Тензор метрический (фундаментальный)

Функции / 3 вычисляем по формулам (1.4.14) второй части книги, учитывая выражения компонент метрического тензора (4.1.4), символы Кристоффеля (4.1.5) и фундаментальные функции (4.1.68). [c.376]

Фундаментальный метрический тензор gmn недеформирован-нрй лопасти записывается в виде [c.410]

В (5.6.6) — метрический тензор V — оператор ковариантного дифференцирования по X при фиксированном у. Отметим, что матрица A(x-j ), рассматриваемая как функция аргумента является фундаментальным решением сопряженного оператора Q (V) = Q(-V). Используя известное [71] представление функции Макдональда K (z) в форме степенного ряда, можно показать, что при х у ядра j x - j ) имеют следуюш ий характер полярностей [c.158]

Здесь дс р — фундаментальный метрический тензор. К примеру, для четырех произвольных функций Д, к = 0,1,2,3, имеем [c.449]

Мы убедились в необходимости при решении задачи об определении поля по заданным источникам перейти к представлению о фундаментальном пространстве, метрический тензор которого имеет универсальный вид [c.49]

Однако, в соответствии с принципом эквивалентности, нет существенной разницы между устранимыми и неустранимыми полями оба типа полей должны подчиняться одинаковым фундаментальным законам. Допустим поэтому, что поля, обусловленные наличием больших масс (например, Земли или Солнца), описываются в 4-пространстве метрическим тензором так же, как и устранимые искусственно созданные поля. В частности, предположим, что и мировые линии свободных (т. е. свободно падающих) частиц и световых лучей, движущихся в неустранимых гравитационных полях, являются геодезическими в 4-пространстве, которые определяются теми же уравнениями (8.96) и (8.100), как и в случае устранимых полей. Единственное отличие тогда будет в том, что неустранимые поля нельзя полностью исключить с помощью преобразований пространственно-временных координат, т. е. [c.213]

Из (4.25) ясно, что смешанные компоненты g j фундаментального метрического тензора g в любой системе координат образуют единичную матрицу [c.60]

Из (5.4) видно, что еу можно рассматривать как ковариантные компоненты тензора. Как известно, с помощью любого тензора второго ранга х можно по ковариантным компонентам некоторого тензора образовать его контравариантные компоненты. В метрическом пространстве мы условились в качестве тензора х использовать фундаментальный тензор g. В нашем случае можно поднимать индексы либо с помощью g , либо с помощью g > [c.66]

Дальнейшая теория будет развита для тензоров в метрических пространствах. Обозначим через ds расстояние между точками с координатами х ж dx . Пусть величина ds определена формулой ds = ga dx dx - Матрица gi образует ковариантные компоненты фундаментального метрического тензора д, обратная матрица J I — контравариантные компоненты. Контравариантные век- [c.438]

Координаты gJ ij метрического тензора поверхности 1 1 могут быть выражены через координаты фундаментальных тензоров gij (см. с. 31) и Ьу (см. с. 34), среднюю и полную кривизны номинальной поверхности детали [c.400]

Как и для метрического тензора, определитель второго фундаментального тензора [c.400]

При рассмотрении достаточно больших участков Вселенной важную роль начинают играть гравитационные поля. В общей теории относительности гравитационные поля понимаются как изменение пространственно-временной метрики и описываются с помощью особой величины, называемой фундаментальным метрическим тензором. Метрические свойства пространства-времени образуют как бы своеобразные вненлше условия для системы, у которой изучаются статистические свойства. .. [c.146]

Последний результат может быть, конечно, получен и непосредственно из соображений общего характера. Действительно, задача определения метрически проективных пространств может быть рассматриваема как частный случай более общей задачи определения фундаментального тензора метрического пространства по компонентам его параллельного перенесения. Дифференциальные уравнения этой более общей задачи уже указаны, в сущности, выше —это формулы (V), в которых Gh и представляют компоненты параллельного перенесешгя. Дифференциальные уравнения (VI) получены из этих общих уравнений в результате подстановки в них выражений (IV) вместо Gki- Условия интегрируемости общих уравнений (V) имеют, как известно, вид [c.43]

Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта) системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести при этом в новых координатах квадрат интервала ds представляется в форме (68). Основополагающая идея Эйнштейна заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора rs ) от brs объясняется полем тяготения, которое, таким образом, делает геометрию иространственно-временного континуума римановой геометрией. Если ири этом тензор grs) таков, что вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в протяженной области иространственно-временного континуума, то в этой области существуют такие координаты (л -), в которых квадрат интервала допускает представление (66). В исходной системе координат (x,j составляющие тензора (grs) характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не обращается в нуль в протяженной области пространственно-временного континуума, — в этом случае составляющие тензора (grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле тяготения нельзя устранить во всей области никаким преобразованием координат, которого в этом случае попросту не существует. В этом заключается фундаментальное отличие истинных полей тяготения от полей сил инерции эти поля эквивалентны только локально ( в малом ), но отнюдь не глобально ( в большом ). [c.477]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Ковариантное относительно произвольных преобразований координат обобщение теории тяготения Ньютона должно содержать, прежде всего, обобщение уравнения Пуассона (П2.36). Это достигается путем введения в рассмотрение фундаментального метрического тензора призванного служить обобщением ньютонова потенциала тяготения. Следовательно, тензор должен удовлетворять общековариантной системе уравнений, одно из которых в ньютоновом пределе должно давать уравнение Пуассона (П2.36) для потенциала и. [c.447]

Исследование уравнений Эйнштейна (П2.39) показывает (подробности см. в фундаментальной работе [360]), что эти уравнения являются единственными при наличии следующих условий 1) соответствие уравнению Пуассона, 2) общая ковариантность (имеется в виду сохранение вида уравнений при преобразованиях координат, содержащих произвольные функции), 3) линейность от вторых производных метрического тензора д , 4) выполнение соотношения (П2.38) для левой части уравнения (П2.39), 5) (псевдо)евклидовость в отсутствие масс. [c.452]

Замечание. В т минах дифференциальной геометрии можно сказать, что на Й введена структура риманова многообразия посредством задания метрического тензора С = (Сц), который часто обозначается через g = (дц) и которому соответствует квадратичная форма, обозначаемая ёх и называемая первой фундаментальной формой многообразия. Подробности см., например, в книгах Ье опд-Реггап(1 [1963], Ма1Иау1П [1972] >. [c.77]

Хотя фундаментальное разложение (1) играет главную роль при доказательстве общих теорем, однако вычисление и, V и К в частных случаях может оказаться громоздким, поскольку при этом обычно требуется выполнить иррациональные действия. В то же время С и В вычисляются путем простого перемножения Р и Р . Если, например дьт и — ковариантные и контрвариантные компоненты метрического тензора в произвольно выбранных системах координат в пространстве и в отсчетной конфигурации соответственно, то компоненты тензоров С и В равны ) [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...