Траектория орбитно-неустойчивая

Приведенные теоремы позволяют сделать исчерпывающие заключения относительно того, какие полутраектории, а следовательно, и какие траектории орбитно-неустойчивы. Именно, всякая орбитно-неустойчивая (т. е. особая) траектория принадлежит к одному из следующих типов [c.53]

Все сказанное относительно положительной полутраектории с очевидными изменениями может быть повторено и относительно отрицательной полутраектории. Таким образом, мы будем также говорить о траектории, орбитно-устойчивой при — со, или а-орбитно-устойчивой, и о траектории, орбитно-неустойчивой при [c.413]

Очевидно, U (а)-орбитно-неустойчивая траектория L ие является орбитно-устойчивой ни в одной своей точке, т. е. если М — какая-нибудь се точка, то существует ео > О такое, что при любом сколь угодно малом O > О найдется траектория L, проходящая через точку f/g М), и при i > т, выходящая пз Ео-окрестности Lti- [c.259]

Замечание. Если топологическое отображение Т сохраняет ориентацию и направление по 1, то ю-орбитно-неустойчивая траектория отображается в ю-орбитно-неустойчивую и а-орбитно-неустойчивая — в а-орбитно-неустойчивую. [c.260]

Теорема 37. Всякая траектория, являющаяся предельной хотя бы для одной отличной от нее траектории, или со, или а (иш и (о и а), орбитно-неустойчива. [c.262]

Совершенно так же мы покажем, что в случае, когда траектория Ь является а-предельной для некоторой отличной от нее траектории Ь , она заведомо является ы-орбитно-неустойчивой. Теорема доказана. [c.262]

Обратно, пусть L+ — полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия О и орбитно-неустойчивая. Тогда существует ео > О такое, что сколь бы ма.яую окрестность любой точки R полутраектории L+ мы ни взяли,, среди пересекающих эту окрестность траекторий всегда найдется такая, которая выходит при возрастании t из U L )- [c.267]

О). В самом деле, тогда и вокруг каждой точки полутраектории L+ можно было бы указать такую окрестность, чтобы все пересекающие эту окрестность траектории не выходили бы из ео-окрестности L , что невозможно по самому выбору числа ео. А отсюда следует, что в случае, когда полутраектория L+ орбитно-неустойчива, все траектории, пересекающие либо часть дуги Я,, лежащую по положительную сторону L i, либо часть дуги Я,, лежащую по отрицательную сторону L i (либо и туи другую части дуги Я,), при возрастании t выходят из окружности С. Теорема доказана. [c.267]

Лемма 6. Все точки угловой дуги и угловой траектории, а также все точки орбитно-неустойчивой полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта, могут быть граничными не более, чем для двух ячеек. [c.289]

Доказательство. Покажем сначала, что угловая дуга, угловая полутраектория и орбитно-неустойчивая полутраектория, пересекающая граничную дугу, не могут быть предельными для траектории, целиком лежащей в С, отличной от той, пз которой они выделены. Для угловой дуги и угловой полутраектории это непосредственно вытекает из определения нормальной границы (см. условие 3)). [c.289]

Теорема 42. Если у динамической системы, определенной в плоской области G, число орбитно-неустойчивых траекторий конечно во всякой ограниченной части G, то во всякой замкнутой ограниченной области G а G, граница которой нормальна, число ячеек конечно. [c.290]

В математической литературе эллиптической областью часто называется область, через все точки которой проходят траектории при I —- -оо и г ——оэ, стремящиеся к состоянию равновесия О, среди которых могут быть как орбитно-устойчивые, так и орбитно-неустойчивые траектории. [c.328]

Мы будем называть замкнутую траекторию Ь траекторией данного центра О, если внутри Ь кроме О нет ни одного особого элемента (т. е. ни одной орбитно-неустойчивой траектории и ни одной граничной кривой). [c.361]

Очевидно, все траектории являются особыми (орбитно-неустойчивыми), и расстояние д между континуумом К и границей области С, в которой рассматривается динамическая система (в силу того, что эта [c.420]

Далее, пусть, L . .., Lp (L) — все полутраектории, принадлежащие орбитно неустойчивым траекториям и стремящиеся к континууму а L[ L . . ., Lq (L) — все угловые полутраектории, стремящиеся к К [c.443]

Лемма 12. Пусть а — простая а-дуга, Ь — сопряженная с ней (о-дуга, простая или цик.шческая, и пусть один конец дуги а принадлежит лежащей в С орбитно-неустойчивой траектории о или совпадает с лежащим на границе С концом орбитно-неустойчивой полутраектории ), причем дуга а лежит по положительную сторону Ьо (или соответственно /уц). Тогда. 1) либо (Х ) проходит через конец сопряженной с а т-дуги Ь, лежащей по положительную сторону Ьо (Ь ) или являющейся циклической 2) либо существует начинающаяся с Ьо (Ь ) конечная цепочка отличных друг от друга орбитно-неустойчивых траекторий (последней в этой цепочке может быть полутраектория) [c.472]

