Гиперболический аттрактор

Теорема. Пусть Л — гиперболический, аттрактор класса С , — его область притяжения и —любая непрерывная функция. Тогда для т-почти всех точек 1Гл [c.161]

В настоящей главе мы продолжаем пополнять наш список примеров, двигаясь в нескольких направлениях. Сначала будем искать гиперболические множества, которые являются аттракторами (см. определение 3.3.1). До сих пор все известные нам примеры такого вида, а именно сжимающиеся периодические орбиты, гиперболические автоморфизмы тора, где весь тор был аттрактором, и произведение этих двух систем, когда инвариантный тор, сужение автоморфизма на который гиперболично, притягивает все точки в своей окрестности, были достаточно просты с геометрической точки зрения. В первых двух параграфах мы опишем гораздо более замысловатые примеры гиперболических аттракторов. [c.533]

Опишите конструкцию такого гиперболического аттрактора, что отображение / топологически сопряжено с автоморфизмом группы, двойственной к дискретной группе А-ичных рациональных чисел т к т,п Т . [c.537]

С помощью упражнения 17.2.1 получите отображение сферы 8 с гиперболическим аттрактором, начиная с Р вместо Р . [c.542]

Определение 2.5. Множество Л называется гиперболическим аттрактором, если оно является аттрактором и одновременно гиперболическим множеством. [c.136]

Хотя гиперболические аттракторы и не встречаются в простых физических системах, они служат хорошей моделью того, что происходит в реальных ситуациях. [c.136]

Другой пример гиперболического аттрактора можно получить, перестроив гиперболический автоморфизм А двумерного тора Тог . Точнее, имеет место следующее утверждение. [c.136]

Гиперболический аттрактор для 5 является замыканием неустойчивых сепаратрис точек О] и О2. [c.137]

В малых окрестностях гиперболических множеств (в том числе гиперболических аттракторов) динамическая система обнаруживает стохастические свойства в наиболее яркой форме. Во многих известных случаях, где обнаружено стохастическое поведение (наряду с той либо иной степенью неустойчивости траекторий), причиной стохастичности служит наличие в фазовом пространстве динамической системы инвариантных множеств, которые в первом приближении моделируются подковой Смейла или соленоидом Смейла—Вильямса (или их модификациями). [c.137]

Допустим, что динамическая система имеет гиперболический аттрактор Л (см. 2). Тогда вместе с каждой точкой хбЛ о содержит W (x). Фиксируем малую окрестность U (х) точки х в ТИ и через точки y U (х) П Л проведем ЛНМ V" (у), которые образуют разбиение = y(j )fiA. множества U x)f]A. Рассмотрим произвольную борелевскую меру Я, на Л и ее ограничение на i/(x)nA. Поскольку g измеримо, X индуцирует на Х-почти-каждом С и условную меру х(- С и). [c.143]

Меры с максимальной энтропией. Теорема 3.3 позволит нам свести многие вопросы о топологических и эргодических свойствах гиперболических аттракторов к проблемам статистической механики ы-гиббсовских мер. [c.146]

Теорема 3.10 (см. [13], [90]). Пусть А—гиперболический аттрактор диффеоморфизма S, причем 5 Л — топологически транзитивно. Тогда существует окрестность U аттрактора Л такая, что для любой непрерывной в U функции ф и почти любой. [c.149]

В случае, когда S — диффеоморфизм класса гладкого многообразия М., обладающий гиперболическим аттрактором Л, Кифером найдены условия, при выполнении которых последовательность мер Яе сходится к единственной ы-гиббсовской мере на Л. Для частного случая, когда S — диффеоморфизм Аносова гладкого компактного многообразия, этот результат был получен ранее в [41]. [c.151]

Эргодические свойства динамических систем с ненулевыми показателями Ляпунова. Факт существования -гиббсовских мер и возможность исследования их эргодических свойств связаны в конечном итоге с сильной степенью неустойчивости траекторий на гиперболическом аттракторе. Мы рассмотрим сейчас ситуацию, когда, напротив, динамическая система проявляет довольно слабую степень неустойчивости траекторий. [c.152]

