Динамическая неустойчивость траекторий

Динамическая неустойчивость траекторий 13 [c.290]

Итак, выводы об относит, степени упорядоченности определяются двумя результатами (3), (4). Во многих случаях вместо временных реализаций удобно использовать соответствующие временные спектры. По ним можно найти ф-ции распределения значений интенсивности или частоты. Для характеристики динамической неустойчивости движения, приводящей к хаосу динамическому, полезно использовать временные зависимости расстояний между траекториями D = Dtj,a) при разных значениях управляющего параметра. По ним строятся соответствующие ф-ции распределения/(Z), а), и далее используется описанный выше У. о. к. [c.229]

Если под действием сил и моментов, возникающих при отклонении от невозмущенного движения, летательный аппарат возвращается на первоначальную траекторию, то такое движение будет устойчивым. Аппарат в этом случае является динамически устойчивым, а в противном случае — динамически неустойчивым. [c.15]

Теорема 42. Если у динамической системы, определенной в плоской области G, число орбитно-неустойчивых траекторий конечно во всякой ограниченной части G, то во всякой замкнутой ограниченной области G а G, граница которой нормальна, число ячеек конечно. [c.290]

Рассмотрим некоторую систему, динамически неустойчивую, т.е. с разбегающимися траекториями. Чтобы упростить рассуждения, займемся ее крайне упрощенной дискретной моделью, в которой траектория последовательно проходит через точки бифуркации. [c.344]

В малых окрестностях гиперболических множеств (в том числе гиперболических аттракторов) динамическая система обнаруживает стохастические свойства в наиболее яркой форме. Во многих известных случаях, где обнаружено стохастическое поведение (наряду с той либо иной степенью неустойчивости траекторий), причиной стохастичности служит наличие в фазовом пространстве динамической системы инвариантных множеств, которые в первом приближении моделируются подковой Смейла или соленоидом Смейла—Вильямса (или их модификациями). [c.137]

Эргодические свойства динамических систем с ненулевыми показателями Ляпунова. Факт существования -гиббсовских мер и возможность исследования их эргодических свойств связаны в конечном итоге с сильной степенью неустойчивости траекторий на гиперболическом аттракторе. Мы рассмотрим сейчас ситуацию, когда, напротив, динамическая система проявляет довольно слабую степень неустойчивости траекторий. [c.152]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Наглядны.м примером, демонстрирующим нек-рые аспекты понятия У., является простейшая динамическая система тяжёлый шарик на неровной поверхности (рис. I) в точке I потенц. энергия шарика имеет максимум, и это положение равновесия неустойчиво под действием малых возмущений шарик скатывается в более низкую точку (2 или i), где его потенц. энергия имеет минимум. Если пренебречь трением, то шарик будет в течение бесконечного времени совершать колебания вблизи положения устойчивого равновесия (точек 2 и J). Если шарик начнёт скатываться с точки, более низкой, чем точка i, то амплитуда колебаний будет меньшей (т. к. нач. энергия системы меньше). Однако близким нач. данным будут отвечать траектории с. близкими периодами и амплитуда- [c.253]

Понятие Э. используется также в классич. механике ка характеристика хаоса динамического в системах с неустойчивостью движения—экспоненциальной расходимостью близких в нач. момент траекторий. Количественной мерой неустойчивости таких систем служит энтропия Крылова— Колмогорова — Синая, или АГ-энтропия. Для широкого класса систем АГ-энтропия выражается через положительные показатели Ляпунова по формуле [c.618]

В рассматриваемой динамической системе без зоны нечувствительности единственным устойчивым элементом является точка (О, 0), Областью устойчивости в большом состояния равновесия будет при Л Гз О, S > О, Л + S — 1 > О все фазовое пространство. Если Л + S — 1 О, Л Г- О, S > О и выполняется условие (29), то в фазовом пространстве существует неустойчивое периодическое движение, состоящее из двух симметричных кусков траекторий, расположенных соответственно в полупространствах "ф > О и -ф < О (неустойчивый предельный цикл). [c.183]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

Относительно теоремы Лиувилля необходимо сделать одно замечание. Хотя фазовый объем, занимаемый мечеными фазовыми точками, остается постоянным в процессе динамической эволюции, форма этого объема меняется очень сложным образом из-за неустойчивости фазовых траекторий. Близкие точки быстро расходятся на большое расстояние, поэтому с течением времени область АГо с гладкой границей превращается в область АГ весьма причудливой формы, напоминающей мыльную пену. В связи с этим говорят, что статистический ансамбль обладает свойством перемешивания в фазовом пространстве. [c.17]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

