Уравнения движения в канонической форме

Некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях. Рассмотрим дифференциальные уравнения движения в канонической форме [c.378]

Уравнения движения в канонической форме. [c.142]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ [c.143]

Пусть голономная система движется под действием потенциальных сил. Определяя состояние движения системы каноническими переменными, запишем уравнения движения в канонической форме [c.324]

Для отыскания периодических решений, на наш взгляд, более естественно использовать уравнения движения в гамильтоновой форме. Для канонических систем дифференциальных уравнений метод малого параметра Пуанкаре хорошо разработан и дает более сильные результаты. Эта идея впервые реализована в работе [34] для случая вращения динамически симметричного тела в ньютоновском поле сил и независимо автором [38] в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела. [c.106]

Рассмотрим динамическую систему с одной степенью свободы. Уравнения движения в канонической гамильтоновой форме будут иметь вид [c.305]

Уравнения движения сохраняют каноническую форму интегралы площадей также сохраняют свою форму. Выражение кинетической энергии в функции фиктивных масс и скоростей такое же, как и в функции действительных масс и скоростей. Наоборот, в выражении для потенциальной энергии V надо сохранить действительные массы и расстояния между ними. Но мы раньше заметили, что и зависит только от разностей координат а ,— Хт, ДГ4— хт,. .. следовательно, функция и зависит только от координат х[,, х двух первых фиктивных тел А тл. В и не зависит от координат третьего фиктивного тела С (впрочем, мы предположили, что координаты (г равны нулю). [c.42]

Для написания уравнения движения воспользуемся выражением для перемещений в канонической форме (см. гл. VI) [c.462]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений, движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Як оби. подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом. [c.473]

Гамильтон предложил записывать уравнения движения в переменных Qi, pi t. В этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в разрешенную относительно производных систему 2п уравнений первого порядка, имеющую замечательно симметричную форму записи. Эти уравнения называют уравнениями Гамильтона (или каноническими уравнениями). Переменные qi и р (г = 1, 2,. .., п) называются канонически сопряженными. [c.284]

Так как из какого-либо полного решения уравнения в частных производных первого порядка выводятся все остальные полные решения, теорема, которую я здесь сформулировал, дает также решение другой интересной задачи, а именно по некоторой данной системе элементов, которые связаны с временем в возмущенном движении системой дифференциальных уравнений в канонической форме, найти все другие системы элементов, которые обладают тем же свойством. [c.292]

Это — уравнения движения в форме Гамильтона их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона — чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона в [c.129]

Назовем уравнения (68.5) второй формой принципа Гамильтона, а уравнения (68.7) — уравнениями движения в форме Гамильтона или каноническими уравнениями. [c.223]

Проблеме устойчивости движения посвящена обширная литература, например 156, 57, 59, 641. Здесь мы остановимся лишь на некоторых фундаментальных положениях, которые будут использованы в дальнейшем при решении рассматриваемых в данной книге прикладных задач. Уравнения движения любой системы в канонической форме могут быть представлены в виде [c.72]

Свойства интегралов системы канонических уравнений, выражаемые формулами (47), имеют большое значение в теории возмуш,енного движения, позволяя записывать уравнения для элементов возмущенной орбиты снова в канонической форме. С этим обстоятельством мы уже встретились выше, когда, следуя Гамильтону, составляли уравнения (27). Величины определяемые формулами (25), являются скобками Пуассона, и для них Гамильтон установил формулы (47), но с некоторыми ограничениями, о которых говорилось выше. [c.28]

Если обобщенные силы Q, зависят только от времени (в частности, постоянны), то уравнения возмущенного движения приобретают каноническую форму [c.564]

Показать, что для любой функции Р д,Ь) найдется такая функция Н д, что в переменных [д, Р,1) уравнения движения системы записываются в канонической форме [c.204]

А. Замены переменных в канонических уравнениях. Из инвариантности связи формы pdq — Hdt с ее линиями ротора вытекает способ писать уравнения движения в любой системе 2п 1 координат в расширенном фазовом пространстве р, q, i) . [c.211]

Большинство рассматриваемых в этой книге задач допускает запись в канонической гамильтоновой форме и обладает первым интегралом — интегралом энергии. Однако во многих случаях уравнения движения этих задач удобнее записывать не в канонической форме, а с помощью некоторой системы алгебраических переменных, наиболее приемлемой для исследований — поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости и пр. В этих переменных система не только сохранит многие свойства обычных гамильтоновых систем, но и приобретет некоторые характерные отличия, изучаемые в общей теории пуассоновых структур. С ней можно познакомиться по нашей книге [31]. [c.27]

Рассмотрим в заключение случай, когда уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму [c.103]

В заключение этой главы представим уравнения поступательно-вращательного движения в абсолютных осях (8.7) в канонической форме, что, очевидно, возможно, так как упомянутые уравнения являются следствиями уравнений (8.5), которые суть уравнения Лагранжа второго рода. [c.410]

Наконец, уравнения невозмущенного движения можно записать и в канонической форме, что позволит применить для интегрирования этих уравнений метод Гамильтона — Якоби. [c.420]

Аналогично можно написать в канонической форме и дифференциальные уравнения поступательно-вращательного относительного движения системы п тел. [c.331]