Для доказательства предположим противное, т. е. что полученная последовательность не обрывается, так что мы никогда не доходим до траектории, не имеющей со-продолжения с положительной стороны. Так как орбитно-неустойчивых траекторий — конечное число, то все траектории Ьо, Ьх,. .. не могут быть различными. Пусть В — наименьшее целое положительное число такое, что траектории Ь , Ьх, , Ьц различны, а траектория Ьц+х совпадает с одной из них, например с траекторией Ь ,, [c.473]

Понятия орбитно-неустойчивых (особых) и орбитно-устойчивых (иеособых) траекторий введены в заметке [46] и являются обобщенпем на случай произвольных динамических систем вида (I) аналогичных понятий, введенных ранее А. Андроновым и Л. Понтрягиным [6]. [c.256]

Во.змоишые типы орбитно-неустойчивых полутраекто )И11 и траекторий. Перейдем теперь к выяснению того, какие пз траекторий рассматриваемых нами /цшамических систем второго порядка являются орбитно-устойчивыми, а какие орбитно-неустойчивыми. [c.262]

Если Ь — траектория, отличная от состояния равновесия, то в силу теоремы 11 4 траектория V заведомо не может быть предельной для траектории Следовательно, на траектории Ь также наищется точка Л/ , находящаяся на ненулевом расстоянии с1 от траектории Ь. Возьмем ео < с В обоих случаях точка М1 будет лежать вне во окрестности траектории Ь. Но траектория Ь по условию является ю-предельной для V следовательно, сколь бы малое б > О мы ни взяли, в б-окрестности любой точки траектории Ь будут находиться точки траектории Ь, соответствующие сколь угодно большим значениям I (в частности, большим того значения t, которому соответствует точка M ). А так как точка траектории Ь леншт вне п-окрестности траектории Ь, то отсюда, очевидно, следует, что Ь во всяком случае а-орбитно-неустойчива. [c.262]

Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию равиовесия. Преднодагая, что окружность С, дуга без контакта I, полутраектория и <2 — общая точка / и удовлетворяют тем же условиям, что II выше, введем следующее онределение [c.266]

С л е д с т в и е. Всякая незамкнутая орбитно-неустойчивая траектория является сепаратрисой состояшш равновесия. [c.283]

Предположим, что динамическая система имеет конечное чнс.чо состояний равиовесия. Тогда предложения, доказанные в настоящей глаье, позволяют сделать исчерпывающие заключения относительно возможных типов орбитно-неустойчивых пли особых траекторий. [c.284]

Отметим, что в случае, когда число состояний равновесия конечно — число орбитно-нсустоГ Чивых траекторий может быть как коиечко, так и бесконечно велико. При этом существуют геометрические примеры с бесконечно большим числом орбитно-неустойчивых траекторий, когда множество точек, принадлежащих орбитно-неустойчивым траекториям, всюду плотно в некоторой области (см. дополнение, 9). [c.284]

Будем называть особыми траекториями все ограничеипые орбитно-неустойчивые траектории и, кроме того, также состояния равновесия, являющиеся орбитно-устойчивыми (центры). [c.284]

Из классических работ Бендиксона и Дюлака [33 J, 1371 вытекает, что у всякой аналитической дпиамической системы, правые части которой не имеют общего мно/кителя, не являющегося постоянным числом, число орбитно-неустойчивых траекторий во всякой ограниченной части плоскости конечно ). [c.285]

Б этом случае к множеству особых траекторий, целиком лежащих в замкнутой области G (т. е. к множеству лежащих в G орбитно-неустойчивых траекторий с добавлением всех орбитно-устойчивых состояний равновесия), присоеднпяется еще конечное число дуг без к01ггакта, дуг траекторий и некоторых полутраекторий, характеризующих нормальную границу той области G, в которой рассматривается динамическая система. [c.285]

Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической системы в плоской области, называть особой траекторией или особтлм элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособои. Будем также называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории. Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет место лемма, доказательство которой проводится так же, как и дока .а-тельство леммы 1. [c.290]

Таким образом, траектория Ьп находится на не равном нулю рас-< тоянии, например ё, от дуги РР. Но тогда траектория Ьц должна быть орбитно-неустойчивой. Действительно, так как точки траектории Ьн являются граничными для области Н, то через сколь угодно малую окрестность любой точкп траектории Ьп проходят траектории, пересекающие дугу РР. Следовательно, нри некотором надлежащим образом подобранном числе о >> О (например, при а < 1/3 они выходят из а-окрестности траектории Ьп, что и означает, что Ьц орбитно-неустойчива. Но область Н, а следовательно, и траектория Ьп лежат целиком в Ь), а по самому выбору числа 61 в Ь) не лежит целиком ни одна орбитнонеустойчивая траектория, кроме траекторий н- и со-предельных для Ь. Мы приходим к противоречию, и, следовательно, у области Н кроме Ь, Ь и их а- и со-нредельных точек болыпе нет никаких других граничных точек. Таким образом, область // удовлетворяет всем требованиям леммы, и лемма доказана. [c.299]