Самое удивительное в том, что при определенных условиях движение очень простых систем становится не только похожим, но и неотличимым от случайного. Как объяснить это Объяснений несколько, остановимся на так называемом алгоритмическом подходе в теории динамических систем. Перенесемся в фазовое пространство — обычное пространство координат и пространство скоростей (или импульсов) системы. Если теперь мы поместим в фазовое пространство динамическую систему (даже очень простую), то ее роль состоит в превращении случайности начальных условий в макроскопическую случайность движения системы. При существовании в системе, так называемой, локальной неустойчиво-Сти когда близкие траектории расходятся, на каком-то этапе движение определяется деталями начальных условий и сильно зависит от них. Предположим, что фазовое пространство ограничено. Тогда, рано или поздно, разбежавшиеся траектории вернутся друг к другу. И так будет много раз. Происходит как бы перемешивание фазового пространства, проявляющееся в хаотическом движении фазовых траекторий. [c.31]

Следует ожидать, что вдоль радиуса-вектора должна быть направлена наибольшая ось эллипсоида инерции, так как, по аналогии с гантелью, вытянутость вдоль радиуса-вектора наилучшим образом способствует восстанавливающему действию ньютоновского поля сил. В самом деле, в приложении 1 показано, что в неподвижном ньютоновском поле абсолютное равновесие устойчиво тогда и только тогда, когда большая ось эллипсоида инерции совпадает с направлением на центр притяжения. Но тогда следует ожидать, что второй осью в плоскости орбиты (в случае круговой орбиты, направленной по касательной к траектории) должна быть средняя ось эллипсоида инерции. Действительно, в этом случае наилучшим образом используется оставшаяся динамическая вытянутость тела для стабилизации его положения вдоль касательной к орбите под действием центробежных сил. Такое положение средней оси следует и из того, что она не может быть расположена по бинормали к орбите, так как относительное равновесие тела есть абсолютное вращение вокруг направления бинормали, а вращение свободного тела около средней оси инерции неустойчиво ньютоновские и центробежные силы не ликвидируют эту неустойчивость. [c.28]

Если неустойчивые периодические решения невозмущенной задачи не вырождены, то они не исчезнут при добавлении возмущения ([1, гл. III]), и через их траектории снова пройдут пары сепаратрис ([1, гл. VII]). Однако возмущенные сепаратрисы не обязательно совпадут. Это явление, обнаруженное впервые Пуанкаре [13, 19], называется расщеплением сепаратрис. Оно коренным образом рознит поведение траекторий невозмущенной и полной систем. Из существования расщепленных сепаратрис вытекает, например, расходимость рядов многочисленных вариантов теории возмущений. Таким образом, расщепление сепаратрис также является динамическим эффектом, препятствующим интегрируемости уравнений динамики. [c.99]

Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения обнаруженных сравнительно недавно грубых препятствий топологического характера. В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода х, х 2 не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы причиной является наличие большого числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы зависимы. Этот результат (не замеченный классиками из-за пристрастия к локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных направлениях. Доказательство неинтегрируемости использует вариационные методы и тонкие факты из т ории особенностей аналитических отображений. [c.133]

При помощи первого метода Ляпунова можно построить частное решение или семейство частных решений системы дифференциальных уравнений (1), стремящихся к положению равновесия х = О ири +ОС или — ос в виде некоторых рядов. Поведение указанных траекторий динамических систем содержит много полезной информации о структуре фазового портрета в малой окрестности начала ж = 0. В частности, существование траектории, стремящейся к некоторому положению равновесия ири — ос влечет неустойчивость этого положения равновесия. [c.89]

На рис. 29,3 схематично показана траектория движения узла при колебании в виде эллипса, который получается как результат сложения двух колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях, сдвинутых по фазе. Часть силы трения совершает работу, которая идет на поддержание колебательного процесса. Релаксационные колебания, приводя к неустойчивому перемещению узлов, могут вызвать значительные динамические нагрузки на узлы станка и режущий инструмент, а также погрешности при обработке деталей. Плавность перемещения рабочих узлов станка особенно необходима в станках высокой точности (координатно-расточных, шлифовальных, зубообрабатывающих, токарно-винторезных), а также в отсчет-ных механизмах обычных станков. [c.80]

В последние годы поведение решений гамильтоновых уравнений (1.1.1) было изучено для различных систем методами нелинейной механики. Важной особенностью этих решений является динамическая неустойчивость траекторий в фазовом пространстве. Это означает, что если q to),p to)) и [q to)- -Aq to),p to)- -Ap to)) — две близкие фазовые точки в момент времени то расстояние [Aq t), Ap t)) между этими точками может расти экпоненциально со временем. Таким образом, при сколь угодно малой вариации [Aq to), Ap to)) начальных условий расстояние между фазовыми траекториями превысит любую наперед заданную величину, если взять достаточно большой интервал времени t — to т. е. динамическое состояние системы становится непредсказуемым. Это свойство траекторий называется динамическим хаосом ). [c.13]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Б этом случае к множеству особых траекторий, целиком лежащих в замкнутой области G (т. е. к множеству лежащих в G орбитно-неустойчивых траекторий с добавлением всех орбитно-устойчивых состояний равновесия), присоеднпяется еще конечное число дуг без к01ггакта, дуг траекторий и некоторых полутраекторий, характеризующих нормальную границу той области G, в которой рассматривается динамическая система. [c.285]

Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической системы в плоской области, называть особой траекторией или особтлм элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособои. Будем также называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории. Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет место лемма, доказательство которой проводится так же, как и дока .а-тельство леммы 1. [c.290]

Впервые понятия особых и неособых траекторий были введены А. Андро-новы-м и Л. Понтрягиным для одного класса динамических систем, именно, для так называемых грубых систем . Понятие орбитио-устойчивы.х и неустойчивых траекторий, данное в [46] и изложенное в главе VII настоящей книги, является естественным обобщением этих понятий. [c.555]

С. Смейл продемонстрировал пример, существенной деталью которого была знаменитая подкова Смейла . Вскоре появились У-снстемы Д. В. Аносова и аксиома А Смейла, н тем самым был выделен интересный и важный класс динамических систем, обладающих свойством экспонеицнальной неустойчивости траекторий. [c.6]

Выполнение условия (1) строго доказано лишь длн век-рых динаыич, систем с малым числом степенен свободы. Предполагается, что Р. характерно для ми. систем и отражает общее свойство неустойчивости (раа-беганвя) фазовых траекторий по отношению к малым возмущениям нач. условий. Р. обусловливает непредсказуемость и необратимость поведения динамич. системы хаос динамический). Р. соответствует представлению о характере движений в сложной динаыич. системе, требующем перехода к статистич. описанию, но не даёт строгого обоснования применимости методов статистич, механики. [c.248]

СЕПАРАТРИСА (от лат. зерагаЬй) — траектория динамической системы С двумерным фазовым пространством, стремящаяся к седловому состоянию равновесия при времени - оо устойчивая С.) или при г —>— оо (неустойчивая С.). Если С. стремится к седлу при < < , то её (вместе с седлом) называют петлей С. [1,2]. В диссипативных динамич. системах из петли С. может рождаться предельный цикл [2]. В консервативных динамич. [c.487]

Детерминированный хаос характеризуется наличием периодического процесса, траектория которого воспроизводится, т.е. после повторения начального состояния вновь воспроизводится одна и Та же траектория, независимо от ее сложности. Это позволяет по параметрам одного из периодов повторения траектории прогнозировать будущее. Однако при этом необходимо учитывать свойства равновесных и неравновес-ных систем. Неравновесные открытые системы допускают новые структурные состояния. Диссипативные системы независимо от вида устойчивости вызывают уменьшение фазового объема во времени до нуля. Так что диссипативная система может переходить в упорядоченное состояние в результате неустойчивости предыдущего неупорядоченного состояния. Первоначально устойчивая диссипативная структура в процессе своей эволюции достигает критического состояния, отвечающего порогу устойчивости структуры, начинает осцилировать, а возникающие в ней флуктуации приводят к самоорганизации новой, более устойчивой структуры на данном иерархическом уровне эволюции. При этом важным является тот факт, что как и в биологических системах, переходы устойчивость - неустойчивость - устойчивость контролируются кумулятивной обратной связью. Она отличается от регулируемой извне обратной связью тем, что позволяет самоорганизовывать такую внутреннюю структуру, которая повышает степень ее организации. Таким образом, кумулятивная обратная связь за счет накопленной внутренней энергии позволяет системе осуществлять не просто обратное взаимодействие, учитывающее полученную информацию о предыдущем критическом состоянии, но и обеспечивать сохранение или повышение организованности структуры. Такой характер эволюции динамической [c.21]

Появление резонанса в динамических макросистемах означает, что в фазовом пространстве возникают точки, в которых невозможно вычислить траектории, так как они отвечают одной из форм детерминированного хаоса, связанного с неустойчивостью системы. В случае квантовых систем это условие отвечает коллапсу волновой функции, а классических " разбеганию траекторий. Таким образом, И. Пригожин показал, что хотя основной объект квантовой механики волновая функция удовлетворяет обратимости во времени, без учета точек бифуркаций, отвечающих переходам порядок-хаос-порядок как в макро-, так и в системах наномира нельзя описать физические процессы в неравновесных системах на пути к равновесию. [c.67]

