая и т. д.). Торможение спутника, имеющего заряд, было изучено в работах [88, 391]. [c.444]

Для заряженной сферической частицы радиусом а, окруженной ионизованным газом, уравнение Пуассона записывается в виде [c.446]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Проблема теплоотдачи при течении жидкости в трубах была предметом исследования в течение многих лет. Если в трубе имеет место полностью развитое ламинарное течение, то распределение осевой скорости описывается уравнением Пуассона. Решение этого уравнения может быть получено различными математическими методами, в том числе вариационным методом. Если, помимо этого, распределение температуры также является полностью стабилизированным, то уравнение энергии без учета вязкой диссипации также сводится к уравнению Пуассона. Когда распределение температуры не является полностью стабилизированным, определение температурного поля представляет нелегкую задачу. Трудности обусловлены тем, что уравнение энергии содержит распределение скорости как в конвективном, так в диссипативном членах. Даже в случае такой простой геометрии, как круглая труба, когда распределение скорости дается параболическим законом, задача о теплообмене рассмотрена Грэтцем и сотр. [1, 2] лишь без 5 чета второй производной от температуры по аксиальной координате и членов, соответствуюш их вязкой диссипации. Решение выражалось в виде рядов по ортогональным функциям, которые не были полностью табулированы или изучены. [c.325]

ЧТО после соответствуюгцих преобразований основных уравнений дает ему возможность свести дело к интегрированию хоропю известных в математической физике уравнений (Пуассона, Лапласа, уравнения мембраны). Аналогичным об-эазом, но значительно сложнее, вопрос обстоит и в случае пространственного движения. [c.151]

Физические основы. Взаимодействие крупномасштабной турбулентности с обтекаемым телом связано с дальнодействием сил давления. Когда турбулентный поток приближается к стенке, турбулентность чувствует это приближение и начинает изменяться. Вследствие этого при Ье 6 вблизи поверхности обтекаемого тела возникают как бы два пограничных слоя обычный вязкий и внешний невязкий . В вязком пограничном слое толш,иной 6 поле скорости завихренно. Во внешнем невязком пограничном слое толш,иной А оно потенциально, однако здесь изменяются характеристики турбулентности и, в частности, турбулентная вязкость. При построении моделей турбулентности это дальнодействие формально проявляется в моментных уравнениях через члены типа р и -) и р ди дх ). Пульсации давления в несжимаемой жидкости удовлетворяют уравнению Пуассона, решение которого определяется всей областью течения. Отсюда формально и возникает эффект дальнодействия. В [2] предпринята одна из первых попыток учесть эти эффекты при построении двухпараметрической модели турбулентности и показана необходимость введения в модельные уравнения расстояния до стенки. Тем самым в модель вводились эффекты не локальности, когда в малой окрестности точки решение модельных уравнений явно зависит от присутствия стенки вдали от нее. Многие современные модели турбулентности также используют понятие расстояния до стенки. Однако неясно, насколько правильно модельные уравнения такого типа могут описать внешний невязкий пограничный слой. [c.456]

При комбинированном итерировании уравнения Пуассона и уравнения переноса вихря можно пользоваться простым критерием сходимости для уравнения Пуассона. (Эту процедуру действительно можно рекомендовать для расчетов см. разд. 3.4). Преимущество, присущее итерационному методу Либмана (методу Гаусса — Зейделя) или итерационному методу последовательной верхней релаксации (будут рассмотрены в разд. 3.2), которые аналогичны нестационарным явным схемам метода чередующихся направлений (разд. 3.1.17), можно обеспечить простым добавлением в программу оператора EQUIVALEN E для массивов и На практике использование меньших значений параметра нижней релаксации вблизи границ (Фридман [1970] для расчетов в граничных точках брал параметр г приблизительно равным одной трети от его значения, принятого для внутренних точек) может быть реализовано введением переменного в пространстве ) шага S.t. [c.164]

Теперь рассмотрим случай, когда в исходной тестовой задаче для решения уравнения Пуассона используются прямые методы. Здесь важную роль играет время разработки программы (оно, конечно, зависит от предшествующего опыта), и если надо вычислять поле давления, то время разработки программы для решения (г] , Q-системы будет больше, так как при этом необходимо при помощи прямых методов решать два уравнения Пуассона с различными граничными условиями. Если же поле давления вычислять не надо, то время разработки программы для решения (г] , )-системы будет несколько меньше, поскольку в большинстве прямых методов поставить условия Дирихле проще, чем условия Неймана. (Метод расчета распространения вектора ошибки из разд. 3.2.8 является исключением.) В этих случаях для решения уравнения Пуассона требуется меньше времени, чем для решения параболического уравнения переноса. Поскольку время решения одного уравнения переноса вихря меньше, чем время решения каждого из двух уравнений количества движения, и в этом глучае (of), )-система оказывается предпочтительнее. [c.307]

