Теорема Дарбу

ТЕОРЕМА ДАРБУ. В окрестности каждой точки канонического многообразия суш,ествуют канонические координаты. [c.255]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Теорема (Дарбу). В малой окрестности любой точки на М существуют такие локальные координаты xi,..., ух,..., j/ ) [c.19]

Координаты X, у называются симплектическими (каноническими). Доказательство теоремы Дарбу можно найти в книгах [11, 41]. [c.20]

Согласно теореме Дарбу, уравнения Эйлера на Мс можно привести к каноническим уравнениям Гамильтона. Это можно осуществить явно, вводя специальные симплектические координаты / mod 2тг, L ( L с) по формулам Ii i = /( - Г sin/, h< 2 = = /с - os/, /30)3 = L. В этих переменных уравнения Эйлера [c.30]

В этом параграфе доказывается теорема Дарбу, согласно которой каждое симплектическое многообразие имеет локальные координаты р, q, в которых симплектическая структура записывается простейшим образом = = йр Л дц. [c.201]

Г. Построение симплектических координат индукцией по п. Если и = 1, то построение закончено. Пусть и > 1. Мы будем предполагать, что теорема Дарбу для К2"-2 уже доказана. [c.202]

Теорема Дарбу доказана. [c.204]

Теорема Дарбу для контактных структур. Теорема Дарбу — это теорема локальной единственности контактной структуры. Ее можно сформулировать в любой из следующих трех форм. [c.328]

Ясно, что первые две теоремы вытекают из третьей. Ее же мы выведем из аналогичной теоремы Дарбу о нормальном виде [c.328]

К. Вычислительные формулы. Предположим теперь, что мы пользуемся координатами теоремы Дарбу, в которых форма со имеет нормальный вид [c.330]

Здесь Н = Н (М, ЛГ, Л, Ао) — функция Гамильтона. Уравнения (3.10) на каждой орбите (регулярной или сингулярной) могут быть записаны (по теореме Дарбу) в обычной канонической форме. [c.283]

Теорема 5.5.9 (теорема Дарбу). Пусть (М, ш) — симплектическое многообразие. Для каждой точки ж е М суи ествуют такая окрестность и Эх и такие координаты <р 7-+K , что в каждой точке у U [c.229]

Локально контактные формы, подобно симплектическим формам, могут быть приведены к каноническому виду. Приведенный ниже результат представляет собой простое следствие теоремы Дарбу 5.5.9 для симплектических форм. [c.239]

Теорема 5.6.6 (теорема Дарбу для контактных форм). Пусть 9 = = х (1у1 + г — каноническая контактная форма на [c.239]

По теореме Дарбу в этом случае всегда существует аналитическое преобразование, приводящее (2.1) к каноническому виду pi,qi = Sij, Pi,Pj = О, Яг, Qj = 0. Однако для дальнейшего явный вид этого преобразования нам не потребуется. [c.323]

Действительно, по теореме Дарбу, найдется локальное преобразование X г, такое, что [c.106]

Эта теорема обобщает теорему Дарбу (соответствующую частному случаю, когда подмногообразие — точка). Теорема близка следующему обобщению теоремы Дарбу [c.13]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

Теорема Черри о период ческпх траекториях и теорема Дарбу об особых решениях уравнеи й с частными производными одинаково предостерегают против распространения свойств <ра решимых с стем на с стемы общего вида. [c.508]

Доказательство теоремы Дарбу. Симплектизуем ваше многообразие. На полученном 2п + 2-мерном симплектическом многообразии [c.328]

Г. Контактная геометрия систем лучей и волновых фронтов. Напомню, что контактной структурой на нечетномерном гладком многообразии называется невырожденное поле гиперплоскостей в касательных пространствах. В чем именно состоит условие невырожденности, несущественно, так как вблизи точки общего положения все поля гиперплоскостей общего положения на многообразии фиксированной нечетной размерности диффеоморфны (контактная теорема Дарбу, Добавление 4). [c.450]

Симплектическое слоепие. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. [c.31]

При ограничении скобки (1.3) на совместный уровень интегралов Р и Р2 она становится невырожденной и по теореме Дарбу ( 1 гл. 1) в некоторых симплектических координатах может быть представлена в обычной канонической форме. Для различных целей можно использовать как канонические переменные Эйлера в, (р, i>,Pe,Pip,Pi)), так и переменные Андуайе- [c.86]