Пусть L — траектория, проходящая через Q. Так как по услоиию на Ki нет ни одной со- или а-предельной точки траектории ячейки g, то можно указать такое е > О, что е-окрестность траектории L и е-окрестность континуума К, не имеют общих точек. Но через сколь угодно малую окрестность точки Q траектории L проходят траектории ил1ешю траектории Lj с достаточно большим номером j), попадающие внутрь е-окрост-ности континуума Ki и, следовательно, выходящие из е-окрестпости траектории L. Следовательно, траектория L орбитно-неустойчива, чего не может быть, так как траектория L лежит целиком в ячейке g. Мы приходим к противоречию. [c.306]

Доказательство. По условию рассматриваемая полутраектория лежит в Ь ео (О). Поэтому все ее ш (а)-предсльные точки должны лежать в О). Так как в силу выбора Ь пс может быть замкнутой траекторией, то множество ее ш (а)-продельных точек состоит из целых орбитно-неустойчивых траекторий, расположенных в (О), т. с. состоит из одного состояния равновесия О. А это и значит, что полутраектория стремится к состоянию равновесия О. Лемма доказана. [c.321]

Пусть / > т таково, что при всех i > i у полутраектории Lp ист общих точек с окружностью С. (Отметим, что последняя общая точка полутраектории Ьр с окружностью С может быть отлична от точки Р, так как полутраектория Ьр не имеет точек вне окружности С, но мо жст иметь общие точки с окружностыо С (рис. 195).) Пусть Р — точка этой полутраектории, соответствующая значению t=t. Очевидно, существует е > О такое, что е-окрестность части Р О полутраектории Ьр пе и.мест общих точек с окружностью С. Но сколько бы малую а-окрестность (а > О, а С е) точки Р мы ни взяли, все траектории bi, проходящие при / = т через точки Pi с достаточно большими номерами при значении I = t, пройдут через ог-окрестность точки Р. При дальнейшем возрастании t эти траектории непременно выйдут из Е-окрестности части Р О полутраектории Ь%>. Действительно, точка Qi каждой траектории b принадлежит кривой С и лежит вне е-окрестности части Р О полутраектории ZtJ.. А при сделанном выборе движения на траектории b точка Q соответствует значению = т-(- — / ), которое заведомо больше t для всех достаточно больших значений i. Это, очевидно, и означает, что полутраектория Ь% орбитно-неустойчива. [c.324]

Рассмотрим теперь наряд5 с со- и а-сепаратрисами состояния равновесия О все стремящиеся к этому состоянию равновесия полутраектории орбитно-неустойчивых траекторий области G, не являющиеся его сепаратрисами, и неренумер5 ем все эти полутраектории (вместе с сепаратрисами) i [c.357]

Состояния равновееия типа центр. Предположим теперь, что рассматриваемое состояние равновесия О таково, что к нему не стремится ни одна полутраектория. Тогда в силу теоремы 18 4 в любой сколь угодно малой окрестности точки О есть залшнутая траектория, содержащая точку О внутри. В силу предположения о конечности числа орбитно-неустойчивых траекторий существует во > О такое, что в окрестности О) не лежит целиком ни одной особой траектории кроме точки О. Пусть L — замкнутая траектория, целиком лежащая в (( ) и содержащая точку О внутри (такая траектория, очевидно, всегда существует), а gj, — область. [c.360]

В силу предложений (п. 6 4) предельный континуум незамкнуто полутраектории, не являющейся состоянием равновесия, либо является замкнутой траекторией, либо состоит из состояния равновесия и целых орбитно-неустойчивых траекторий, стремящихся к состояниям равновесия и при -1-00 и при t-> —оо (т. е. сепаратрис, см. 15). Предельный континуум положительной полутраектории Ь или ю-предельны1 континуум будем обозначать через К . Предельный континуум отрицательной полутраекторип или а-предельный континуум будем обозначать через Ка- [c.412]

Свободные и песвободпые коитипуу.мы. Пусть К — ш (или а)-нре-дельный континуум. Среди траекторий, для кото])ых он является предельным континуумом, могут встретиться особые полутраектории (т. е. орбитно-неустойчивые полутраектории, сопаратрисгл п.дп угловые полутраектории). [c.441]

