Сфера Пуассона

Геометрический интеграл (28) можно рассматривать как конфигурационное пространство существенных координат у 8 , где 8 — двумерная сфера, называемая сферой Пуассона. Таким образом, система уравнений (21)-(24) имеет интеграл энергии (25) и два линейных (относительно квазискоростей ш) первых интеграла (26) и (27). [c.437]

Заметим, что данные интегралы зависимы на полюсах Р (73 = 1) сферы Пуассона 8 . Действительно, если обозначить и 7 (г = 1,2,3) проекции векторов 00 и у на главные центральные оси инерции шара, то интегралы (26) и (27) можно записать в виде [c.438]

Стационарные движения шара. Очевидно, функция (32) не имеет особенностей в окрестности полюса Р+ сферы Пуассона. Аналогично, функция (33) не имеет особенностей в окрестности полюса Р . Эти полюса соответствуют перманентным вращениям [c.439]

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относительно поворотов вокруг некоторой прямой Г, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через р, ц, г проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через 71, 72, 73 — косинусы углов между прямой Г и главными осями инерции. Потенциал поля сил "V зависит только от переменных 71, 72, 73. Предположим, что У — аналитическая функция в некоторой окрестности нуля 7 = 72 = = -уз = О, содержащей сферу Пуассона [c.68]

Этот ряд будет сходиться для достаточно малых значений если р, q, г) gG G — некоторая малая окрестность нуля в R p, q, г ), а 7 принимают значения из сферы Пуассона [c.71]

В общем случае осесимметричного силового поля либра-ционные движения тела тоже, очевидно, лежат на множестве j = 0 . Поэтому рассмотрим подробнее случай, когда j = 0. Наличие группы симметрий позволяет факторизацией по g свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Ясно, что SO S)/g" = (сфера Пуассона). Понижая по Раусу порядок системы в локальных обобщенных координатах y, ср, ф (углы Эйлера), получим натуральную систему с двумя степенями свободы, в которой [c.144]

Условия совместимости в той постановке задачи о распространении, волн, которую дали Гюйгенс и Френель, также легко отыскать. С этой целью достаточно рассмотреть в произвольный момент предшествующий моменту точку Р внутри сферы 5 и взять ее за центр сферы Пуассона ра диуса — где —скорость распространения волны тогда среднее смещение и и скорость дu дt на поверхности сферы Пуассона должны равняться нулю при любом выборе точки Р и момента tl, если только точка Р находится вне области Так и поступают при выводе принципа Гюйгенса в форме интеграла по поверхности. Однако возможна другая постановка задачи, которую мы тоже дадим в формулировке Ж. Адамара [1]. [c.179]

Замечание. В динамике твердого тела для поиска интегралов, частных решений и анализа устойчивости обычно используется алгебраическая форма уравнений движения. Она также является предпочтительной при их численном интегрировании, вследствие того, что каноническая форма содержит особенности, связанные с вырождением локальных переменных в отдельных точках, например, углов Эйлера в полюсах сферы Пуассона, см. 2, 3). [c.31]

Для уравнений Эйлера-Пуассона (1.6), которые, при задании постоянной площадей, определяют динамику точки на сфере Пуассона в обобщенно-потенциальном поле (см. 1 гл. 4), известны несколько семейств периодических и асимптотических решений. Почти все эти решения, многие из [c.91]

Вследствие постоянства величины / вектор а находится из соотношений (2.2). Квадратуры для 7 могут быть легко получены при помощи сфероконических координат на сфере Пуассона 7 = 1. Действительно, в выбранной системе координат постоянная площадей равна нулю, а гамильтониан в случае Эйлера совпадает с дополнительным интегралом задачи Неймана с нулевым потенциалом. Следовательно, в сфероконических координатах переменные разделяются и можно воспользоваться формулами (7.17) гл. 1 (см. подробно 7 гл. 1). [c.98]

Есть петли на сфере Пуассона и в неподвижном пространстве [c.106]

Рис. 26. Изображено сечение поверхности регулярных прецессий (рис. 25) плоскостью /г = О, а также указаны линии точек возврата апекса оси динамической симметрии ф = ф = 0)ц апекса на сфере Пуассона (0 = < = 0). В узкой заштрихованной области траектория имеет петли как на сфере Пуассона, так и в абсолютном пространстве. В остальных областях петли возможны лишь в абсолютном пространстве либо отсутствуют вовсе.