Доказательство. Для х М выберем окрестность нуля в кег9 , и пусть У= X (-е, е), 17 = ехр V, Ц, = ехр(1 х t ) с М. Дифференциал (19, ограниченный на С//, является симплектической формой, так что по теореме Дарбу 5.5.9 для каждого у Щ существует окрестность Ц", с С/,, на [c.240]

По теореме Дарбу, если 1-форма ш имеет постоянный класс, то потенциалы Клебша всегда существуют. Более того, функции Ai,Bi,...,Bk можно принять за новые координаты обозначим их Xl,..., Х2к- Запишем в явном виде формулы (4.6) [c.127]

Здесь X — набор локальных координат Х1,..., Х2к на базе N. В соответствии с (4.12), функция Ь + д8/д1 зависит лишь от хх,..., Х2к,Ь и поэтому (4.11) является уравнением Ламба на N, при этом динамика описывается уравнением X = 11 Х,1). Матрица roti7, конечно, невырождена. С помощью теоремы Дарбу уравнение (4.11) можно преобразовать к каноническому виду дифференциальных уравнений Гамильтона (как это сделано в п.4). [c.131]

Здесь (ж1,...,ж ) = X — локальные координаты на гладком многообразии М", rottt — невырожденная матрица ротора ковекторного поля и х), h — гладкая функция на М". В силу предположения невырожденности rot и, п будет обязательно четным. По теореме Дарбу, заменой переменных х систему (1.13) локально всегда можно привести к каноническому виду уравнений Гамильтона. Однако это приведение лишь в исключительных случаях удается осуществить в явном виде. [c.187]

Теорема (Дарбу). Все симплектические многообразия данной фиксированной размерности локально симплектически диффеоморфны. [c.6]

Для тел, указанных в предыдущем упражнении, справедлива следующая теорема центр тяжести тела совпадает с центром тяжести трех масс, помещенных в центрах тяжести обоих оснований и среднего сечения и равных соответственно площадям оснований и учетверенной площади среднего сечения. (Дарбу, Статья в Механике Депейру, стр. 383—388.) [c.151]

Прежде всего очевидно, что траектория С является геодезической линией конуса с вершиной в точке О и направляющей С. Действительно, так -как скорость постоянна, то сила F направлена по главной нормали к С и, с другой стороны, сила F в точке М перпендикулярна образующей ОМ и скорости V, т. е. нормальна к рассматриваемому конусу. Но при помощи анализа, принадлежащего Дарбу (примечание VII к т. I Механики Депейру), можно показать, что этот конус будет круговым. Из уравнений (2), если сделать над ними преобразования, приводящие к теореме моментов относительно оси Oz, получим [c.316]

Заметим, что, хотя для собственно физики, где неголономные связи не играют существенной роли, работа Гамеля не представляла большого интереса и не оказала заметного влияния на развитие концепции взаимосвязи в релятивистский период, она все-таки упоминается в статье Э. Нетер как один из конкретных примеров, предшествующих установлению первой ее теоремы 242 Итак, мы рассмотрели несколько характерных и важных моментов в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение в предрелятивистский период (от С. Ли до Эйнштейна). Разумеется, этим не исчерпываются все направления этого периода, так или иначе связанные с обсуждаемой закономерностью (например, методы подобия и размерности в механике сплошной среды, берущие начало в трудах Галилея, Ньютона и Фурье и развитые затем трудами Стокса, Гельмгольца, Рэлея и др. проблемы геометризации механики, поднятые и развитые в работах Якоби, Бельтрами, Липшица, Дарбу, Герца я др. , и т. д.). [c.242]

Введем в рассмотрение вектор Дарбу. Для этого зафиксируем зремя t и дадим дуговой координате приращение Д5. Тогда естественный трехгранник перейдет в М тЧ р, изменив при этом свою ориентацию (рис. 8.2, а). По теореме Эйлера — Даламбера существует вектор малого поворота е, с помощью которого ориентация трехгранника может быть совмещена с ориентацией трехгранника М тЧ р ). Векторам Дарбу назы- [c.162]

Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике (1995) -- [ c.19 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.201 , c.328 ]

Динамика твёрдого тела (2001) -- [ c.31 ]

Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 (1999) -- [ c.229 ]

Динамика системы твердых тел Т.2 (1983) -- [ c.116 ]

Динамические системы-3 (1985) -- [ c.31 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...