Оиределение XXVHI. Мы будем говорить, что задана полная хема предельного континуума Ю если. 1) указано, с какой стороны этот континуум яеляется предельным, с положительной или отрицательной т. е. указывается, какой знак, или —, таходится в скобке в обозначении Ю 2) задана локальная схема этого континуума, т. е. указано, яеляется ли он со-, а- или О-предельным, и задается (о-перечисление входящих в него траекторий, 3) указано, на каких из простых замкнутых кривых Si, входящих в состав континуума положительное направление обхода совпадает с направлением по t, а на каких противоположно этому направлению (кривые Si определены в силу задания локальной схемы, см. замечание к лемме 1 25) 4) в случае, когда есть со- или а-предельный континуум, указаны все стремящиеся к нему особые полутраектории и их циклический порядок, причем отмечено, какие из этих полутраекторий являются угловыми и какие принадлежат орбитно неустойчивым траекториям. [c.443]

Доказательство. Докажем сначала, что условие а) всегда может быть выполнено. По определенгпо нормальной гранщы входящие в нее дуги траекторий, а следовательно, и их продолн ения — угловые дуги не могут принадлежать орбитно-неустойчивым траекториям или полутраекториям, целиком лежащим в С. На границе не лежит, в частности, ни одно состояние равновесия. Множество Е, состоящее пз точек, принадлежащих граничным и угловым дугам, очевидно, является замкнутым множеством. Любое состояние равновесия 0 находится, следовательно, на ненулевом расстоянии от него, и всякая каноническая окрестность, содержащаяся в достаточно малой 11 (О,), очевидно, не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Лемма 7. Всякая незамкнутая особая орбитно-неустойчивая траектория Ь, лежащая целиком внутри замкнутой области С, проходит через концы не более чем двух аз-дуг или аз-седловых дуг, причем а) в случае, когда траектория Ь проходит через конец одной только такой дуги, эта дуга яв.гяется циклической дугой, б) в случае, когда траектория Ь проходит через концы двух таких дуг, она проходит через общий конец двух дуг, лежащих по разные от нее стороны, причем каждая из этих дуг может быть либо ьз-дугой, либо ы-седловой дугой. [c.468]

Замечание 1. По крайней мере одна среди элементарных от- и а-дуг или со- и а-седловых дуг. через концы которых проходит особая орбнтио-неустойчивая траектория, должна бить седловой дугой. В противном случае траектория Ь не могла бы быть орбитио-иеустойчпвой. В частности, если орбитно-неустойчивая траектория Ь проходит через конец со (а)-циклической дуги, то она не может проходить через конец а (со)-циклической дуги. [c.468]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

Доказательство. Пусть А — конец а-дуги а, являющийся точкой орбитно-неустойчивой траектории о, и пусть при некотором выборе двин ения па Ьо эта точка соответствует значению 1 Iо- Предположим сначала, что траектория Ьо не является со-нродолжаемоп с положительной стороны. В силу леммы 7 траектория Ьо непременно должна [c.472]

Замечание 1. Из самого доказательства настоящей леммы следует, что справедливо также утверждение, в извеглпом смысле обратное утверждению настоящей леммы. Пусть орбитно-неустойчивая траектория Ьо проходит через конец а-дуги а, лежащей от нее по положительную сторону, а) Если Ьо не является со-продолжаемой с положительной стороны, то существует со-дуга Ь, имеющая своим концом точку Ьо, либо лежащая по положительную сторону о, либо циклическая, и дуги а и Ь являются сопряженными, б) Если Ьо является со-продолжаемой с положительной стороны, то существует цепочка траекторий (1) и существует со-дуга Ъ, имеющая своим концом точку траектории Ьи (или полутраектории Ьи), либо лежащая по положительную сторону Ьп (Ьи), либо циклическая, причем дуги а и Ъ являются сопряженными дугами. [c.474]

Лемма 15. Пусть а — циклическая а-дуга и либо через конец ее проходит орбитно-неустойчивая траектория Ьо, либо конец ее яеляется [c.477]

Замечание. Справедливо также утверждение, обратное утверждению настоящей леммы пусть орбитно-неустойчивая траектория проходит через конец циклической а-дугп а. Тогда существуют две начинающиеся с, Ь а последовательности траекторий (2) и (3), описанные в настоящей лемме, и в случае, когда последние [c.477]

Лемма 18. Множеспгво Пц(, есть область, граница которой состоит из точек сопряженных дуг а и Ь и точек цепочки, соединяющих концы этих дуг. При этом каждая цепочка, соединяющая концы рассматриваемых дуг а и Ь, может состоять либо из точек орбитно-неустойчивых траекторий или полутраекторий (е частности, одной орбитно-неустойчивой траектории) (см. лемму 12), либо из граничных и угловых дуг траекторий и угловых полутраекторий (см. леммы 13, 14 и 15), либо из дуги траектории, образующей петлю. [c.479]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...