Еще в начале 20 века было установлено, что классическая мехарика Ньютона, развитая для макромира, описывет движение тел по вполне определенной траектории. Квантовая механика связана с поведением квантового физического поля, определяемого существованием универсальной постоянной Планка. Она названа квантом действия. Возникновение противоречия между классической и квантовой механикой были сняты И. Пригожиным [5] (см. раздел 2.3.). В соответствии с теорией необратимых процессов И. Пригожина, эволюция любой динамической системы включает переход устойчивость - неустойчивость - устойчивость . Если такие переходы отсутствуют, то система погибает , так как не способна к своему развитию [5]. Точки перехода являются критическими (точками бифуркаций), при достижении которых возникает высокая чувствительность системы флуктуациям в связи с нарушением ее симметрии. Это определяет неравновесный фазовый переход, в процессе которого происходит самоорганизация новой структуры, более адаптивной к нарушениям симметрии [5]. Как было показано в 1 главе, отношение критических управляющих параметров для предыдущей точки бифуркаций () к последующей (Xn+i ) является мерой адаптивности системы к нарушению симметрии, связанной с функцией F еамоподбного перехода от предыдущей к последующей точке бифуркаций [c.85]

Особая точка такого типа называется устойчивым узлом. Случаю устойчивого узла соответствует апериодическая устойчивость реальной системы. Тогда, как видно на рис. ПП.З, при любых начальных отклонениях система не более чем за 1,5 полуколебания достигнет равновесного режима. Необходимо подчеркнуть, что, так же как и в случае фокуса, время движения изображающей точки по фазовой траектории, или, что то же самое, время прихода системы к равновесию, равно бесконечности. Если > о и 6 < О, то характер фазовой плоскости принимает вид, показанный на рис. ПП.5. Особая точка в этом случае является неустойчивым узлом. Легко видеть, что динамическая система при этом будет неустойчивой. [c.224]

С. В. Болотин указал интересное применение теоремы 2 в динамике твердого тела. Речь идет о возмущении приведенной задачи Лагранжа, рассматривавшейся в п. 2. Если постоянная площадей равна нулю, то характеристические числа неустойчивого равновесия оказываются вещественными, и поэтому теорема Деванея неприменима. В [29] показано, что если тензор инерции не шаровой, и центр масс тела несколько смещен относительно оси динамической симметрии (при этом его г-координата отлична от нуля), то возмущенная задача Лагранжа допускает не являющуюся главной трансверсальную гомоклинную траекторию к слабо нерезонансному положению равновесия. Для построения нужной траектории используются идеи теории возмущений (см. 1). Эта задача обсуждается также в работе [51]. [c.301]

Можно также доказать, что рассматриваемая динамическая система имеет траекторию, стремягцуюся к неподвижной точке нри р —оо, что означает неустойчивость этой критической точки. [c.112]

Когда уравнения возмущенного движения нелинейны, вопрос о существовании периодических движений рассматривали А. А. Андронов (1937) для уравнений второго порядка и П. А. Кузьмин (1939) для уравнений второго и третьего порядков, а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации, так и в точках ответвления периодических орбит исследовал Н. Н. Баутин (1950). Последний показал, что в рассматриваемых случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво,, называют безопасными , а те границы, на которых оно неустойчиво,— опасными . Нахождение опасных и безопасных границ сводится, к решению задачи устойчивости в критических случаях. Впоследствии эти результаты были развиты в работах ряда авторов (А. И. Лурье, 1951 И. Г. Малкин, 1952, и другие). [c.60]

В работах М. Е. Эльясберга расширено представление о динамических зависимостях силы резания от изменения толщины срезаемого слоя. Зависимости описаны в виде функций с запаздывающим аргументом. Экспериментально получена величина запаздывания для некоторых режимов резания и материалов. Использование функций с запаздывающим аргументом неудобно в расчетах, поэтому в этих работах выполнено упрощение и в результате получено дифференциальное уравнение первого порядка, связывающее силу резания, ее первую производную по времени и относительное смещение режущего инструмента и обрабатываемой заготовки. Такое представление силы резания позволяет объяснить появление неустойчивости даже в том случае, когда упругая система имеет одну степень свободы за счет динамической неоднозначности силы резания. Автоколебания могут возникать и в том случае, если траектория режущего инструмента относительно обрабатываемой заготовки является однозначной кривой, и, в частном случае, прямой, что наблюдается в системе с одной степенью сво боды. [c.7]

Разработаны также методы качественного исследования диссипативных систем и систем с антидиссипацией, позволившие получить условия бифуркации рождения устойчивых и неустойчивых автоколебаний, а также условия отсутствия любых таких траекторий. Метод исследования плоских топографических систем Пуанкаре и систем сравнения удалось распространить на высшие размерности. Получены достаточные условия устойчивости по Пуассону некоторых классов незамкнутых траекторий динамических систем. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...