Применение канонических элементов заключается в том, что уравнения движения задачи сохраняют каноническую форму. Между тем астрономы чаще всего применяют эллиптические элементы, и в этом случае уравнения не сохраняют каноническую форму. Тем не менее, как мы видели в 81, уравнения всегда представляются в следующей форме. [c.315]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Если уравнения движения диссипативных систем свести к гамильтоновой форме, то можно воспользоваться известными методами для исследования диссипативных систем. Это, в частности, позволит указать один из способов обоснования построения кинетического уравнения для непотенциальных систем и построить континуальную модель двухкомпонентного потока. Для этого в первую очередь необходимо построить обобщенную функцию Гамильтона Н (соответственно обобщенную функцию Лагранжа L ), которая учитывала бы диссипативные 9илы и давала бы возможность представить канонические уравнения движения в гамильтоновой форме. [c.157]

Равенство (7.28) иногда называют мадифицированным принци-пом Гамильтона. Мы будем пользоваться им главным образом в связи с каноническими преобразованиями (см. гл. 8), сейчас же мы покажем, что этот принцип приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона. [c.250]

Если речь идет о системе, находящейся под действием только внутренних сил, то, как уже упоминалось в п. 24, останутся в силе не только интегралы количеств движения, которые здесь будут полностью использованы для приведения (согласно п. 47) уравнений относительного движения к канонической форме Пуанкаре, но и интегралы результирующего момента количеств движения ЛГ= onst. Так как движение происходит в плоскости Stj, то достаточно выбрать в ней центр приведения, для того чтобы вектор АГ был перпендикулярен к этой плоскости, и нам останется только рассмотреть осевой интеграл моментов Я" = АГз = onst. [c.330]

Это — система 2N уравнений. Если положить в основу динамики поверхность энергии в пространстве QTPH, то уравнения движения можно свести к системе 2N уравнений с сохранением канонической формы, если при этом [c.317]

В 7.4 идеология лагранжевой и гамильтоновой механики обобщается на случай гинердвижения тела неременной массы. Получены уравнения движения в обобщенных независимых координатах нри наличии идеальных голономных связей. Вторая часть параграфа отведена гамильтоновой форме записи уравнений гинердвижения тела переменной массы (в канонических переменных). [c.207]

Возьмем пример на составление уравнений в канонической форме. Рассмотрим вопрос о движении планеты, находящейся пол действием ньютонианской силы, и составим уравнения движения в форме Гамильтона (фиг. 340). За д примем радиус-вектор, соединяющий планету с притягивающим центром, а за — угол, образуемый радиусом-вектором с некоторою постоянною линией, проходящей через центр, Вншием случае будет [c.541]

Легко видеть, что оба уравнения имеют одинаковую аналитическую структуру, причем натяжению Т, направленному по касательной к кривой равновесия, в первом уравнении отвечает скоросты , направленная по касательной к траектории точки, во втором уравнении, силе Р, отнесенной к единице длины нити, уравнения (7.1) отвечает сила — Р/гп, отнесенная к единице массы точки, уравнения (7.2). Этой аналогией объясняется сходство между другими формами уравнений равновесия нити и уравнений движения материальной точки. Так, например, уравнениям равновесия нити в естественных осях, в обобщенных (криволинейных) координатах, в канонической форме Гамильтона отвечают соответствующие уравнения движения материальной точки. Можно привести ег другие формы уравнений равновесия нити, имеющие соответствующие аналоги в динамике, например уравнение в частных производных в форме Гамильтона — Остроградского (впервые оно было получено акад. В. Г. Ишменецким [c.39]

Здесь я — кривизна контура профиля. Для получения оценки внутри сверхзвуковой области уравнения движения потенциального течения в переменных годографа преобразуются к характеристическим независимым переменным они сводятся к линейному гиперболическому уравнению второго порядка в канонической форме. Интегрирование этого уравнения (как обыкновенного уравнения первого порядка ) вдоль характеристик (но не до звуковой линии) позволяет получить оценки снизу для производных Фыхч (3 через их значения на контуре. Совершаемый затем переход в физическую плоскость (с учетом гомеоморфности отображения сверхзвуковой области) позволяет получить искомую оценку для градиента скорости, которая означает, что если кривизна контура профиля ограничена, то градиент скорости внутри сверхзвуковой области ограничен. Если скачок имеет сверхзвуковую концевую точку, то в этой точке происходит касание характеристик одного семейства (точнее, концевая точка скачка—это точка возврата огибающей характеристик одного семейства), поэтому градиент скорости в концевой точке бесконечен. Таким образом, из полученной оценки следует, что при непрерывной деформации гладкого профиля (изотопии) разрушению непрерывного потенциального течения в сверхзвуковой зоне не может предшествовать образование огибающей характеристик внутри этой зоны. Иначе говоря, скачок [c.179]

Механическую систему с конечным числом степеней свободы нaзыв юl гамильтоновой, ес-тн уравнения ее движения могут быть представлены в канонической форме Гамильтона. К негамильтоновым системам приходим, например, рассматривая колебания стержня, нагруженного следящими силами [8] [c.361]

Уравнения (1.1) не являются инвариантными относительно произвольных координатных преобразований. Кроме того, при записи основных уравнений динамики твердого тела в виде (1.1) они теряют алгебраичность и приобретают особенности, не связанные с существом задачи (см. 4 п. 2). Прежде чем привести уравнения движения в более приемлемой форме, сохраняющей основные свойства канонической записи, остановимся на инвариантном изложении гамильтоновой механики. [c.28]

Следуя подходу создателей метода, мы использовали уравнения движения в форме Лагранжа. Однако все это можно было бы проделать и в канонической форме с помощью подстановки х р, хотя для периодических траекторий такая формулировка не дает каких-либо очевидных преимуществ. Что на самом деле желательно, так это иметь дело с лагранжианами, содержащими невысокие степени координат, в противном случае метод становится слишкол громоздким из-за необходилюсти перемножать сразу много рядов Фурье, что приводит к появлению многократных сумм в рекуррентных соотношениях для коэффициентов ). [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...