Пусть А —гиперболический аттрактор. Поскольку У (х)с А для всякого х А, то dim н(,1 (л )п А) = 1 и, следовательно, dim//A=l+i . Кроме того, если fj, — мера Боуэна — Рюэля— Синая на А, то dim//(G n V -"(- )) = xi/ Х (см. 3) и, следовательно, dim// Gn = 1 -f xj, /1 [c.170]

Следствие (см. [103]). Если Л — гиперболический аттрактор диффеоморфизма S класса С + , отображение 5 Л топологически транзитивно и ц. — мера Боуэна—Рюэля—Синая на Л (см, 3), то С(А) А. [c.172]

Простейшими примерами аттракторов служат устойчивая неподвижная точка и устойчивая периодическая траектория. В главе б, 2 речь шла о гиперболических аттракторах глад-< [c.197]

Доказательство теоремы 2.3 основано на построении для естественного расширения отображения f системы локальных неустойчивых слоев, аналогично тому, как это делается для гиперболических аттракторов, см. главы 7, 8. [c.214]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Рассмотрим, например, динамическую систему на сфере с поглощающей областью, имеющей максимальный аттрактор в виде пары петель гиперболического седла (восьмерка, см. рис. Б9а). На фотографии, сделанной по описанному методу, получится положение равновесия и четыре интервала сепаратрис (рио. 59 6). Чем больше время съемки, тем меньше эти интервалы, поскольку относительное время, проводимое траекториями вблизи седла, растет. Вероятностно предельное множество в этом примере — вся восьмерка. [c.158]

П.1.4. Опишите диффеоморфное вложение полнотория в себя, которое может быть реализовано как непрерывная деформация в и обладает гиперболическим аттрактором [c.537]

Одна из возможных модификаций этого отображения состоит в том, чтобы рассмотреть преобразование полнотория в R , соответствующее настоящему наматыванию резиновой ленты два раза вокруг некоторого цилиндрического объекта (см. упражнение 17.1.4). Однако еще интереснее получить гиперболический аттрактор для отображения, которое получается непрерывной деформацией двумерной сферы, где, как кажется на первый взгляд, совсем мало места для совершения сложных растяжений и изгибаний. Мы построим такой аттрактор как побочный продукт некоторой хирургической операции , выполняемой на гиперболическом автоморфизме двумерного тора. Эта операция напоминает процедуру построения потока Черри из линейного потока на Т. [c.538]

Мы, таким образом, построили гиперболический аттрактор на Т . В определенной степени соотношение между этим аттрактором и гиперболическим автоморфизмом F подобно соотношению между минимальным множеством Данжуа для нетранзитивного гомеоморфизма окружности (см. 11.2) и со-ответствуюпшм иррациональным поворотом. [c.541]

Т и —гладкое многообразие. Нетрудно вндеть, что М представляет собой двумерную сферу с четырьмя дырками (упражнение 17.2.1). Поскольку f(—x) = -f x), мы получаем индуцированное отображение / М —уМ, которое дифференцируемо и инъективно. Заполняя S M четырьмя отталкивающими точками (одной неподвижной и тремя периодическими точками периода три), получаем диффеоморфизм / 5 5 с гиперболическим аттрактором (получающимся при проектировании множества А на М). Это и есть аттрактор Плыкина р]. [c.541]

Используя то обстоятельство, что каждая поверхность положительного рода является разветвленным накрытием иад тором, опишите для любой такой поверхности построение такого диффеоморфизма /, что множество VW( ) состоит нз гиперболического аттрактора и конечного числа неподанжных точек. [c.542]

Теорема 2.6 (см. [90]). ЛМГМ Л является гиперболическим аттрактором тогда и только тогда, когда W (x) zA для всякого хбЛ. [c.136]

Таким образом гиперболический аттрактор целиком состоит из неустойчивых многообразий, а сложность топологической структуры такого аттрактора связана с тем, что пересечение неустойчивых многообразий с трансверсальным к ним подмногообразием представляет собой множество канторовского типа. [c.136]

Определение 2.6. Динамическая система называется равномерно частично гиперболической (РЧГ-системой), если каждая ее траектория удовлетворяет условию частичной гиперболичности и постоянные С, X, [а можно выбрать одними и теми же для всех траекторий. Инвариантное множество Л, все траектории которого являются равномерно частично гиперболическими (с одними и теми же постоянными С, X, х,), называется равномерно частично гиперболическим (РЧГ-множеств10м). Если РЧГ-множество является аттрактором, оно называется равномерно частично гиперболическим аттрактором (РЧГ-аттрак-тором). Под РЧГ-системой (соответственно РЧГ-множеством или РЧГ-аттрактором) в узком смысле мы понимаем РЧГ-сис-тему, все траектории которой удовлетворяют условию частичной гиперболичности в узком смысле. [c.137]