Оказывается, что движение в этом случае при нулевой постоянной площадей с = О является периодическим не только для приведенной системы (на сфере Пуассона), но и в абсолютном пространстве [60] (см. рис. 36-39). [c.115]

Из рис. 40 хорошо видно, что при с = О все траектории на сфере Пуассона проходят через точки экватора (О, 1, 0) и (О, -1, 0), не пересекая при этом меридианальной плоскости 71 = 0. Этому соответствует замечательное движение центра масс в абсолютном пространстве — он описывает кривые с точками возврата, которые при любых энергиях лежат на экваторе (см. рис. 42). [c.128]

Неустойчивые периодические решения и сепаратрисы для случая Ковалевской имеют довольно запутанный вид как на сфере Пуассона, так и в неподвижном пространстве. На рис. 45 приведены траектории движения, соответствующие сепаратрисам при с О с= 1.15) и одном и том [c.128]

Рис. 45. Траектории на сфере Пуассона для решений, асимптотических к неустойчивым периодическим решениям.

Рис. 50. Решение Горячева представляет собой целый тор, заполненный периодическими решениями приведенной системы М, 7 (т.н. резонанс 1 1), при к < 1 (рис. а) это решения маятникового типа, а при к > 1 (рис. Ь) — вращательного. На этом и следующем рисунке приведены траектории на сфере Пуассона, соответствующие различным решениям на этом торе.

Рис. 53. Движение орта вертикали 7 на сфере Пуассона для устойчивого периодического движения в случае Горячева-Чаплыгина при различных значениях энергии.

Движение апекса на сфере Пуассона приведено на рис. 50. Замечательным феноменом, ранее не отмечавшимся, является то, что для решений Горячева в абсолютном пространстве при h < 1 движение является периодическим колебательного типа (см. рис. 51). А при h> 1 соответствующее движение — квазипериодическое двухчастотное (рис. 52). [c.141]

Рассмотрим положения относительного равновесия (т.е. положения равновесия приведенной системы на сфере Пуассона) для уравнений Гамильтона на алгебре е(3) с произвольным потенциалом, зависящем от 7 [c.144]

Из этого соотношения следует, что для вектора 7 на сфере Пуассона траектория также представляет собой полодии, конгруэнтные приведенным на рис. 64, получающиеся при пересечении сферы с эллипсоидом [c.155]

Странный аттрактор 256 Сфера Пуассона 54, 223 Сферический волчок 52 [c.377]

В общем случае, когда центр масс не совпадает с точкой подвеса, задача полного описания бифуркационных множеств и интегральных многообразий существенно усложняется. Она подробно изучена в работах Я. В. Татаринова [120]. Мы приведем в качестве примера серию рисунков из работы [120], на которой показан механизм перестройки бифуркационной диаграммы, когда центр масс из общего положения в плоскости Хз= = 0 переходит на ось л 1 = л 2=0. Числа на этих рисунках указывают многозначный род областей возможности движения на сфере Пуассона. Будем говорить, что связная область имеет род /, если Вьс диффеоморфна сфере 5, из которой удалены [c.120]

Наиболее просто уравнения (27) интегрируются в случае, когда постоянная интеграла площадей р2 равна нулю. В эллиптических координатах и, о на сфере Пуассона = 1 уравнения движения на уровне Мс можно привести к следующему виду [c.147]

Факторизация конфигурационного пространства — группы 50(3) по замкнутым вихревым линиям эквивалентна исключению угла прецессии ф. Правые части уравнений (2.11) не содержат координаты ф и поэтому уравнения для в и (р являются уравнениями на базе расслоения 50(3) вихревыми линиями. Нетрудно понять, что эта база диффеоморфна двумерной сфере, для которой в и ср будут обычными сферическими координатами. Эта сфера в динамике твердого тела обычно называется сферой Пуассона. [c.161]

Нетрудно показать, что — положительно определенная квадратичная форма. Докажем, что 7 и У определенные при 7 0,7Г, аналитически продолжаются на всю сферу Пуассона. Этот факт очевиден для потенциала У. Рассмотрим форму 3 в локальных координатах х = sini sin[c.144]

К полученной натуральной системе можно применить изложенные выше результаты. При к > ш область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые песамопересекающиеся геодезические, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений [57] . Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера-Пуансо, то эти решения суть возмущения постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции (см. 2, 3 гл. IV). [c.145]

Пусть сначала и = 0. Тогда совместные уровни функций Ii и I2 в трехмерном пространстве К ж1, Х2, жз — две окружности sj (г = 1, 2), лежащие в разных плоскостях жз = = onst. Каждой точке ж , х°, жЦ на Si (г = 1, 2) соответствует окружность, высекаемая на сфере Пуассона [c.153]

При записи этой системы в канонических координатах на кокасательном расслоении к сфере Пуассона в гамильтониане возникают линейные по импульсам слагаемые — магнитный мононоль [133]. [c.91]