На разностной сетке в методе маркеров и ячеек составляющая скорости W определяется в точке /2) и т. д. Для трехмерного уравнения Пуассона также ставятся граничные условия Неймана введение дополнительной пространственной переменной существенно снижает скорость сходимости, и в связи с этим желательно рассчитывать решение при помощи прямых методов. Даже в этом случае время, необходимое для решения задачи, очень велико. Здесь большое значение приобретают контрольные и пробные расчеты на грубой сетке. Например, Уильямс [1969] для конвективных членов применял схему Аракавы (разд. 3.1,21) и прямой метод для решения уравнения Пуассона, что позволило сократить время решения этого уравнения до 25% от общего времени решения всей задачи. На машине UNIVA 1108 для расчета одного слоя по времени потребовалось 2 секунды на сетке 14 X 14 X 14 и 96 секунд на сетке 60 X 32 X 34. [c.310]

Дискретизация уравненйй. Потенциал, являющийся решением уравнения Пуассона (14.1) - это непрерывная функция пространственных координат. Для численного решения уравнения Пуассона необходимо, чтобы потенциал и концентрации заряда были представлены дискретными величинами в узлах разностной сетки в области решения. Такое представление достигается дискретизацией уравнения (14.1), приводящей к системе нелинейных уравнений. Каждому узлу сетки соответствует одно уравнение, за исключением тех узлов, в которых потенциал задается граничными условиями. [c.355]

Уравнение непрерывности. Дискретизация уравнения непрерьшности будет описана только для электронов, поскольку для дырок она проводится аналогично, с точностью до знаков. Процесс дискретизации подобен процессу дискретизации уравнения Пуассона, за исключением того, что величины в левой части уравнения считаются постоянными только вдоль стороны треугольника, а не во всей ограниченной им области. Дискретизация приводит уравнение к виду, аналогичному (14.10) [c.369]

Составив для каждого узла сетки уравнение (14.21), снова получим, как и в случае уравнения Пуассона, N уравнений с N неизвестными однако в диэлектрических областях прибора не нужно решать уравнение непрерывности, так что можно ограничиться только узлами, лежашими в полупроводниковой. области. Матрица коэффициентов лишена хороших итерационных свойств, описанных ранее для матрицы коэффициентов, соответствую-ших уравнению Пуассона, но, поскольку для решения уравнения непрерывности итерации и не требуются, это не столь важно. [c.370]

В предьщущем разделе были обсуждены численные методы анализа непланарных приборов как на основе решения дискретного уравнения Пуассона (пуассон-анализ), так и с привлечением одного из уравнений непрерьганости, т. е. с учетом носителей заряда одного типа (монополярный анализ). В этом разделе будут рассмотрены при- [c.377]

Блочно-нелинейный итерационный процесс. Идея Гуммеля состоит, по существу, в решении полупроводниковых уравнений с независимой линеаризацией каждого уравнения в отдельности относительно основной переменной. На первом шаге методом Ньютона решается уравнение Пуассона в предположении, что квазиуровни Ферми являются известными функциями координат. На втором шаге решается одно из уравнений непрерывности в предположении, что потенциал и квазиуровень из другого уравнения непрерывности заданы. На третьем шаге решается второе уравнение переноса, при аналогичных предположениях. Эти три шага вьшолняются повторно до тех пор, пока не будет найдено согласованное решение. Затраты на один цикл этой блочнонелинейной итерации гораздо меньшие, чем на один шаг ньютоновской итерахщи, поскольку размерность каждой из решаемых линейных систем равна трети размерности полной системы. [c.413]

Уравнения (4.7) —(4,8) показывают, что причинами изменения концентрации носителей могут быть неодинаковость числа носителей, втекающих (и вытекающих) в элементарный объем полупроводника (тогда dlvJ O), и нарушение равновесия между процессами генерации и рекомбинации носителей. Уравнения (4.9) и (4.10), называемые уравнениями плотности тока, характеризуют причины протекания электрического тока в полупроводнике электрический дрейф под воздействием электрического поля (grad tp= 0) и диффузию носителей при наличии градиента концентрации. Уравнение Пуассона характеризует зависимость изменений в пространстве напряженности электрического поля Е=—gгadф от распределения плотности электрических зарядов pi [c.156]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...