Свойства ы-гиббсовских мер. и-гиббсовские меры играют решающую роль при исследовании статистических свойств ти-1ИЧНЫХ траекторий в окрестности гиперболических аттракторов. Точнее, имеет место следующее утверждение. [c.149]

Для гиперболических аттракторов справедлив иной вариант т еоремы о сходимости, чем (7.27). А именно, последовательность мер S."v слабо сходится к мере (х. Однако, для аттракторов, более общих, чем гиперболические, следует, вообще говоря, ожидать лишь сходимости в среднем. [c.150]

Гиперболические аттракторы (см. гл. 7, п. 2.5) являются стохастическими. Сейчас мы подробно рассмотрим структуру и свойства стохастического аттрактора, возникающего в знаменитой системе Лоренца (Е. Lorenz). [c.198]

Другие примеры гиперболических странных аттракторов. -В. Н. Белых [12] рассмотрел отображение, имеющее гиперболический аттрактор и не сводящееся, ни в каком смысле, к од-ломерному. Этот пример также возник при исследовании конкретных динамических систем, возникающих в физике, — так называемых дискретных систем фазовой синхронизации. Для наглядности мы рассмотрим простейшую ситуацию, когда соответствующее отображение кусочно линейно и имеет место свойство 6). [c.203]

Аналог этой теоремы для случая седла по гиперболическим переменным (когда вместо аттрактора рождается сложное ннварнантное множество) анонсирован в [33]. Отметим, что полное доказательство теоремы до сих пор яе опубликовано и, по-вндимому, не получено. [c.119]

С другой стороны, определения аттрактора даются так, чтобы обеспечить хаотичность поведения траекторий на нем (и, может быть, возле него). Так возникают гиперболический, стохастический и другие аттракторы [100], [101], [198]. Неизвестно, однако, типичны ли системы с хаотическим поведением траекторий на аттракторе в классе систем, атракторы которых не состоят из конечного числа точек и циклов. [c.156]

Касание неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием того же самого или другого седлового цикла. В первом случае возникает гомоклиническая траектория, и при е>8 —нетривиальное гиперболическое множество, во втором — гетероклиническая траектория, и при е>8 аттрактор уже не является тором. [c.161]

Нелокальные бифуркации многомерных систем исследованы, в основном, математиками школы А. А. Андронова. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического седла см. работы Л. П. Шильникова [109], [ПО], [113]. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического цикла см. [28], [31], [33], [180], гиперболического седла — [111], [112], [114], [147]. О бифуркациях контуров (на Западе называемых циклами) см. [30], [58], [62], [66], 1.139], [176]—[178], [180], [183]. Нелокальным бифуркациям в типичных двупараметрических семействах посвящены работы [49], [50], [65] — [67], [80], [81]. О цепочке бифуркаций, приводящих от точечного аттрактора к аттрактору Лоренца, см. [29], [101], [173]. О различных понятиях аттрактора см. [100], [101], [158], [173], [174], [181], [198]. [c.209]

Временной хаос имеет своим адекватньш геометрическим образом странный аттрактор, пространственный хаос—согласованное седловое (гиперболическое) инвариантное множество. Здесь, по-видимому, необходимо дальнейшее уточнение. [c.92]

Для структурной устойчивости системы с более чем двумя степенями свободы по гипотезе Смейла (1965) необходимо и достаточно, чтобы у каждого осуществляемого фазовым потоком преобразования Г/ фазового пространства множество Q неблуждающих точек было гиперболическим, а множество периодических точек — всюду плотным в й (так называемая аксиома А ) и, кроме того, чтобы каждое устойчивое и каждое неустойчивое многообразия точек из Q были бы трансверсальными. Достаточность этих условий доказана в довольно общем виде, а необходимость — пока что лишь при более ограниченном определении структурной устойчивости. Стохастичность аттракторов в системах, удовлетворяющих аксиоме А , доказана Боуэном и Рюэллем (1975). [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...