Действительно, в случае Эйлера существуют три интеграла типа площадей Л 1 = (М,а), N2 = М,(3), N3 = (М,7), образующих алгебру 5о(3) Ni,Nj = eijkN .. При этом абсолютное фазовое пространство расслоено на двумерные, а не трехмерные торы. Отметим, что динамика приведенной системы (на сфере Пуассона) также двухчастотная, т. е. потеря частоты происходит при квадратуре для -ф. [c.94]

Из рисунка 31 следует, что при увеличении с до с = ( 1 ветка IV класса Аппельрота врезается в решение Делоне и при дальнейшем увеличении с до < 2 разбивает его на три части. При = 2 в точке h = 2, Р = О сливаются друг с другом ветки всех четырех классов Аппельрота. Точке их пересечения соответствует неустойчивая неподвижная точка на сфере Пуассона вращение Штауде) (см. 6 гл. 2) и асимптотическое к ней одномерное движение, которое легко вычисляется из (4.6) в элементарных функциях [c.118]

Решение Делоне (fe = 0). В этом случае траектория орта вертикали 7 на сфере Пуассона представляет собой кривые типа восьмерки (см. рис. 34, 35), причем при с = О (рис. 34) точки самопересечения этих восьмерок совпадают и имеют координаты 7 = (1, О, 0). Эта точка определяет нижнее положение центра масс тела. При увеличении с на сфере Пуассона также возникают неправильные восьмерки , все они пересекаются в двух точках на экваторе сферы Пуассона (см. рис. 35). [c.125]

Решение Бобылева-Стеклова. Решение Бобылева-Стеклова на бифуркационной диаграмме (см. рис. 31) находится на нижней правой ветви и ему соответствует устойчивое периодическое решение на сфере Пуассона (см. рис. 40, 41). [c.126]

Рис. 40. Решение Бобылева - Стеклова. Движение орта вертикали на сфере Пуассона при с = О и различных значениях энергии.

Рис. 40. Решение Бобылева - Стеклова. Движение орта вертикали на сфере Пуассона при с = О и <a href="/info/673251">различных значениях</a> энергии.

При сф О траектории на сфере Пуассона приведены на рис. 41, в этом случае апекс центра масс описывает в неподвижном пространстве кривые с точками возврата, лежащими на одной широте, которая зависит от постоянной энергии к (см. рис. 43). Физически решение Бобылева-Стеклова может быть реализовано следующим образом — тело закручивают вокруг оси, проходящей через центр масс и произвольно расположенной в абсолютном пространстве, и отпускают без начального толчка. [c.128]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. 46, 53-56). Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, по-видимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей (М, 7) = О (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, 4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны. [c.141]

Скобка Пуассона в переменных (М, 7) определяется алгеброй е(3) (см. 1 гл. 2). Симплектический лист алгебры е(3) 7 = 1, (М, 7) = с диффео-морфен кокасательному расслоению к двумерной сфере S = 7 = Эта сфера, являющаяся конфигурационным пространством приведенной (по ф) системы, называется сферой Пуассона. [c.223]

Уравнения Эйлера—Пуассона имеют интеграл <Л, е>=с, порожденный группой симметрий 50(2). Зафиксируем его постоянную и рассмотрим четырехмерный интегральный уровень Л с= <1), е <Ло), е) = с, <е, е> = 1 , диффеоморфный (ко)каса-тельному расслоению сферы Пуассона 5 = е6/ <е, е> = 1 . Положим о) = (й + се1(,Ае, е> вектор является горизонтальным касательным вектором в канонической связности главного расслоения (50(3), 5, 50(2)), порожденной инвариантной римановой метрикой <Л , й)>/2. Проекция 50(3)- -5 позволяет отождествить горизонтальные векторы с касательными векторами к сфере Пуассона. Пусть < , > — факторметрика на 5 [c.110]

О). (0,0, 1). Им соответстауют равномерные вращения твердого тела вокруг осей инерции. Поскольку в относительном равновесии тела (1) = се/<Ле, е (см. пример 15), то энергия Л и момент с связаны одним из соотношений Л = с /2Л, (1<5<3). Так как пространство положений твердого тела —группа 50(3)—компактно, то бифуркационное множество 2 является объединением трех парабол. В случае динамической симметрии число парабол уменьшается если Л1=Л2=Лз=Л, то 2 состоит из единственной параболы Л = с /2Л. Пусть В, .= = Л — область возможности движения на сфере Пуассона. Классификацию областей В, с и приведенных интегральных многообразий 1н, с в задаче Эйлера дает [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...